kl800.com省心范文网

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(五)解析版


河北保定易县中学 2017 届高三上学期周考数学(理)试卷(五)
一.选择题(共 12 小题,每题 5 分)

1.若集合 A.2 B.﹣1 C.﹣1 或 2 D.2 或

,B={1,m},若 A?B,则 m 的值为(



2.复数 z=﹣2+2i,则 的虚部为( A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2



3.下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2﹣x



4.已知向量 =(1,m) , =(3,﹣2) ,且( + )⊥ ,则 m=( A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8




5.已知 a,b∈R,则“log2a>log2b”是“( )a<( )b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织 “一女子善于织布, 几何?”意思是: 每天织的布都是前一天的 2 倍, 已知她 5 天共织布 5 尺, 问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第 3 天所织布的尺数为 ( A. ) B. C. D.

7.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C. 3

D.4

8.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

9.设 x∈R,若函数 f(x)为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f[f(x)﹣ex]=e+1(e 是自然对数的底数) ,则 f(ln2)的值等于( A.1 B.e+l C. 3 D.e+3 )

10.在直角坐标系 xOy 中,设 A(﹣2,3) ,B(3,﹣2) ,沿 x 轴把直角坐标平面折成大小 为 θ 的二面角后,这时 A.120° B.60° C.30° D.45° 11.若函数 f(x)=x3﹣3x 在(a,6﹣a2)上有最大值,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣ ,﹣1) B. (﹣ ,﹣1] C. (﹣ ,﹣2)D. (﹣ ,﹣2] ) ,则 θ 的大小为( )

12.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)=

图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 )

垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( A. (0,1) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (1,+∞)

二.填空题(共 4 小题,每题 5 分)

13.已知向量 , 夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |=

,则| |=



14.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池 盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水 深九寸,则平地降雨量是 寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 15.实数 x,y 满足 4x2﹣5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 + = . .

16.若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 k=

三.解答题(共 7 小题,17---21 每题 12 分,22-23 选择一个作答,10 分) 17.如图是函数 (1)求函数 y=f(x)的解析式. (2)若 . 的图象的一部分.

18.Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 an>0,an2+2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. .

19.如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= (Ⅰ)求 cos∠CAD 的值; (Ⅱ)若 cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA=

,求 BC 的长.

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD, AB=2AD=2CD=2.E 是 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.

21.已知函数 f(x)=2lnx﹣x2+ax,a∈R. (1)若函数 f(x)﹣ax+m=0 在[ ,e]上有两个不等的实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f(x)的图象与 x 轴交于不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 0<x1<x2,求证: f′(px1+qx2)<0 (实数 p,q 满足 0<p≤q,p+q=1) 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (φ 为参数,实数 a>0) ,曲线 C2:

(φ 为参数,实数 b>0) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中,射线 l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ 时,|OA|=1;当 α= (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 2|OA| +|OA|?|OB|的最大值. 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.
2

)与 C1 交于 O、A 两点,与 C2 交于 O、B 两点.当 α=0

时,|OB|=2.

答案

一.选择题(共 12 小题,每题 5 分) 1.若集合 A.2 B.﹣1 C.﹣1 或 2 D.2 或 ,B={1,m},若 A? B,则 m 的值为( )

【考点】集合关系中的参数取值问题. 【分析】由已知中集合 ,解根式方程可得 A={2},结合 B={1,

m},及 A? B,结合集合包含关系的定义,可得 m 的值. 【解答】解:∵集合 又∵B={1,m} 若 A? B 则 m=2 故选 A ={2}

2.复数 z=﹣2+2i,则 的虚部为( A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2



【考点】复数的基本概念. 【分析】首先求出 ,根据复数的概念求虚部. 【解答】解:因为复数 z=﹣2+2i,则 =﹣2﹣2i, 所以 的虚部为﹣2; 故选:D.

3.下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2﹣x



【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选 项函数在(﹣1,1)上的单调性,从而找出正确选项.

【解答】解:A.x 增大时,﹣x 减小,1﹣x 减小,∴ ∴函数

增大;

在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;

B.y=cosx 在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误; C.x 增大时,x+1 增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选 项错误; D. ;

∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确. 故选 D.

4.已知向量 =(1,m) , =(3,﹣2) ,且( + )⊥ ,则 m=( A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8



【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】求出向量 + 的坐标,根据向量垂直的充要条件,构造关于 m 的方程, 解得答案. 【解答】解:∵向量 =(1,m) , =(3,﹣2) , ∴ + =(4,m﹣2) , 又∵( + )⊥ , ∴12﹣2(m﹣2)=0, 解得:m=8, 故选:D.
5.已知 a,b∈R,则“log2a>log2b”是“( )a<( )b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据指数函数,对数函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
a b 【解答】解:若“( ) <( ) ”,则根据指数函数的单调性的性质可知 a>b,当 a,b

由负值或等于 0 时,log2a>log2b 不成立.

a b 若 log2a>log2b,则 a>b>0.此时“( ) <( ) ”成立.

a b ∴“log2a>log2b”是“( ) <( ) ”的充分不必要条件.

故选:A

6.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织 “一女子善于织布, 几何?”意思是: 每天织的布都是前一天的 2 倍, 已知她 5 天共织布 5 尺, 问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第 3 天所织布的尺数为 ( A. ) B. C. D.

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】设这女子每天分别织布 an 尺,则数列{an}是等比数列,公比 q=2.利用等比数列的 通项公式及其前 n 项公式即可得出. 【解答】解:设这女子每天分别织布 an 尺, 则数列{an}是等比数列,公比 q=2. 则 =5,解得 .

∴a3= 故选:A.

=



7.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C. 3

D.4

【考点】简单线性规划. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 【解答】解:作图 易知可行域为一个三角形, 其三个顶点为(0,1) , (1,0) , (﹣1,﹣2) , 验证知在点(1,0)时取得最大值 2

当直线 z=2x+y 过点 A(1,0)时,z 最大是 2, 故选 B.

8.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体是三棱锥,根据三视图知最里面的面与底面垂直,高为 2 ,结合直观图

判定外接球的球心在 SO 上,利用球心到 A、S 的距离相等求得半径,代入球的表面积公式 计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是三棱锥,且最里面的面与底面垂直,高为 2 ,如图:

其中 OA=OB=OC=2,SO⊥平面 ABC,且 SO=2



其外接球的球心在 SO 上,设球心为 M,OM=x, 则 =2 ﹣x? x= ,∴外接球的半径 R= ,

∴几何体的外接球的表面积 S=4π× 故选:D.

=

π.

9.设 x∈R,若函数 f(x)为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f[f(x)﹣ex]=e+1(e 是自然对数的底数) ,则 f(ln2)的值等于( A.1 B.e+l C. 3 D.e+3 )

【考点】函数单调性的性质. 【分析】利用换元法 将函数转化为 f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出 t 的值,即可求 出函数 f(x)的表达式,即可得到结论. 【解答】解:设 t=f(x)﹣e , 则 f(x)=e +t,则条件等价为 f(t)=e+1, 令 x=t,则 f(t)=e +t=e+1, ∵函数 f(x)为单调递增函数, ∴函数为一对一函数,解得 t=1,
x ∴f(x)=e +1, ln2 即 f(ln2)=e +1=2+1=3, t x x

故选:C.

10.在直角坐标系 xOy 中,设 A(﹣2,3) ,B(3,﹣2) ,沿 x 轴把直角坐标平面折成大小 为 θ 的二面角后,这时 A.120° B.60° C.30° D.45° 【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】作 AC⊥x 轴,BD⊥x 轴,AM 平行等于 CD,连接 AB,MD,根据二面角的平面角的 定义可知∠BDM 就是二面角的平面角,则利用 ,根据余弦定理可知∠BDM 的 ,则 θ 的大小为( )

大小. 【解答】解:作 AC 垂直 x 轴,BD 垂直 x 轴,AM 平行等于 CD, 连接 AB,MD,CD=5,BD=2,AC=3=MD, 而 BD⊥x 轴,MD⊥x 轴(MD∥AC) ,∠BDM 就是二面角的平面角, ∴ ,∴BM= ,

∵DM=3,BD=2 ∴COS∠BDM=﹣ ∴∠BDM=120° 故选 A.

11.若函数 f(x)=x3﹣3x 在(a,6﹣a2)上有最大值,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣ ,﹣1) B. (﹣ ,﹣1] C. (﹣ ,﹣2)D. (﹣ ,﹣2]



【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】因为给的是开区间,最大值一定是在该极大值点处取得,因此对原函数求导、求极 大值点,求出函数极大值时的 x 值,然后让极大值点落在区间(a,6﹣a )内,依此构造不 等式.即可求解实数 a 的值.
3 【解答】解:由题意 f(x)=x ﹣3x, 2 所以 f′(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) , 2

当 x<﹣1 或 x>1 时,f′(x)>0;当﹣1<x<1 时,f′(x)<0,故 x=﹣1 是函数 f(x)的
3 极大值点,f(﹣1)=﹣1+3=2. ,x ﹣3x=2,解得 x=2,

所以由题意应有:



解得﹣

<a≤2.

故选:D.

12.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)=

图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 )

垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是(

A. (0,1) B. (0,2) C. (0,+∞)

D. (1,+∞)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设出点 P1,P2 的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线 l1 与 l2 的斜率,由两 直线垂直求得 P1,P2 的横坐标的乘积为 1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得 A,B 两 点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得 P 的横坐标,然后代入三角形面积公式,利 用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围. 【解答】解:设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) (0<x1<1<x2) , 当 0<x<1 时,f′(x)= ∴l1 的斜率 ,当 x>1 时,f′(x)= , ,

,l2 的斜率

∵l1 与 l2 垂直,且 x2>x1>0, ∴ 直线 l1: ,即 x1x2=1. ,l2: .

取 x=0 分别得到 A(0,1﹣lnx1) ,B(0,﹣1+lnx2) , |AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2. 联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= ,



|AB|?|xP|=

=



1) ∵函数 y=x+ 在 (0, 上为减函数, 且 0<x1<1, ∴

, 则







∴△PAB 的面积的取值范围是(0,1) . 故选:A.

二.填空题(共 4 小题,每题 5 分)

13.已知向量 , 夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 【考点】平面向量数量积的运算.

,则| |=



【分析】利用数量积的性质即可得出. 【解答】解:∵向量 , 夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= ∴ 化为 化为 ∵ ,解得| |= . = , =10, , . .

故答案为:

14.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池 盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水 深九寸,则平地降雨量是 3 寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由题意得到盆中水面的半径,利用圆台的体积公式求出水的体积,用水的体积除以 盆的上地面面积即可得到答案. 【解答】解:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14 寸, 下底面半径为 6 寸,高为 18 寸. 因为积水深 9 寸,所以水面半径为 则盆中水的体积为 所以则平地降雨量等于 故答案为 3. (寸) . 寸. (立方寸) .

15.实数 x,y 满足 4x2﹣5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 【考点】基本不等式.

+

=



2 2 2 2 2 2 2 2 【分析】由 2xy≤x +y 可得 5xy=4x +4y ﹣5≤ (x +y ) ,从而可求 s 的最大值,由 x +y ≥ 2 2 ﹣2xy 及 5xy=4x +4y ﹣5≥﹣8xy﹣5 可得 xy 的范围,进而可求 s 的最小值,代入可求 2 2 【解答】解:∵4x ﹣5xy+4y =5, 2 2 ∴5xy=4x +4y ﹣5, 2 2 2 2 2 2 又∵2xy≤x +y ∴5xy=4x +4y ﹣5≤ (x +y ) 2 2 设 S=x +y ,

4s﹣5≤ s ∴s 即

2 2 ∵x +y ≥﹣2xy 2 2 ∴5xy=4x +4y ﹣5≥﹣8xy﹣5

∴xy ∴﹣xy
2 2 ∴S=x +y ≥﹣2xy

∴ ∴ + = =

故答案为:

16.若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 k= 2 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】先设切点,然后利用切点来寻找切线斜率的联系,以及对应的函数值,综合联立求 解即可 【解答】解:设 y=kx+b 与 y=lnx+2 和 y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b) 、 (x2,kx2+b) ; 由导数的几何意义可得 k= = ,得 x1=x2+1

再由切点也在各自的曲线上,可得 kx1+b=lnx1+2,kx2+b=ln(x2+1) 联立上述式子解得 k=2, 故答案为 2.

三.解答题(共 7 小题,17---21 每题 12 分,22-23 选择一个作答,10 分) 17.如图是函数 (1)求函数 y=f(x)的解析式. (2)若 . 的图象的一部分.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】 (1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值, 可得函数的解析式. (2)由条件求得 ,再根据 2α∈[π,2π],求得 2α= ,可得 tan2α 的值. ,∴ω= ,∴f(x)

【解答】解: (1)由图象可知振幅 A=3,又 =3sin(2x+φ) . 再根据五点法作图可得 2? (2)∵ ∵α∈[ ﹣ . ,∴ ,π],∴2α∈[π,2π],∴2α= +φ=π,∴ ,∴ ,∴ ,∴tan2α=tan

. . =tan(﹣ )=﹣tan =

18.Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 an>0,an2+2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

【考点】数列的求和;数列递推式.

【分析】 (I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式: (Ⅱ)求出 bn= ,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和.

2 2 【解答】解: (I)由 an +2an=4Sn+3,可知 an+1 +2an+1=4Sn+1+3 2 2 两式相减得 an+1 ﹣an +2(an+1﹣an)=4an+1, 2 2 即 2(an+1+an)=an+1 ﹣an =(an+1+an) (an+1﹣an) ,

∵an>0,∴an+1﹣an=2,
2 ∵a1 +2a1=4a1+3,

∴a1=﹣1(舍)或 a1=3, 则{an}是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, ∴{an}的通项公式 an=3+2(n﹣1)=2n+1: (Ⅱ)∵an=2n+1, ∴bn= = = ( ( ﹣ ﹣ ) , +…+ ﹣ )= ( ﹣ )

∴数列 {bn} 的前 n 项和 Tn= = .

19.如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= (Ⅰ)求 cos∠CAD 的值; (Ⅱ)若 cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA=



,求 BC 的长.

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】 (Ⅰ)利用余弦定理,利用已知条件求得 cos∠CAD 的值. (Ⅱ)根据 cos∠CAD,cos∠BAD 的值分别,求得 sin∠BAD 和 sin∠CAD,进而利用两角和 公式求得 sin∠BAC 的值,最后利用正弦定理求得 BC.

【解答】解: (Ⅰ)cos∠CAD=

=

=



(Ⅱ)∵cos∠BAD=﹣ ∴sin∠BAD= ∵cos∠CAD= ∴sin∠CAD= , = =

, ,

∴ sin ∠ BAC=sin ( ∠ BAD ﹣ ∠ CAD ) =sin ∠ BADcos ∠ CAD ﹣ cos ∠ BADsin ∠ CAD= + × = , = ,

×

∴由正弦定理知

∴BC=

?sin∠BAC=

×

=3

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD, AB=2AD=2CD=2.E 是 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)证明平面 EAC⊥平面 PBC,只需证明 AC⊥平面 PBC,即证 AC⊥PC, AC⊥BC; (Ⅱ)根据题意,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出面 PAC 的法 向量 =(1,﹣1,0) ,面 EAC 的法向量 =(a,﹣a,﹣2) ,利用二面角 P﹣A C

﹣E 的余弦值为

,可求 a 的值,从而可求 =(2,﹣2,﹣2) ,

=(1,1,﹣

2) ,即可求得直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC.… (Ⅱ)如图,以 C 为原点,取 AB 中点 F, 、 、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正 ,

向,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,﹣1,0) . 设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E( ,﹣ , ) ,… =(1,1,0) , =(0,0,a) , = ? =( ,﹣ , ) ,

取 =(1,﹣1,0) ,则 ?

=0, 为面 PAC 的法向量. = ? =0,

设 =(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 ? 即

取 x=a,y=﹣a,z=﹣2,则 =(a,﹣a,﹣2) ,

依题意,|cos< , >|= 于是 =(2,﹣2,﹣2) ,

=

=

,则 a=2.…

=(1,1,﹣2) . , >|= = ,

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ,则 sinθ=|cos< 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 .…

21.已知函数 f(x)=2lnx﹣x2+ax,a∈R. (1)若函数 f(x)﹣ax+m=0 在[ ,e]上有两个不等的实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f(x)的图象与 x 轴交于不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 0<x1<x2,求证: f′(px1+qx2)<0 (实数 p,q 满足 0<p≤q,p+q=1) 【考点】利用导数研究函数的极值.
2 2 【分析】 (1)方程 f(x)=﹣ax+m 即为 2lnx﹣x +2ax﹣m=0,令 g(x)=2lnx﹣x +2ax﹣m,

利用导数研究该函数在[,e]上的最小值,要使方程 f(x)﹣ax+m=0 在[ ,e]上有两个不 相等的实数根,得到关于 m 的不等式组,解之即可; (2)将 a 用 x1 与 x2 表示,然后求出导函数 f′(x) ,从而得到 f′(px1+qx2) ,然后利用导数研 究函数的单调性证明 f′(px1+qx2)<0. 【解答】解: (1)方程 f(x)﹣ax+m=0 即为 2lnx﹣x +m=0, 令 g(x)=2lnx﹣x +m,则 g′(x)= ﹣2x= 因为 x∈[ ,e],故 g'(x)=0 时,x=1. 当 <x<1 时,g'(x)>0;当 1<x<e 时,g'(x)<0. 故函数 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m﹣1, 又 g( )=m﹣2﹣ ,g(e)=m+2﹣e , <0,则 g(e)<g( ) ,
2 2 2



g(e)﹣g( )=4﹣e2+

故函数 g(x)在[ ,e]上的最小值是 g(e) . 方程 f(x)﹣ax+m=0 在[ ,e]上有两个不相等的实数根,

则有

,解得 1<m≤2+



故实数 m 的取值范围是(1,2+

].

(2)∵函数 f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) , 2lnx﹣x2+ax=0 的两个根为 x1,x2, 则 2lnx1﹣ +ax1=0①,2lnx2﹣ +ax2=0②,

两式相减得 a=(x1+x2)﹣ f(x)=2lnx﹣x2+ax,f′(x)= ﹣2x+a,



= 则 f′(px1+qx2) ﹣x1) . (*)

﹣2 (px1+qx2)+a=



+(2p﹣1) (x2

∵0<p≤q,p+q=1,则 2p≤1,又 0<x1<x2,∴(2p﹣1) (x2﹣x1)≤0,下证



<0,

即证明

+ln

<0.

令 t=

,∵0<x1<x2,∴0<t<1,

即证明 u(t)=

+lnt<0 在 0<t<1 上恒成立,

∵u′(t)= ﹣

=



∵0<p≤q,∴

≥1,又 0<t<1,∴u'(t)>0,

∴u(t)在(0,1)上是增函数, 则 u(t)<u(1)=0,从而知 故(*)<0,即 f'(px1+qx2)<0 成立. +ln <0,

22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(φ 为参数,实数 a>0) ,曲线 C2:

(φ 为参数,实数 b>0) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中,射线 l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ )与 C1 交于 O、A 两点,与 C2 交于 O、B 两点.当 α=0

时,|OA|=1;当 α= (Ⅰ)求 a,b 的值;

时,|OB|=2.

(Ⅱ)求 2|OA| +|OA|?|OB|的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I)由曲线 C1:
2 2 (φ 为参数,实数 a>0) ,利用 cos φ+sin φ=1 即可

2

化为普通方程, 再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程, 进而得出 a 的值. 同 理可得 b 的值. ( II ) 由 ( I ) 可 得 C1 , C2 的 方 程 分 别 为 ρ=cosθ , ρ=2sinθ . 可 得

2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= 域即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由曲线 C1:

+1,利用三角函数的单调性与值

(φ 为参数,实数 a>0) ,

2 2 2 2 2 化为普通方程为(x﹣a) +y =a ,展开为:x +y ﹣2ax=0, 2 其极坐标方程为 ρ =2aρcosθ,即 ρ=2acosθ,由题意可得当 θ=0 时,|OA|=ρ=1,∴a= .

曲线 C2:

(φ 为参数,实数 b>0) ,

2 2 2 化为普通方程为 x +(y﹣b) =b ,展开可得极坐标方程为 ρ=2bsinθ,

由题意可得当

时,|OB|=ρ=2,∴b=1.

(Ⅱ)由(I)可得 C1,C2 的方程分别为 ρ=cosθ,ρ=2sinθ.
2 2 ∴2|OA| +|OA|?|OB|=2cos θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=

+1, +1,

∵2θ+ 当 2θ+

∈ = 时,θ=

,∴ 时取到最大值.

+1 的最大值为

23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法.

【分析】 (Ⅰ)由 a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f (x)≥2 成立. (Ⅱ)由 f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,分当 a>3 时和当 0<a≤3 时两种情况,分别去掉绝对 值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|≥|(x+ )﹣(x﹣a)|=|a+ |=a+ ≥2 =2,

故不等式 f(x)≥2 成立. (Ⅱ)∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5, ∴当 a>3 时,不等式即 a+ <5,即 a ﹣5a+1<0,解得 3<a<
2 当 0<a≤3 时,不等式即 6﹣a+ <5,即 a ﹣a﹣1>0,求得 2

. <a≤3.

综上可得,a 的取值范围(



) .

2017 年 2 月 15 日


河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(二...

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(二)Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。河北保定易县中学 2017 届高三上学期周考数学(理)试卷 (二)...

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(四...

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷()解析版.doc_数学_高中教育_教育专区。河北保定易县中学 2017 届高三上学期周考数学(理)试卷 (四)一....

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(一...

河北保定易县中学 2017 届 高三上学期周考数学(理)试卷(一)考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、...

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(一)

河北保定易县中学 2017 届高三上学期周考数学(理)试卷(一)考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名...

湖北省枣阳市第七中学2017届高三上学期11月周考数学(理...

湖北省枣阳市第七中学2017届高三上学期11月周考数学(理)试卷Word版含答案.doc...理考生的不同有关. 19. (1)证明见解析; (2) 21 . 7 (1) 证明平面与...

湖北省部分重点中学2017届高三理联考一数学试卷(解析版)

湖北省部分重点中学2017届高三理联考一数学试卷(解析版)_数学_高中教育_教育专区。第 I 卷(选择题)请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1....

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考(9.10)数学(...

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考(9.10)数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。高三数学理科第四次周考试卷(理科) 出题人:李金杰 ...

河北保定易县中学2016-2017学年高一上学期周考数学试卷...

河北保定易县中学2016-2017学年高一上学期周考数学试卷(四)Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。高一 A 部自组题试卷 4 一.选择题: 1.设集合 A ? ?...

2017届河北武邑中学高三上学期周考(9月4日)数学(理)试...

2017届河北武邑中学高三上学期周考(9月4日)数学(理)试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2017 届河北武邑中学高三上学期周考(9 月 4 日) 数学(理)试题一...

2017届河北省武邑中学高三上学期周考(9.18)数学(理)试题

2017届河北省武邑中学高三上学期周考(9.18)数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。2017 届河北省武邑中学高三上学期周考(9.18)数学(理)试题 理科数学第Ⅰ卷(共...