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济南市2012届高三数学5月模拟试题


2012 年济南市高三 5 月份模拟考试试题 数学(文史类)
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束 后将答题卡交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 样本数据 x 1, x 2, , x n 的方差 s ? ?
2

1 n

[( x 1 ? x )

2

? (x2 ? x)

2

? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为
2

样本的平均数; 锥体体积公式: V ?
1 3 Sh ,其中 S 为锥体底面的面积, h 为锥体的高;

圆锥的侧面积公式: S ? ? rl ,其中 r 是圆锥的底面半径, l 是圆锥的母线长; 圆柱的侧面积公式: S ? 2? rl ,其中 r 是圆柱的底面半径, l 是圆柱的母线长. 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x x ? 2 ? 0 ?, B ? ?1, 2 ,3?, 则 A ? B = A. ?1, 2 ,3? B. ?1? C. ?3? D. ?

2.若复数 i ? (1 ? ai ) 是纯虚数,则实数 a 的值是 A.1 B. ? 1 C.0 D.0 或 ? 1

3.已知 x ? R ,那么 x 2 ? 1 是 x ? 1 的 A.必要而不充分条件 C.充要条件 4.函数 f ( x ) ? sin x sin( A. 2 ? B.
?
2 2? 3

B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件
? x ) 的最小正周期为

5

C.?

D.

?
2

5.阅读右面的程序框图,执行相应的程序,则输出的结果是 (第 5 题图)
用心 爱心 专心 1

A. 2

B. ? 2

C. 3

D. ? 3

6.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2 a n ? 2 ,则 a 4 = A.64 B.32 C.16 D.8 7.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. ( 5 ?
5 )?

B. ( 20 ? 2 5 )? D. ( 5 ? 2 5 )?

2

C. (10 ? 10 )?

2 主视图

2 左视图

? x ? y ? 2 ? 8.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?

2

俯视图

z ? 5 x ? y 的最大值为

(第 7 题图) C.8 D. ? 2
?
2

A.12

B.10

9.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 的是 A. | a |? | b | B. a ? b
x a
2 2

,那么下列结论中一定成立

C. a ? b
2 2

D. a // b

10.已知双曲线的方程为

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距

离为

5 3

c (c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率为

A.

5 2

B.

3 2

C.

3 5 2

D.

2 3

11. 已知 x ? 0, y ? 0 ,若 A. m
4 或 m ≤ ?2

2y x

?

8x y

? m

2

? 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是



B. m



2 或 m ≤ ?4

C. ? 2 ? m ? 4

D. ? 4 ? m ? 2 )

12.若方程 f ( x ) ? 2 ? 0 在 ( ? ? , 0 ) 内有解,则 y ? f ( x ) 的图象是(

用心

爱心

专心

2

2012 年济南市高三 5 月份模拟考试试题 数学(文史类) 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.曲线 y ? e x ? x 2 在点(0,1)处的切线方程为 14.已知函数 f ( x ) ? a sin x ? bx ? 5 ,且 f (1)? 3 ,
3

. 2

y

则 f (? 1) =

.

O ?
4

1 3? 4

x

15.函数 f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ) 的图像,其部分图像如图所示, 则 f (0 ) = .

-2 (第 15 题图)

16.下面给出的四个命题中: ①以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ; ②若 m ? ? 2 ,则直线 ( m ? 2) x ? m y ? 1 ? 0 与直线 ( m ? 2) x ? ( m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直; ③命题“ ? x ? R ,使得 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R ,都有 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ” ; ④将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 其中是真命题的有
?
3
2

个单位,得到函数 y

? s in ( 2 x ?

?
6

) 的图象。

(将你认为正确的序号都填上) 。

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 在数列 { a n } 中,已知 a 1 ?
1 a n ?1 1 , ? , b n ? 2 ? 3 log 4 an 4
1 4

a n ( n ? N *) .

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求证:数列 {b n } 是等差数列; (3)设数列 { c n }满足 c n ? a n ? b n ,求 ?c n ? 的前 n 项和 S n . 18. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ? 1, 3 ) . (Ⅰ)求 sin 2 ? ? tan ? 的值;
用心 爱心 专心 3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,
?
? 2π ? 2 ? 2 x ) ? 2 f ( x ) ? 1 在区间 0, 上的取值范围. ? 2 3 ? ? ?

求函数 g ( x ) ? 19. (本小题满分 12 分)

3f(

某公司有男职员45名, 女职员15名, 按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组. (Ⅰ)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数; (Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验,方法是先 从小组里选出1名职员做实验,该职员做完后,再从小组内剩下的职员中选一名做实验,求 选出的两名职员中恰有一名女职员的概率; (Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的职员得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验 的职员得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位职员的实验更稳定?并说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 如图所示,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA=AD, E、F、G、H 分别是线 段 PA、PD、CD、BC 的中点. (Ⅰ)求证:BC∥平面 EFG; (Ⅱ)求证:DH⊥平面 AEG; (Ⅲ)求三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比.

(第 20 题图) 21. (本小题满分 12 分) 某旅游景点预计 2013 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x) (单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p ( x ) ?
1 2 x ( x ? 1) ? (3 9 ? 2 x ), ( x ? N , 且 x ? 1 2 ) .已知第
*

x 月的人均

消费额 q(x) (单位:元)与 x 的近似关系是
? 35 ? 2 x ( x ? N * ,且 1 ? x ? 6 ) ? q ( x ) ? ? 160 ( x ? N * ,且 7 ? x ? 12 ) ? x ?

(I)写出 2013 年第 x 月的旅游人数 f ( x ) (单位:人)与 x 的函数关系式; (II)试问 2013 年第几月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元? 22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 和直线 L:

x a

?

y b

=1, 椭圆的离心率 e ?

6 3

, 直线 L

用心

爱心

专心

4

与坐标原点的距离为 (1)求椭圆的方程;

3 2



(2)已知定点 E ( ? 1, 0 ) ,若直线 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) 与椭圆相交于 C、D 两点,试判断 是否存在 k 值,使以 CD 为直径的圆过定点 E?若存在求出这个 k 值,若不存在说 明理由。 2012 年济南市高三 5 月份模拟考试试题 数学(文史类)参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B 11 D 12 D

二、填空题: 13. x ? y ? 1 ? 0 三、解答题: 17. 解: (1)?
1

14. 7

15. ?

2

16. ①②③

a n ?1 an
n

?

1 4

,∴数列 { a n } 是首项为

1 4

,公比为

1 4

的等比数列,

∴ a n ? ( ) ( n ? N *) .?????????????????????????3 分
4

(2)? b n ? 3 log

1 4

an ? 2

????????????????????????4 分

∴ b n ? 3 log

1 4

1 n ( ) ? 2 ? 3 n ? 2 .?????????????????????6 分 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d ? 3 ∴数列 {b n } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列. ????????????7 分 (3)由(1)知, a n ? ( ) , b n ? 3 n ? 2 ,
n

1

4

∴ c n ? ( 3 n ? 2 ) ? ( ) , ????????????????????8 分
n

1

4

∴Sn ? 1 ?

1 4

? 4 ? (

1 4

) ? 7? (
2

1 4

) ? ? ? (3n ? 5) ? ?
3

1 4 1 4

)

n ?1

? (3n ? 2 ) ? ( 1 4 )
n ?1

1 4

) , 1 4 ) ]
n

n

? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? ( 3 n ? 5 ) ? ( 3 n ? 2 )] ? [

1 4

? (

1 4

) ? (
2

) ? ?? ? ?
3

? (

???????????10 分
用心 爱心 专心 5

1 ? n (1 ? 3 n ? 2 ) 2 ? 4

[1 ? ( 1?

1 4 1 4

) ] ?

n

3n

2

?n

?

1 3

?

1 3

?(

1 4

) ??????????12 分
n

2

18. 解: (Ⅰ)因为角 ? 终边经过点 P ( ? 1, 3 ) ,所以
3 2
1 2

? s in ? ?

, cos ? ? ?

, tan ? ? ? 3

------------3 分

? s in 2 ? ? ta n ? ? 2 s in ? c o s ? ? ta n ? ? ?

3 2

?

3 ?

3 2

---------6 分

(2) ? f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ? cos x , x ? R --------8 分

? g(x) ?

3 cos(

?
2

? 2 x ) ? 2 cos x ? 1 ?
2

3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

) ----10 分

?0 ? x ? ?? 1 2

2? 3

,? 0 ? 2 x ?

4? 3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

? s in ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ,? ? 1 ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

) ? 2

故:函数 g(x) ?

3f(

?

? 2π ? 2 ? 2 x ) ? 2 f ( x ) 在 区 间 0, 上的取值范围是 ? 2 3 ? ? ?

[ ? 1, 2 ] -------12 分
n m 45 4 60 x 4 ,? x ? 3 ? 男、女职员的人数分别为 3,1 ??????4分 1 1

P ?

?

?

19. 解:(Ⅰ)

1 5 ? 某职员被抽到的概率为 1 5 ??????2分

?

设有 x 名男职员,则 6 0

(Ⅱ)把 3 名男职员和 1 名女职员记为

a1 , a 2 , a 3 , b

,则选取两名职员的基本事件有

( a 1 , a 2 ), ( a 1 , a 3 ), ( a 1 , b ), ( a 2 , a 1 ), ( a 2 , a 3 ), ( a 2 , b ), ( a 3 , a 1 ), ( a 3 , a 2 ), ( a 3 , b ), ( b , a 1 ), ( b , a 2 ), ( b , a 3 )

共 1 2 种,其中有一名女职员的有 6 种
P ? 6 12 ? 1 2 ???????????8分

? 选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为

(Ⅲ)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 5

? 71



x2 ?

69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 5

? 71

用心

爱心

专心

6

s1 ?
2

( 6 8 ? 7 1) ? ? ( 7 4 ? 7 1)
2

2

? 4

5



s2 ?
2

( 6 9 ? 7 1) ? ? ( 7 4 ? 7 1)
2

2

? 3 .2

5

第二次做试验的职员做的实验更稳定?????????12分 20.解: (Ⅰ)∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF..... 分 .....2 ......3 ? BC ? 平面 EFG , EF ? 平面 EFG ? BC ∥平面 EFG...... 分 (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥DH ,即 AE⊥DH..... 分 .....5 ∵△ADG≌△DCH ,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面 AEG...... 分 ......8
1

(Ⅲ)

V E ? AFG V P ? ABCD

?

VG ? AEF V P ? ABCD

?

3 1 3

?D G ?S ? A E F

........10 分 .......

?P A ?S ? A B C D

1 1 1 1 1 ?C D ? ?E F ?E A ?C D ? ? A D ? P A 1 2 2 2 2 ? 2 ? 2 ? P A ?A D ?C D P A ?A D ?C D 16

1

........12 分 ....... ??2 分

21. 解: (Ⅰ)当 x ? 1 时, f (1) ? p (1) ? 37 , 当 2 ? x ? 12 ,且 x ? N * 时,
f ( x ) ? p ( x ) ? p ( x ? 1) ? 1 2 x ( x ? 1) (3 9 ? 2 x ) ? 1 2

( x ? 1) x ( 4 1 ? 2 x ) ? ? 3 x ? 4 0 x . ? 4
2

分 验证 x ? 1 符合 f ( x ) ? ? 3 x 2 ? 40 x ( x ? N * , 且 1 ? x ? 12). (Ⅱ)第 x 月旅游消费总额为
? ( ? 3 x ? 4 0 x ) (3 5 ? 2 x )( x ? N , 且 1 ? x ? 6 ) ? g (x) ? ? 160 2 * ( x ? N , 且 7 ? x ? 12) ?(?3 x ? 40 x) ? x ?
2 *

??6 分

即 g (x) ? ?

?6 x ? 185 x ? 1400 x( x ? N , 且1 ? x ? 6) ?
3 2 *

??480 x ? 6400 ?

( x ? N , 且 7 ? x ? 12)
*

??8 分

当 1 ? x ? 6 ,且 x ? N * 时, g ?( x ) ? 18 x 2 ? 370 x ? 1400 ,令 g ?( x ) ? 0 , 解得 x ? 5 ,x ?
140 9

(舍去) 当 1 ? x ? 5 时,g ?( x ) ? 0 , 5 ? x ? 6 时,g ?( x ) ? 0 , . 当 ??10 分
6 4是 0 函 数 , 当 x ? 7 时 , 0 减

? 当 x ? 5 时, g ( x ) m ax ? g (5) ? 3125 (万元).

当 7 ? x ? 12 , 且 x ? N
g m a ( x )? x g ( 7?)

*

时 , g ( x )? ? 4 8 0 ? x

(万元) , 3 0 4 0 ?12 分

综上,2013 年第 5 月份的旅游消费总额最大,最大消费总额为 3125 万元. 22.解: (1)直线 L:
x a ? y b

=1,∴

3 2

=

| ab | a
2

.①
2

......... 分 .........2

?b

用心

爱心

专心

7

e= 由
4a b
2 2

6 3

?

c a

2 2

?

2 3

.②

......... 分 .........4 得


2

? 3a

? 3b

2

? 4(a

2

? c ) ? 3a
2

2

? 3( a

2

? c ) ? 6a
2

2

? 3c

2

? 4a

4

3 ? 4 a c ,○
2 2

3 由 ② ○ 得 a 2 ? 3, c 2 ? 2 , b 2 ? 1
x
2

∴ 所 求 椭 圆 的 方 程 是

+y =1. ......... 分 .........6
? y ? kx ? 2 ? 2 (2)联立得: ? x 2 ? (1 ? 3 k ) x ? 12 kx ? 9 ? 0 . 2 ? y ?1 ? ? 3

2

3

Δ ? 144 k 2 ? 4 ? 9 (1 ? 3 k 2 ) ? 36 k 2 ? 36 ? 0 ? k ? 1或 k ? ? 1 设 C ( x 1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ) ,则有
x1 ? x 2 ? ? 12 k 1 ? 3k
2

...... 8 分 ......

, x1 ? x 2 ?

9 1 ? 3k
2

, y 1 ? y 2 ? ( kx 1 ? 2 )( kx 2 ? 2 ) ? k x 1 ? x 2 ? 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 4
2

......... .........10 分 ∵ EC ? ( x1 ? 1, y 1 ), ED ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ,且以 CD 为圆心的圆点过点 E, ∴EC⊥ED. ......... .........12 分

则 ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y 1 y 2 ? 0 ? (1 ? k 2 ) x 1 x 2 ? ( 2 k ? 1)( x 1 ? x 2 ) ? 5 ? 0 ∴
9 (1 ? k )
2

1 ? 3k
7 6

2

? ( 2 k ? 1)

? 12 k 1 ? 3k
2

? 5 ? 0 ,解得 k =

7 6

>1,

∴当 k =

时以 CD 为直径的圆过定点 E.

......... .........14 分

用心

爱心

专心

8


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