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北京理工大学2011-2012学年第一学期工科数学分析期中试题答案


2011-2012-第一学期 一.1. 2.
y ? 2x

工科数学分析期中试题解答(2011.11)

y ? 2x x ? 2y

3. 2 4.
3? 2 ln 2

5. (sin x) x (ln sin x ? x cot x)

二.

lim(
x ??

x ?1 x 4 x ) ? lim(1 ? ) x ?? x?3 x?3

…………………(2 分) ………………….(5 分)

? lim[(1 ?
x ??
4x l i m

4 ) x?3

x ?3 4

4x

] x ?3

? e x ? ? x ?3 ? e 4

…………………(8 分)

三.

dy ? dx

1? ?

1 1? t2 ? 1? 1? t2 1 1? t2 t 1? t 2 1 1? t2
…………………..(4 分)

d y ? dx2

2

? ?t

………………….(8 分)

?

四.

x ? 0, x ? 2 是间断点
lim f ( x ) ? ?e ?
? 1 2

………………….(2 分)
? 1 2

x ?0

x ?0

lim f ( x) ? e ?

x ? 0 是第一类间断点
x?2?

…………………..(5 分)

lim f ( x ) ? ?

x ? 2 是第二类间断点

……….…………(8 分)

五.

lim(
x ?1

1 1 x ? 1 ? l nx ? ) ?lim x ?1 ( x ? 1) l nx ln x x ? 1

……………….(2 分)

? lim
x ?1

1?

1 x

1 ln x ? ( x ? 1) x x ?1 ? lim x ?1 x ln x ? x ? 1 1 ? lim x ?1 ln x ? 1 ? 1 1 ? 2

……………….(5 分)

………………..(6 分) ………………..(8 分) …………………..(9 分)

六.

当x ? 0

当x ? 0

1 1 ?1 f ?( x) ? 2 x c o s ? x 2 (? s i n ) 2 x x x 1 1 ? 2 x cos ? sin x x 1 3t a 2 nx ? ?x?t a3 nx 2 c o s x ? f ( x) ? x2

……………….(3 分)

?

3x t a 2 nx ? t a 3 n x c o 2s x x 2 c o 2s x

…………………(6 分)

tan 3 x ?0 3 t an x x f ?? (0) ? lim ? lim ?0 2 ? ? x ?0 x ?0 x x

1 x2 c o s ? 0 1 x f ?? (0) ? l i m ? lim xc o s ? 0 ? x ?0 ? x ? 0 x x
f ?(0) ? 0

…………………(9 分)

七.

1 1 1 V ? ?r 2 h ? ? (2 Rh ? h 2 )h ? ? (2 Rh 2 ? h 3 ) ………………(3 分) 3 3 3 dV 1 ? ? (4 Rh ? 3h 2 ) ………………….(6 分) dh 3 dV 4 ?0 h? R 令 得 dh 3 4 由问题的实际意义, ….., 故当 h ? R 时 V 最大 …………….(8 分) 3

八.



f ( x) ? x ? s i n x f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0

………………(1 分) ………………(2 分)

且等号成立的点是孤立的, 故 f ( x) 单调增加, 又 f (0) ? 0 故当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 令 即
sin x?x

……………….(4 分) …………………(5 分)

g ( x) ? s i n x?

x3 ?x 3!

x2 g ?( x) ? c o x s? ?1 2
g ??( x) ? ? s i n x?x ?0

………………….(6 分) …………………….(7 分)

故 g ?( x ) 单调增加, 又 g ?(0) ? 0 故当 x ? 0 时 g ?( x) ? 0 ……………(9 分) 因此 g ( x) 单调增加, 由于 g (0) ? 0 所以当 x ? 0 时 g ( x) ? 0 , 即 九.
x?sin x? x3 3!

……………..(10 分)

定义域为 (??,1) ? (1,??)
lim y??
x ?1

有垂直渐近线 x ? 1 有水平渐近线 y ? 1

……………..(1 分) ……………..(2 分)

lim y ? 1
x??

y? ?
令 y? ? 0

8(1 ? x) 3 (1 ? x) 5
…………..(4 分)

得 x ? ?1

y ?? ?
令 y ?? ? 0

16( x ? 1) 2 ( x ? 4) (1 ? x) 6
得 x ? ?1, x ? ?4 …………………(6 分)
(?1,1)
1

x
y?
y??
y

(??,?4)
? ?

?4

(?4,?1)
?

?1

(1,??)
?

0 0
极小值

? ?
间断

0

?

?

3 (?4, ( ) 4 ) 5

拐点

0

………..(10 分)

y

1

1
? 4 ? 3 ? 2 ?1 0

1

x

……………………(12 分)

十.

由题设, 有

lim F ( x) ? F (0) ? 1
x ?0

……………..(1 分) …………….(3 分)

1 1 4 ? l n1(? x 3 ) ? 2 ? 2( 1 ? l n1(? x 3 ) ? 1) ~ x 3 4 4

f ( x) ? cos x ? f (0) ? f ?(0) x ?
? ( f (0) ? 1) ? f ?(0) x ? (

f ??(0) 2 f ???(0) 3 x2 x ? x ? o( x 3 ) ? (1 ? ? o( x 3 )) 2! 3! 2!



f ??(0) 1 2 f ???(0) 3 ? )x ? x ? o( x 3 ) …………….(7 分) 2! 2! 3! f ??(0) 1 f ???(0) 1 ? ?0 ? f (0) ? 1 ? 0 f ?(0) ? 0 2! 2! 3! 4 3 f ???(0) ? f ?(0) ? 0 f ??(0) ? ?1 f (0) ? 1 ……………….(9 分) 2

十一.

令 由题设及 lim
x ?0

F ( x) ?

f ( x) x

…………………….(1 分)

f ( x) ? 2 有 f (0) ? lim f ( x) ? 0 ….……….(2 分) x ?0 x xf ?( x) ? f ( x) F ?( x) ? ………………(4 分) x2 xf ?( x) ? ( f ( x) ? f (0)) ? x2 xf ?( x) ? xf ?(? ) ? ( ? ? (0, x) ) ……………..(6 分) x2 f ?( x ) ? f ?(? ) ? x ? ? f (? )( x ? ? ) ? (? ? (? , x) ? (0, x) ) …………(8 分) x ?0 f ( x) 所以 在 (0,??) 内单调增加 ……………….(9 分) x


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