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2012-2013第一学期数学分析A考卷A答案














2012-2013 学年第一学期《数学分析 A》期末考试试卷(A)
学院_____________ 学号_______________
题号 得分 阅卷人 请注意:本卷共八道大题,如有不对,请与监考老师调换试卷! 一、选择题(每小题 3 分,满分 15 分) 1.已知当 x ? 0 时, ln(1 ? axsin x) 与 tan x 为等价无穷小,则 a ? ( A ) .
2

专业___________________ 姓名_____________
二 三 四 五 六

班级____________







总分

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

2.函数 y ? sin 2 x 在 R 上的原函数与导函数分别为( C ) . (A) 2 cos 2 x ,
2

1 cos 2 x 2

(B)

1 cos 2 x , 2 cos 2 x 2
2

(C) sin x , 2 cos 2 x

(D) cos x , 2 cos 2 x

3. 设函数 y ? f ( x) 在 R 上二阶可导, 且 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 , 则当 ?x ? 0 时有 ( A ) . (A) ?y ? dy ? 0 (B) ?y ? dy ? 0 ) . (C) dy ? ?y ? 0 (D)dy ? ?y ? 0

4.下列广义积分中收敛的是(C (A)

1 dx ? x ( x ? 1 ) 0

1

(B)

dx 3 ? 1 ( x ? 1)

2

??

(C)

?
e

dx x (ln x ) 2

??

(D)

??

? 1? x

x

2

dx

第 1 页 共 6 页

5.设函数 f ( x) 在点 x ? 0 处连续,下列命题中正确的个数是( C ) .

f ( x) 存在,则 f (0) ? 0 . x?0 x f ( x) ② 若 lim 存在,则 f ?(0) 存在. x?0 x f ( x) ? f (? x) ③ 若 lim 存在,则 f (0) ? 0 . x ?0 x f ( x) ? f (? x) ④ 若 lim 存在,则 f ?(0) 存在. x ?0 x
① 若 lim (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空题(每小题 3 分,满分 15 分) 1. lim n 1 ? 2 ? 3 ?
n n n??

3

. 100! .

2.若 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 100) ,则 f ?(0) ? 3. ( x3 cos x ? 1 ? x 2 )dx ?
?1

?

1

? 2
2



4.若点 (1,3) 是曲线 y ? ax ? bx 的拐点,则 (a, b) ? ? ?
3

? 3 9? , ? ? 2 2?




5.微分方程 y?? ? 2 y? ? 1 的通解为 y ? 三、 (每小题 6 分,满分 12 分)求下列极限 1.设 f ( x) ?

?

x ? C1 ? C 2 e 2 x 2

1 ?t 2 1 1 e dt ? 4 ? 2 ,求 lim f ( x ) . 5 ? x?0 x 0 x 3x
3? e ? t dt ? 3 x ? x 3
2

x

x

解: lim f ( x ) ? lim
x ?0 x ?0

0

3x5
2

? lim

L

3e ? x ? 3 ? 3 x 2 1 e? x ?1 ? x2 ? lim x ?0 15 x 4 5 x ?0 x4
2

2

2

1 ? 2 xe? x ? 2 x 1 e? x ? 1 1 ? ? lim ? ? lim ; 10 5 x ?0 4 x3 10 x ?0 x 2
L

第 2 页 共 6 页

2.设 f ( x) ?

2 ? ex 1 ? | x | sin ,求 lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x ) . 2x x ? ?? x ? ?? x?? 1? e x

解: lim f ( x) ? lim ? ? x sin ? ? lim ? lim 2x x ? ?? x ? ?? ? 1 ? e 2 x x ? ?? x? ? ? x ? ?? 1 ? e

? 2?e

x

1?

2?e

x

sin 1 x

1 x ? 2 ? 1 ? 1;

1 sin x ? 2 ? ex ? 1 2?e x ? 0 ? 1 ? 1; lim f ( x) ? lim ? ? x sin ? ? lim ? lim 2x ? x ? ?? x ? ?? ? 1 ? e 2 x x ? ?? x ? ?? 1 x? 1? e ? x
由单侧极限与极限关系可得: lim f ( x ) ? 1 .
x??

四、 (每小题 6 分,满分 12 分)求下列导数或微分 1.设 y ? ln x ? 解:显然, y ?

x 2 ? 1 ,求 dy 与 y?? .

1 ln( x ? x 2 ? 1) .由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得: 2

y? ?

1 1 1 1 1 , dy ? ? (1 ? ? 2 x) ? dx , 2 x ? x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1

1 1 1 x . y?? ? (? 2 ) ? ? 2x ? ? 2 2 x ?1 2 x ?1 2( x 2 ? 1)3
2.设 y ? y ( x) 是由 ?

? x ? t (1 ? t ) ? 0, dy 所确定的函数,求 . y dx t ? 0 ? te ? y ? 1 ? 0

解:当 t ? 0 时, x ? 0, y ? ?1 .由 x ? t (1 ? t ) ? 0 可得:

x ? t 2 ? t , xt?(0) ? (2t ? 1) |t ?0 ? ?1 ;
由 te ? y ? 1 ? 0 对 t 求导可得: e y ? te y yt? ? yt? ? 0 , yt?(0) ? ?e?1 ,由参量函数求导法
y

可得:

dy y?(0) ? t ? e?1 . dx t ? 0 xt?(0)

第 3 页 共 6 页

五、 (本题满分 12 分)求下列积分: 1. arctan

?

x dx .

2 2 解: I ? 2 t arctan tdt ? arctantd (t ) ? t arctant ?

?

?

t2 ? 1 ? t 2 dt

? t 2 arctant ? t ? arctant ? C ? (t 2 ? 1) arctant ? t ? C

? ( x ? 1) arctan x ? x ? C
?

2.

?
0

sin 3 x ? sin 5 x dx .
sin 3 x(1 ? sin 2 x) ? sin 3 x ? | cos x | ,
?
3

3 5 解: 注意到 sin x ? sin x ?

?



2 2 4 2 I ? ? sin 2 x cos xdx ? ? sin 2 x cos xdx ? sin 2 x |0 . ? sin 2 x |? ?? 5 5 5 ? 0 2
2

2

3

5

?

5

六、 (本题满分 13 分) (I)判定函数 f ( x) ? xe? x 的单调性,并求其极值; (II)讨论方程

x ? aex 的实根个数.

?? 0, x ? 1, ? 解: (I)∵ f ?( x ) ? (1 ? x )e ?? 0, x ? 1, ?? 0, x ? 1, ?
?x

∴ f ( x) ?? (??,1), f ( x) ?? (1,??) ,且极大值为 f max ? f (1) ?
x ?x (II) x ? ae 的实根个数 ? y ? xe 与 y ? a 的交点个数.

1 . e

x ? ?? ( (??) ? (??) ) , x ? ?? x ? ?? e x x L 1 lim f ( x) ? lim x ? lim x ? 0 , x ? ?? x ? ?? e x ? ?? e 1 可知 ① 当 a ? 0 或 a ? 时,原方程只有一个实根; e
由(I)及 lim f ( x) ? lim
第 4 页 共 6 页

② 当0 ? a ? ③ 当a ?

1 时,原方程有两个实根; e

1 时,原方程没有实根. e

七、 (本题满分 13 分) (I)求曲线 y ? ln x 与其在点 (e,1) 处的切线、 x 轴所围成的平面图 形 G 的面积 A ; (II)求上述平面图形 G 绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积 V . 解: (I)∵ y? ?

1 1 1 x , y?(0) ? ,∴切线方程为 y ? 1 ? ( x ? e) ,即 y ? . x e e e

A?

e e e e e ? ?1 . ? ? ln xdx ? ? [ x(ln x ? 1)] |1 2 2 2 1

(II) V ?

1 1 1 e ?e ? ? ? ln 2 xdx ? ?e ? ? [ x ln 2 x |1 ?? x ? 2 ln x ? dx] 3 3 x 1 1
e

e

e

1 1 e ? ?e ? ? (e ? 2? ln xdx) ? ?e ? ? [e ? 2 x(ln x ? 1) |1 ] 3 3 1
1 e ? ?e ? ? (e ? 2) ? 2? (1 ? ) . 3 3

八、 (本题满分 8 分)设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (0) ? f (1) ? 0 ,

?1? f ? ? ? 1 ,证明:存在点 ? ? (0,1) ,使得 f ?(? ) ? 1 . ?2?
证:设 F ( x) ? f ( x) ? x ,则 F ( x) ? C[0,1] ,且 F (0) ? 0, F ( ) ? ① ∵ F ( x) ? C[ ,1], F ( ) ?

1 2

1 , F (1) ? ?1 . 2

1 2

1 2

1 ? 0, F (1) ? ?1 ? 0 , 2

∴由零点定理可知:存在点 ? ? ( ,1) ,使得 F (? ) ? 0 .

1 2

第 5 页 共 6 页

② ∵ F ( x) ? C[0,? ], F ( x) ? D(0,? ), F (0) ? F (? ) , ∴由罗尔定理可知:存在点 ? ? (0,? ) ? (0,1) ,使得 F ?(? ) ? 0 ,即 f ?(? ) ? 1 .

第 6 页 共 6 页


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