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2014-2015年度第二学期第一次段考高二文科数学试题


2014~2015 学年度第二学期第一次段考 高二级文科数学试题卷
命题人: 审题人:

5. 关于复数 z 的方程 z ? 3 ? 1 在复平面上表示的图形是 A.椭圆 B.圆 C.抛物线



) D .双曲线

注意事项: 1.在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等考生信息; 2.请将答案填写在答题卷指定位置上。 3.参考公式及数据:
^ (1) 、最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

6. 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 13 7 20 认为作业不多 10 20 30 总数 23 27 50 )

?x y
i ?1 n i

n

i 2

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ? b x

^

^

i

则喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把 握大约为 ( A.99% B.97% C.95% D.无充分根据

(2) 、K ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

7. 两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下 ,其中拟合效果 最好的模型是() (A)模型 1 的相关指数 R 为 0.98 (C)模型 3 的相关指数 R 为 0.50
2 2

2

P(K ≥k0) k0

2

(B) 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 (D) 模型 4 的相关指数 R 为 0.25
2

2

第 I 卷(选择题每题 5 分共 50 分)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,请把答案填涂在答题卡上) 1. 复数 ?

?3?i ? ? ? ( ? 1? i ?

2

8. 若点 P 的直角坐标为( ? 3 ,1) ,以点 P 所在的直角坐标系的原点为极点,x 轴的正方向为极轴, 建立极坐标系. 则点 P 的极坐标为 ( )

) B. ?3 ? 4i
^

A. ?3 ? 4i

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i ( )

2. 设回归直线 d 方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 A. y 平均增加 1.5 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位

2? 5? ) B.(2, ) 3 6 ? 9. 圆 ? ? 2 sin(? ? ) 的圆心坐标是 4
A.(2, A. ?1,

C.(2,

? ) 3

D.(2,

? ) 6

B. y 平均增加 2 个单位 D. y 平均减少 2 个单位

? ?? ? ? 4?

B. ? ,

?1 ? ? ? ?2 4?

C. ? 2 ,

? ?

??
? 4?

D. ? 2,

? ?

??
? 4?

3. 类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,空间中有下列结论: ①垂直于同 一条 直线的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 则其中正确的是 A.①② ( B.②③ ) C.③④ D.①④ ②垂直于同一个 平面的两条直线互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行,

? a ( a ? b) 10. 若定义运算: a ? b ? ? ,例如 2 ? 3 ? 3 ,则下列等式不能成立 的是 .... ? b ( a ? b)
A. a ? b ? b ? a C. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) B. (a ? b)2 ? a2 ? b2 D. c ? (a ? b) ? (c ? a) ? (c ? b) ( c ? 0 )





4. 下面使用类比推理正确的是( ). A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” a?b a b C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ (c≠0)” ? ? c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn D.“
1

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. 复 数 z 对应的点在第二象限,它的模为 3,实部是 ? 5 ,则 z 的共轭复数是 12. 观察以下等式:

BD 的交点,求证: 17、(14 分) 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , O 是下底面对角线 AC 和
(1) B1O / /平面A 1DC1 (2) 平面A 1DC1 ? 平面BB 1D 1D

D1

C1 A1 B1

1?1

13 ? 1

1? 2 ? 3
1? 2 ? 3 ? 6

1 ?2 ?9
3 3

13 ? 23 ? 33 ? 36

D
13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100

C
A

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10
1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15
由此归纳出 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
3 3 3 3

O

B

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 225
3 3 3 3 3

18. (14 分)某种产品的广告费用支出 x (百万)与销售额 y (百万)之间有 如下的对应数据:

(用含有 n 的式子表示,其中 n 为正整数)

x

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

y

13. 将极坐标系中的极点作原点, 极轴作为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系后, 极坐标方程 ? ? 4 cos ? 化为直角坐标方程是______________ 14. 若关于 x 的一元二次实系数方程 x ? px ? q ? 0 有一个根为 1 ? i
2

?i为虚数单位? ,则 p+q 的值是

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3 )据此估计广告费用为 10(百万)时,销售收入 y 的值.

三、解答题(共 6 小题,80 分) 15. (12 分) 已知复数 z 与 ? z ? 2 ? ? 8i 都是纯虚数,求复数 z .
2

19.(14 分)用适当方法证明:已知: a ? 0, b ? 0 ,求证: 16. (12 分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位 老年人,结果如下:

a b ? ? a ? b。 b a

性 别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270 1 1 20. (14 分) 已知函数 f(x)= x3- x2+cx+d 有极值. 3 2 (1)求 c 的取值范围; 1 (2)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)< d2+2d 恒成立,求 d 的取值范围. 6

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?

2

2014~2015 学年度第二学期第一次段考 高二级文科数学试题答卷
命题人:


座位号

16.(12 分)解:

审题人:

题号

选择题

填空题

15

16

17

18

19

20

总分






得分

以下为学生答题区域:
线

一、选择题答案填写处: 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



二、填空题答案填写处:






11 13
三、解答题(共 6 小题,80 分) 15.(12 分) 解:

12 14

17. ( 14 分)证明:

D1

C1 A1 B1

班 级



D A

C O
B









3

18. (14 分)解:

19.(14 分)证明:

20. ( 14 分)解:

4

第一次段考高二文科数学参考答案
一、选择题答案填写处: 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B 17. ( 14 分)证明: 二、填空题答案填写处: 11、 ?

5 ? 2i

n 2 ( n ? 1) 2 12、 4
14、 0

(1)记 AC 1 1

B1D1 ? O1 ,连结 DO1 ,

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? B1BDD1 是平行四边形

13、 (x-2)2+y2=4

? B1 D1 // BD 且 B1D1 ? BD

-------------------------------------2 分

又 O1 , O 分别是 B1D1 , BD 的中点,? O1 B1 // DO 且 O1B1 ? DO 三、解答题(共 6 小题,80 分) 15.(12 分) 解:因为 Z 为纯虚数,所以设 Z=ai, 所以:(Z+2) -8i=4-a +4ai-8i
2 2

--------------1 分

? DOB1O1 是平行四边形---------------------------------------------------2 分

=4-a2+(4a-8)i --------------5 分
由 得: 所以

? O1 B1 // DO, DO1 ? 面 A1DC1 , B1O ? 面 A1DC1 ? B1O // 面 A1DC1
(2)

D1

O1 A1

C1 B1

?4 ? a 2 ? 0 ? ?4 a ? 8 ? 0
a=-2 Z=-2i

------------------------------------------6 分

DD1 ? 面 A1B1C1D1

---------------------10 分 ---------------------12 分

A1C1 ? 面A1B1C1D1
?D D 1 ? A 1 C 1


D

C
A

O

------------------------------------------9 分

B

AC 1 ? B1D1 ? D1 1 1 ?B 1D 1 且 DD
----------------------------12 分

16.(12 分)解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要 帮助的老年人的比例的估算值为

70 ? 14% 500

? AC 1 1 ? 面B 1D 1BD
又 AC 1 1 ? 平面A 1DC1

---------------------------------------5 分

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 。 (2) K ? 200 ? 300 ? 70 ? 430
2

? 平面A1DC1 ? 平面BB1D1D -----------------------------------14 分

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别 有关。 ----------------------------------------12 分

5

即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元。 ----------- 14 分

18. (14 分)解: (1)根据表中所列数据可得散点图如下: 19.(14 分)证明: a b a b a?b b?a ? ? ( a ? b) ? ? b? ? a ? ? .......... 2分 b a b a b a 1 1 ? (a ? b)( ? ) b a

? ( a ? b)

a? b ab

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 4分 a? b ab .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... 11分

----------- 4 分

? ( a ? b )( a ? b ) ? ( a ? b) ( a ? b)
2

(2)由题目意得: =

=5, =

=50,

----------- ----------- 6 分

ab ? a ? 0, b ? 0

显然 : ( a ? b ) 2 ? 0, a ? b ? 0, ab ? 0
=145, =13 500, =1 380 ----------- 9 分

即: ?

( a ? b)2 ( a ? b) ab b ? b a ?

?0

a

a ? b .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....14分

于是可得: =

=

=6.5;

1 3 1 2 20. ( 14 分)解:(1)∵f(x)= x - x +cx+d, 3 2 ∴f′(x)=x -x+c,
2

-------------- 2 分
2

所以: = -

=50-6.5× 5=17.5.

要使 f(x)有极值,则方程 f′(x)=x -x+c=0 有两个不相等的实数解, 1 从而 Δ =1-4c>0,∴c< . 4 -----------------------5 分 ---------7 分

因此,所求回归直线方程为:

=6.5x+17.5

----------- 12 分

(2)∵f(x)在 x=2 处取得极值,∴f′(2)=4-2+c=0,∴c=-2. (3)根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时, =6.5× 10+17.5=82.5(百万元),
6

1 3 1 2 ∴f(x)= x - x -2x+d. 3 2

∵f′(x)=x -x-2=(x-2)(x+1),

2

-----------------9 分

∴当 x∈(-∞,-1]时,f′(x)>0,函数单调递增, 当 x∈(-1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减. 7 ∴x<0 时,f(x)在 x=-1 处取得最大值 +d, -----------11 分 6 1 2 ∵x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立, 6 7 1 2 ∴ +d< d +2d,即(d+7)(d-1)>0, 6 6 ∴d<-7 或 d>1, 即 d 的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞).-----------14 分 -----------13 分

7


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