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2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测:3.3.2函数的极值与导数


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导数及其应用

3 .3

导数在研究函数中的应用

3.3.2 函数的极值与导数

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1.极值的概念 如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的 左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则把点a叫做y=f(x)的极小值 点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;如果函数y=f(x)在点x =b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0, 则把点b叫做y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极 大值.

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2.求函数y=f(x)的极值的一般方法

解方程f′(x)=0.当f′(x)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么

f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值.

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函数极值求解的一般步骤 依据极值的概念,可以归纳得出求函数y=f(x)的极值的 一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x);

(3)解方程f′(x)=0;
(4)判断f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在 这个根处取得极小值. 注意:函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在 这点取极值的必要条件,而非充分条件. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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求函数f(x)=x3-12x的极值. 解析:易知函数的定义域为R,且 f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).

令f′(x)=0,得x=-2或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

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x f ′( x) (-∞,-2) -2 0 + 单调递增 ↗ (-2,2) - 2 0 (2,+∞) +

f ( x)

16

单调递减 单调递增 -16 ↘ ↗

因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为

f(-2)=16;
当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)=-16. 点评:这是基本题,主要目的是为了巩固函数极值 的求法,要求思路清晰,表述合理.

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变式迁移

1.求下列函数的极值: (1)f(x)=2x3+6x2-18x+3; 1 (2)f(x)=2x+ . x
(1)f(x)的极大值为 57,极小值为-7 (2)f(x)的极大值为-2 2,极小值 2 2

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设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)的极值. 解析:由已知得,f′(x)=6x[x-(a-1)], 令f′(x)=0,解得 x1=0,x2=a-1.

(1)当a=1时,f′(x)=6x2,
f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 当a>1时,f′(x)=6x[x-(a-1)],f′(x),f(x)随x的变 化情况如下表:

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x (-∞,0) 0 (0,a-1)

f′(x) f ( x)

+ ?↗

0
极大值

- ?↘

a-1 0 极小值

(a-1,+∞)

+ ?↗

从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0, a -1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.

(2)由(1)知,
当a=1时,函数f(x)没有极值. 当a>1时,函数f(x)在x=0处取得极大值1,在x=a-1处 取得极小值1-(a-1)3. 点评:该题综合考查了函数的单调性和极值的定义与求 法,其中渗透了字母运算和分类讨论的数学思想,体现了高 考命题的方向,具有很强的实战价值. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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变式迁移
2.(2013· 东莞二模 20)已知函数 f(x)=ax2-2x+ln x. (1)若 f(x)无极值点, 但其导函数 f′(x)有零点, 求 a 的值; (2)若 f(x)有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f(x) 3 的极小值小于- . 2 解析:(1)由题意 x>0,得 2 1 2ax -2x+1 f′(x)=2ax-2+ = . x x f′(x)有零点而 f(x)无极值点,表明该零点左右 f′(x)同 1 2 号,故 a≠0,且 2ax -2x+1=0 的 Δ=0.由此可得 a= . 2 (2)由题意得,2ax2-2x+1=0 有两不同的正根.故 Δ>0, 1 a>0,解得:0<a< . 2

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设 2ax2-2x+1=0 的两根为 x1,x2,不妨设 x1<x2,因为 在区间(0,x1),(x2,+∞)上,f′(x)>0,而在区间(x1,x2)上, f′(x)<0,故 x2 是 f(x)的极小值点. ?x1+x2? ? 因 f(x)在区间(x1,x2)上是减函数,如能证明 f? ? 2 ?<- ? ? 3 3 ,则更有 f(x2)<- . 2 2 x1+x2 1 由韦达定理得, = , 2 2a ?1? ? 1 ?2 ?1? 1 1 3 1 ? ? ? ? ? f?2a?=a?2a? -2? + ln = ln - · . ?2a? 2a 2a 2 2a ? ? ? ? ? ? 1 3 3 令 =t,其中 t>1.设 g(t)=ln t- t+ ,利用导数容易证 2a 2 2 ?1? ? 明 g(t)当 t>1 时单调递减,而 g(1)=0,因此 g(t)<0,即 f? ?2a?< ? ? 3 3 - ,从而有 f(x)的极小值 f(x2)<- . 2 2

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已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取 得极值,且f(1)=-1. (1)试求常数a、b、c的值;

(2)试判断x=±1是函数的极大值还是极小值,并
说明理由. 解析:(1)易得f′(x)=3ax2+2bx+c, ∵x=±1是函数的极值点,

∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系知:, 金品质?高追求

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解析:(1)易得 f′(x)=3ax2+2bx+c, ∵x=± 1 是函数的极值点, ∴x=± 1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根.

? 由根与系数的关系知:? c ?3a=-1
2b - =0 3a



又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1. 1 3 联立上述三式,解得,a= ,b=0,c=- . 2 2

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3 2 3 3 (2)由(1)得,f′(x)= x - = (x+1)(x-1), 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0. ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, 在(-1,1)上是减函数. 因此,当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1; 当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1.

点评:根据题目的结构特征进行逆向思维,合理地 实现问题的转化,挖掘出问题的隐含条件f '(±1)=0,从 而运用待定系数法求得常数a、b、c的值.

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变式迁移 3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且知当x=-1 时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的 极小值,并求a,b,c的值.

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解析:依题意有:f′(x)=3x2+2ax+b, ∵x=-1 时取得极大值 7,x=3 时取得极小值, ∴-1,3 是方程 f′(x)=0 的根,

? 根据韦达定理有:? b ?-1×3=3

2a -1+3=- 3



解得 a=-3,b=-9, 所以 f(x)=x3-3x2-9x+c, 且有 f(-1)=-1-3+9+c=7 ∴c=2,∴函数 f(x)的极小值 f(3)=-25.

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基础训练

(

1.f′(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值点的 ) A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

解析:y=f(x)在x=x0处有极值点时不仅要f '(x0)= 0,而且还要x0左右的增减性相异.
答案:C 金品质?高追求 我们让你更放心!

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