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1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质


§1.3.2(1) “杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
【学习目标】 1. 理解“杨辉三角”与二项式系数之间联系,并探索其中的规律; 2.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质; 3. 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用 【重点难点】 1.重点:二项式系数的性质及其应用; 2.难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【导学流程】 一、复习导入 1.二项式定理及其特例: (1) (a ? b)n ? (2) (1 ? x)n ? 2. 什么是二项式系数?什么是系数? , .

3.二项展开式的通项公式: Tk ?1 ? 二、合作探究,构建概念 【问题探究 1】 杨辉三角的来历及规律 问题:(
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王新敞
奎屯

新疆

a+b) n

(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数有什么规律?

(a+b)1 ???????????????????1 1 (a+b)2???????????????????1 2 1 (a+b)3??????????????????1 3 3 1 (a+b)4?????????????????1 4 6 4 1 (a+b)5????????????????1 5 10 10 5 1 (a+b)6???????????????1 6 15 20 15 6 1 ??????????? 归纳小结: 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况, 那么杨辉三角有何特点? 蕴含规律: 1、 2、

1

【问题探究 2】 问题 1:(

从函数角度分析二项式系数:

a+b) n 展开式的二项式系数为
r r Cn

,从函数 ,定义域为

角度看, Cn 可看成是以 r 为自变量的函数 f(r),令 f(r)=

_______________________________________________________________________ 问题 2:当 n=6 时,作出函数 f(r)的图象如下,其图象是 七个孤立的点。 你能作当 n=7 时函数 ( f r) 的图象吗?

问题 3:当 n=7 时,函数 f(r)的图象是对称的吗?对称轴 在哪儿?

【继续探究】通过图象归纳二项式系数的重要性质 问题 1: (对称性)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗?由公式怎么表示?

问题 2: (增减性与最大值) 由函数 f(r)的图象知,二项式系数的前半部分是逐渐 (增大,减小)的,由对称性知它的后半部分是逐渐 ______________ 的。 问题 3:二项式系数在中间处取得最大值,那么 (1)当 n 是偶数时,中间最大的一项二项式系数是 ,是二项式展开式的第几项? (2)当 n 是奇数时,中间最大的两项二项式系数是 【反馈升华】 1、在(a+b)
20



,是二项式展开式的第几项?

展开式中,与第五项二项式系数相同的项是( B.第 16 项 C.第 17 项 ).

). D.第 18 项

A.第 15 项
11

2 、在(a+b) 展开式中,二项式系数最大的项( A.第 6 项 B.第 7 项

C.第 6 项和第 7 项

D.第 5 项和第 7 项

2

? 1 ? 3、 已知 ? x ? 4 3 ? 展开式中只有第 10 项二项式系数最大,则 n=______ ? x ? ? ?
【问题探究 3】 、各项二项式系数的和 问题:( 1+x) 那么
n

n

= Cn + Cn x+ Cn x2+?+ Cn xr+?+ Cn xn,
0 1 2 n Cn + Cn + Cn +?+ Cn =? _______________

0

1

2

r

n

三、新知应用 例 1:试证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和。

【方法总结】 :赋值法是解决二项式系数问题的常见方法
0 2 4 n 【变式训练】 (1)证明: Cn ? Cn ? Cn ? …? Cn ? 2n?1 ( n 是偶数)

1 2 r n (2) 若 C0 n+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn=2 048,n=________. 0 2 4 (3) 若 Cn+Cn+Cn+…=2 048,n=________.

3

四、 【课堂小结】 1.知识收获:杨辉三角的发现,二项式系数的四个主要性质. 2.方法收获:如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用.

五、 【课后提高】 1、已知 C15 =a, C15 =b,那么 C16 =__________; 2、 (a+b)n 的各二项式系数的最大值是____________; 3、 C11 + C11 +?+ C11 =________; 4、
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? __________; 0 1 2 n ?1 Cn ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1

5

9

10

1

3

11

5、在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;

6.课本 P37,

6,7 题

4


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