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高中数学选修4-1《几何证明选讲》定义定理总结


高中数学选修 4-1《几何证明选讲》定义定理总结
平行线
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线 上截得的线段也相等。 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推论 2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比例。

相似三角形
相似三角形的判定
定义 对应角相等, 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形对应边的 比值叫做相似比(或相似系数) 。 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似。 判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么 这条直线平行于三角形的第三边。 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似。 直角相似三角形的判定定理 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它 们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似; (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对 应成比例,那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质
相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 引理 相似三角形外接圆的直径比、 周长比等于相似比, 外接圆的面积比等于相似比的 平方。 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

直角三角形的射影定理


圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1 定理 2 圆的内接四边形的对角互补。 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共
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圆。

推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。
圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质
定义 顶点在圆上,一边和圆相交、另一边与圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段( 若AB ∩ CD = P , 则PA ? PB = PC ? PD . )
相交弦定理 园内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等。 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。

圆锥曲线
定义 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆。 定理 2 在空间中,取直线 l 为轴,直线 l ′ 与 l 相交于 O 点,夹角为 α , l ′ 围绕 l 旋转得

到以 O 为顶点, l ′ 为母线的圆锥曲线。任取平面 π ,若它与轴 l 的交角为 β (当 π 与 l 平行 时,记 β = 0 ) ,则 (1) β > α ,平面 π 与圆锥的交线为椭圆; (2) β = α ,平面 π 与圆锥的交线为抛物线; (3) β < α ,平面 π 与圆锥的交线为双曲线。

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