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高中数学选择题解题方法总结


选择题解题策略
解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分,一步失误,造成错选, 全题无分。所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保准确。迅速是赢得时间获取高 分的必要条件。高考中考生不适应的试题,致使“超时失分”是造成低分的一大因素。对于选择题的解答,速度越快 越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完。一般地,解答选择题的策略是:① 熟练掌握各种基本题型的一般解 法。② 结合高考单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点,灵 活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性” ,寻求简便解法,充分利用选择支 的暗示作用,迅速地作出正确的选择。

一、常用方法
1、直接法:
直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出 正确的结论,然后对照题目所给出的选择支"对号入座"作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常 用直接法. 直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广,只要运算 正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力,准确地把握中档题目的"个性",用简便方法巧解选择题,是建 在扎实掌握"三基"的基础上,否则一味求快则会快中出错.

例 1.若 sinx>cosx,则 x 的取值范围是( ) (A){x|2k-<x<2k+,kZ} (B) {x|2k+<x<2k+,kZ} (C) {x|k-<x<k+,kZ } (D) {x|k+<x<k+,kZ} 解: (直接法)由 sinx>cosx 得 cosx-sinx<0,即 cos2x<0,所以:+kπ<2x<+kπ,选 D. 另解:数形结合法:由已知得|sinx|>|cosx|,画出 y=|sinx|和 y=|cosx|的图象,从图象中可知选 D. 例 2.设 f(x)是(-∞,∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 解:由 f(x+2)=-f(x)得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5),由 f(x)是奇函数,得 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选 B. 也可由 f(x+2)=-f(x),得到周期 T=4,所以 f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 例 3.七人并排站成一行,如果甲、乙两人必需不相邻,那么不同的排法的种数是( ) (A) 1440 (B) 3600 (C) 4320 (D) 4800 解一: (用排除法)七人并排站成一行,总的排法有种,其中甲、乙两人相邻的排法有 2× 种.因此,甲、乙两人必需 不相邻的排法种数有:-2× =3600,对照后应选 B; 解二: (用插空法)× =3600. 例 2.高考题)设 f(x)是定义在(-∞,+∞)的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于
______。 A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5 解:由 f(x+2)=-f(x)得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)= f(-0.5),由 f(x)是奇函数得 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选 B。 也可由 f(x+2)=-f(x),得到周期 T=4, 所以 f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。

例 3.某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有 2 次击中目标的概率为

A.


81 125 B. 54 125 C. 36 125 D. 27 125

解析:某人每次射中的概率为 0.6,3 次射击至少射中两次属独立重复实验。
6 4 6 27 3 C 32 ? ( ) 2 ? ? C 3 ? ( )3 ? 10 10 10 125

故选 A。

例 4.有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α 的一条斜线 l 有且仅有一个
平面与α 垂直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直。其中正确命题的个数 为( A.0 ) B.1 C.2 D.3
1

解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选 D。
x2 y2 例 5.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B,若|AB|=5,则 16 9

|AF1|+|BF1|等于( A.11

) B.10 C .9 D.16

解析:由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入, 得|AF1|+|BF1|=11,故选 A。

例 6.已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数,∵ y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且 2-a>0,∴1<a<2,故选 B。
直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广,只要运算正确必 能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力,准确地把握中档题目的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建在扎 实掌握“三基”的基础上,否则一味求快则会快中出错。

2、特例法
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

例 1.已知长方形的四个项点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与
AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射解等于反射角) ,设 P4 坐标为(的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 解:考虑由 P0 射到 BC 的中点上,这样依次反射最终回到 P0,此时容易求出 tan=,由题设条件知,1<x4<2,则 tan≠,排除 A、B、D,故选 C. 另解: (直接法)注意入射角等于反射角,......,所以选 C.

例 2.如果 n 是正偶数,则 C+C+...+C+C=(



(A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) (n-1)2 解: (特值法)当 n=2 时,代入得 C+C=2,排除答案 A、C;当 n=4 时,代入得 C+C+C=8,排除答案 D.所 以选 B. 另解: (直接法)由二项展开式系数的性质有 C+C+...+C+C=2,选 B.

例 3.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为(



(A)130 (B)170 (C)210 (D)260 解: (特例法)取 m=1,依题意=30,+=100,则=70,又{an}是等差数列,进而 a3=110,故 S3=210,选(C).

例 4.若,P=,Q=,R=,则( ) (A)RPQ (B)PQ R (C)Q PR (D)P RQ 解:取 a=100,b=10,此时 P=,Q==lg,R=lg55=lg,比较可知选 PQR 当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷 地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可 用或结合特例法解答的约占 30%左右. 例 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n-1,其前 n 和为 Sn,
那么 Cn1S1+ Cn2S2+?+ CnnSn=( ) A. 2n-3n B. 3n -2n C. 5n -2n D. 3n -4n (提示:一般的解法是:先根据通项公式 an=2n-1 求得和的公式 Sn,再代入式子 Cn1S1+ Cn2S2+?+ CnnSn,再利 用二项式展开式的逆用裂项求和得解)其实这既然是小题,就应该按照解小题的思路来求做: 解:令 n=2,代入式子,再对照选项,选 B 例 2.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 a?b? 例 6.若 a ? b ? 1 ,P= lg a ? lgb ,Q= 1 ?lg a ? lg b? ,R= lg? ? ? ,则( ) 2 ? 2 ? (A)R ? P ? Q (B)P ? Q ? R
2

(C)Q ? P ? R

(D)P ? R ? Q

用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好。 (1)特殊值 例 7、若 sinα >tanα >cotα ( ? A .( ?
?
2

?
4

?? ?

?
2

),则α ∈(
?
4


?
4

,?
?
4

?
4

)
?
2

B. (?

?
4

,0)

C. (0,

) D. (



?
2



解析:因 ?

?? ?

,取α =-

π 代入 sinα >tanα >cotα ,满足条件式,则排除 A、C、D,故选 B。 6

例 8、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( A.-24 B.84 C.72 D.36



解析: 结论中不含 n, 故本题结论的正确性与 n 取值无关, 可对 n 取特殊值, 如 n=1, 此时 a1=48,a2=S2 -S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D。 (2)特殊函数 例 9、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( A.增函数且最小值为-5 C.增函数且最大值为-5
5 3



B.减函数且最小值是-5 D.减函数且最大值是-5

解析:构造特殊函数 f(x)= x,虽然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,且最 大值为 f(-3)=-5,故选 C。 例 10、 定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数, 设 a+b≤0, 给出下列不等式: ①f(a)· f(-a)≤0; ②f(b)· f(- b)≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③ )

解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 (3)特殊数列 例 11、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0 ,则有 A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a2 ? a102 ? 0 C、 a3 ? a99 ? 0 D、 a51 ? 51 ( )

解析:取满足题意的特殊数列 an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C。 (4)特殊位置 例 12、过 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ,则
1 1 ? ? p q

( B、
1 2a



A、 2a

C、 4 a

D、

4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时, | PF |?| FQ |?

1 1 1 ,所以 ? ? 2a ? 2a ? 4a ,故选 C。 2a p q
3

例13、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是 ( )

解析:取 h ? (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2

例 14、设函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,则其反函数 f

?1

( x) 的图像是





A、

B、

C、

D、

解析:由函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,可令 x=0,得 y=2;令 x=4,得 y=4,则特殊点(2,0)及(4,4)都应在 反函数 f-1(x)的图像上,观察得 A、C。又因反函数 f-1(x)的定义域为 {x | x ? 2} ,故选 C。 (6)特殊方程 例 15、双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α ,离心率为 e,则 cos A.e B.e2 C.
1 e

? 等于( ) 2

D.

1 e2

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方

? 2 x2 y2 5 程为 - =1,易得离心率 e= ,cos = ,故选 C。 2 4 1 2 5
(7)特殊模型 例 16、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 A.
1 2 y 的最大值是( x



B.

3 3

C.

3 2

D. 3

y ? y1 y y?0 可写成 。联想数学模型:过两点的直线的斜率公式 k= 2 ,可将问题看成圆 x?0 x x2 ? x1 (x-2)2+y2=3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D。
解析:题中
当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得愈简单愈好)进行探求,从而清晰、快捷 地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略。近几年高考选择题中 可用或结合特例法解答的约占 30%左右。

3、筛选法
从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据"四选一"的指令,逐步剔除干扰项,从而得出正确的判断.

例 1.已知 y=log(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(


4

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D) [2,+∞ 解:∵ 2-ax 是在[0,1]上是减函数,所以 a>1,排除答案 A、C;若 a=2,由 2-ax>0 得 x<1,这与 x∈[0,1] 不符合,排除答案 D.所以选 B.

例 2.过抛物线 y=4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q,那么线段 PQ 中点的轨迹方程是(



(A) y=2x-1 (B) y=2x-2 (C) y=-2x+1 (D) y=-2x+2 解: (筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0),开口向右,由此排除答案 A、C、D,所以选 B; 另解: (直接法)设过焦点的直线 y=k(x-1),则,消 y 得: kx-2(k+2)x+k=0,中点坐标有,消 k 得 y=2x-2,选 B. 筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选择支中找出明显 与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择. 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中约占 40%. (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是_____。 A. [0,1] B. (1,2] C. (0,2) D. [2,+∞) 解: ∵2-ax 是在[0,1]上是减函数,所以 a>1,排除答案 A、C;若 a=2,由 2-ax>0 得 x<1,这与[0,1]不符合,排 除答案 C。所以选 B。 例 4.已知 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D) [2,+∞ )

例 3. (高考题)已知 y=log

例 4、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (1, 2 ] B. (0,
3 ] 2
1 2 C .[ , ] 2 2



D. (

1 2 , ] 2 2

? 解析:因 x 为三角形中的最小内角,故 x ? (0, ] ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排除 B,C,D,故应选 A。 3
例 5、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元,现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元,超过 3 分钟的,每分钟按 0.11 元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( A.不会提高 70% C.不会低于 10% 解析: 取 x=4, y= 排除 A,故选 B。 例 6、 给定四条曲线: ① x2 ? y2 ? , ② 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
x2 y2 ? ? 1是相交 9 4 5 2 y2 x2 y2 x2 ③ x2 ? ④ ? y 2 ? 1,其中与直线 x ? y ? 5 ? 0 ? ? 1, ? 1, 9 4 4 4



B.会高于 70%,但不会高于 90% D.高于 30%,但低于 100% 0.33 - 0.36 3.19 - 1.8 · 100% ≈- 8.3% , 排除 C 、 D ; 取 x = 30 , y = 100%≈77.2%, 0.36 1.8 ·

解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线 从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线 的,因为直线上的点 ( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D。

4、代入法
将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题 成立的选择支就是应选的答案.

例 1.函数 y=sin(-2x)+sin2x 的最小正周期是(



(A) (B) (C) 2 (D) 4 解: (代入法)f(x+)=sin[-2(x+)]+sin[2(x+)]=-f(x), 而 f(x+π)=sin[-2(x+π)]+sin[2(x+π)]=f(x).所以应选 B; 另解: (直接法)y=cos2x-sin2x+sin2x=sin(2x+),T=π,选 B.
5

例 2.函数 y=sin(2x+)的图象的一条对称轴的方程是(



(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x= 解: (代入法)把选择支逐次代入,当 x=-时,y=-1,可见 x=-是对称轴,又因为统一前提规定"只有一项是 符合要求的",故选 A. 另解: (直接法) ∵函数 y=sin(2x+)的图象的对称轴方程为 2x+=kπ+,即 x=-π, 当 k=1 时,x=-,选 A. 代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。

例 3.函数 y=sin(2x+
(A)x=-

A. ??11 , ?

? ? 5? (C)x= (D)x= 4 4 8 ? x ? 2,x ≤ 0, 例 4.已知函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ≥ x 2 的解集为( ) ?? x ? 2,x ? 0,
(B)x=- B. ? ?2, 2? C. ??21 , ? D. ? ?1 , 2?

? 2

5? )的图象的一条对称轴的方程是( 2



例 5、计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0—9 和字母 A—F 共 16 个计数符号, 这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六 进制 十进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 1 B 1 2 C 1 3 D 1 4 ( E 1 5 ) F 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

例如:用十六进制表示 E+D=1B,则 A×B= A.6E B.72 C.5F D.BO

解析:采用代入检验法,A×B 用十进制数表示为 1×11=110,而 6E 用十进制数表示为 6×16+14=110;72 用十进制数表示为 7×16+2=114 5F 用十进制数表示为 5×16+15=105;B0 用十进制数表示为 11×16+0=176,故选 A。 例 6、方程 x ? lg x ? 3 的解 x0 ? A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) , ( )

l x? 0 , l x? 1 ; ( ,2 ) , l x1 ? , l x3 ? ; 2 , 3 ) 0 1 ,) , 解析: 若 x?( 则g 则 x ?g 若 x ?1 则 0 ?g 则 1 ? x ?g 若 x?( 则 0 ? lg x ? 1 ,则 2 ? x ? lg x ? 4 ;若 x ? 3,lg x ? 0 ,则 x ? lg x ? 3 ,故选 C。

5、图解法
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上也叫数形结合法.

例 1.在内,使成立的的取值范围是(



(A) (B) (C) (D) 解: (图解法)在同一直角坐标系中分别作出 y=sinx 与 y=cosx 的图象,便可观察选 C. 另解: (直接法)由得 sin(x-)>0,即 2 kπ<x-<2kπ+π,取 k=0 即知选 C.

例 2.在圆 x+y=4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是( ) (A) (, ) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-,-) 解: (图解法) 在同一直角坐标系中作出圆 x+y=4 和直线 4x+3y-12=0 后, 由图可知距离最小的点在第一象限内, 所以选 A. 直接法:先求得过原点的垂线,再与已知直线相交而得. 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种数形结合的解题策略。但它在解有关选择题时,非常简 便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的 选择.如: 例 3. .函数 y=|x2-1|+1 的图象与函数 y=2 x 的图象交点的个数为(

6

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 本题如果图象画得不准确,很容易误选(B) ;答案为(C) 。 但凡考题涉及到函数和坐标系的,直接画图。

这道题通过画图很容易知道 x=1 最小,而且谁离 1 距离近谁就小,离的远就大,画完图就是小学生做的了。这 题简单,但是却能代表这一类题的思维。记着,所有函数题,都给我先画图。

例 4.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是(
5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 5? ) (C) ( , 4 4
(A) (



? ?

(B) (

?

(D) (

?
4

4

,? )
,? ) ? ( 5? 3? , ) 4 2


例 5.在圆 x
(A) (

2

+y =4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是( (B)(

2

8 6 , ) 5 5 8 6 (C)(- , ) 5 5
(B)2

6 8 ,- ) 5 5 6 8 (D)(- ,- ) 5 5
(C)3 ) (D)4

例 6.函数 y=|x2—1|+1 的图象与函数 y=2 x 的图象交点的个数为(
(A)1

例 7、已知α 、β 都是第二象限角,且 cosα >cosβ ,则( A.α <β C.tanα >tanβ B.sinα >sinβ D.cotα <cotβ



解析:在第二象限角内通过余弦函数线 cosα >cosβ 找出α 、β 的 终边位置关系,再作出判断,得 B。 例 8、已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b |= A. 7 ( B. 10 ) C. 13 D.4
O A

b

3b
a +3 b

a

B

解析:如图,a +3 b = OB ,在 ?OAB 中, | OA |? 1,| AB |? 3, ?OAB ? 120 ,?由余弦定理得| a + 3 b |=| OB |= 13 ,故选 C。 例 9、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( A .4 B.5 C.6 D.7 )

d d 解析:等差数列的前 n 项和 Sn= n2+(a1- )n 可 2 2

Sn
O 3 5 7 n

表示 表示如图,

为过原点的抛物线,又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可

7

由图可知,n=

3?7 ? 5 ,是抛物线的对称轴,所以 n=5 是抛 2

物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小,故选 B。
数形结合,借助几何图形的直观性,迅速作正确的判断是高考考查的重点之一;历年高考选择题直接与图形有 关或可以用数形结合思想求解的题目约占 50%左右.

6、割补法
"能割善补"是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为规则的图形,这样可 以使问题得到简化,从而缩短解题长度.

例 1. . 一个四面体的所有棱长都为, 四个项点在同一球面上, 则此球的表面积为 (
6

) (A)3 (B)4 (C)3 (D)

解:如图,将正四面体 ABCD 补形成正方体,则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体 棱长为,所以正方体棱长为 1,从而外接球半径 R=.故 S 球=3. 我们在初中学习平面几何时,经常用到"割补法",在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了"割补法",这 些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此,当我们遇到不规则的几何图形或几何体时,自然要想到"割补 法".

7、极限法:
从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解 题难度,优化解题过程. ) (A)sin(sinθ)<cosθ<cos(cosθ) (B) sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ) (C)sin(cosθ)<cos(sinθ)<cosθ (D) sin(cosθ)<cosθ<cos(sinθ) 解:当 θ0 时,sin(sinθ)0,cosθ1,cos(cosθ)cos1,故排除 A,B. 当 θ 时,cos(sinθ)cos1,cosθ0,故排除 C,因此选 D. ) (A) (0,2) (B) (0,2.5) (C) (0, ) (D) (0,3) 解:不等式的"极限"即方程,则只需验证 x=2,2.5,和 3 哪个为方程的根,逐一代入,选 C.

例 1.对任意 θ∈(0, )都有(

例 2.不等式组的解集是(

例 3.在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( ) (A) (π,π) (B) (π,π) (C) (0, ) (D) (π,π) 解:当正 n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时,则底面正多边形便为极限状态,此时棱锥相邻两侧面所成 二面角 α→π,且小于 π;当棱锥高无限大时,正 n 棱柱便又是另一极限状态,此时 α→π,且大于 π,故选(A). 用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速找到 答案。 8、估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少 运算量,当然自然加强了思维的层次.

例 1.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为
3 的正方形,EF∥AB,EF ? 体的体积为( (A) ) (B)5 (C)6 (D)

E

F

3 ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面 2
15 2
A

D

C

9 2

B

解:由已知条件可知,EF∥平面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 的距离为 2, ∴VF-ABCD=· 32· 2=6,而该多面体的体积必大于 6,故选(D).

例 2.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且
AB=BC=CA=2,则球面面积是( ) (A)π (B)π (C)4π (D)π 解∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r=,则 S 球=4πR2≥4πr2=π>5π,故选(D).

就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算 结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。 例 3、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工
8

资源共享性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 04 年起的 5 年内,农民的工资源共享 性收入将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加 160 元。根据以上数据,08 年该地区人均收入介 于 (A)4200 元~4400 元 (C)4460 元~4800 元 ( )

(B)4400 元~4460 元 (D)4800 元~5000 元

1 2 解析:08 年农民工次性人均收入为: 1800(1 ? 0.06)5 ? 1800(1 ? C5 ? 0.06 ? C5 ? 0.062

? 1800(1 ? 0.3 ? 0.036) ? 1800 ?1.336 ? 2405

又 08 年农民其它人均收入为 1350+160 ? 5 =2150 故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555(元) 。故选 B。
估算,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.其应用广泛,它是人们发现问题、 研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.

9、分析法:
就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择 的方法。 (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理, 迅速作出判断的方法,称为特征分析法。 例 1、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联, 连线标的数字表示该段网线 间内可以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 息, 信息可以分开沿不同的路线同时传送, 则单位 传递的最大信息量为( A.26 B.24 C.20 ) D.19 单位时 传送信 时间内

解析:题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支要以最小值来计算,否则无法同时传送,则 总数为 3+4+6+6=19,故选 D。 例 2、设球的半径为 R, P、Q 是球面上北纬 600 圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣弧的长是 则这两点的球面距离是 A、 3R B、
2?R 2

?R , 2

( C、



?R 3

D、

?R 2

解析:因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除 A、B、D,故选 C。 例 3、已知 sin ? ? A、
m?3 9?m m?3 4 ? 2m ? ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan 等于 ( m?5 m?5 2 2



B、 |

m?3 | 9?m

C、

1 3

D、 5

解析:由于受条件 sin2θ +cos2θ =1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sinθ ,cosθ 的值应与 m 的值
9

? ? ? ? ? ? 无关,进而推知 tan 的值与 m 无关,又 <θ <π , < < ,∴tan >1,故选 D。 2 2 2 4 2 2
(2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,选出正确支的方 法,称为逻辑分析法。 例 4、设 a,b 是满足 ab<0 的实数,那么 A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| ( )

D.|a-b|<|a|+|b|

解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0,可令 a=1,b= -1, 代入知 B 为真,故选 B。 例 5、 ?ABC 的三边 a, b, c 满足等式 a cos A ? b cos B ? c cos C ,则此三角形必是() A、以 a 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 D、其它三角形

解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B 的对称式,因此选项在 A、B 为等价命题都被淘汰,
1 1 1 1 若选项 C 正确,则有 ? ? ,即 1 ? ,从而 C 被淘汰,故选 D。 2 2 2 2

二、选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算
例 1、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A、 3? B、 4? C、 3 3? D、 6? )

解析:借助立体几何的两个熟知的结论: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2)若正方体的 顶点都在一个球面上,则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径 R ? 表面积为 3? ,故选 A。
3 ,从而求出球的 2

2、借用选项——验算
?3 x ? y ? 12, ?2 x ? 9 y ? 36, ? 例 2、若 x, y 满足 ? ,则使得 z ? 3x ? 2 y 的值最小的 ( x, y) 是 ?2 x ? 3 y ? 24, ? ? x ? 0, y ? 0,
A、 (4.5,3) B、 (3,6) C、 (9,2) D、 (6,4) ( )

解析:把各选项分别代入条件验算,易知 B 项满足条件,且 z ? 3x ? 2 y 的值最小,故选 B。

3、极限思想——不算
例 3、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ? ,侧面与底面所成的二面角的平面角为 ? ,则
2 cos? ? cos2? 的值是

( C、-1 D、
3 2



A、1

B、2

10

解析:当正四棱锥的高无限增大时,? ? 90? , ? ? 90? ,则 2 cos? ? cos2? ? 2 cos90? ? cos180? ? ?1. 故选 C。

4、平几辅助——巧算
例 4、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 ( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条

解析:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。以 A(1,2)为圆心, 1 为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B。由平面几何知识易知,满足题意的直线是两圆 的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线。故选 B。

5、活用定义——活算
例 5、若椭圆经过原点,且焦点 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为 A、
3 4





B、

2 3

C、

1 2

D、

1 4

解析:利用椭圆的定义可得 2a ? 4, 2c ? 2, 故离心率 e ?

c 1 ? . 故选 C。 a 2

6、整体思想——设而不算
例 6、若 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ?(a1 ? a3 )2 的值为 ( ) A、1 B、-1 C 、0 D、2

解析:二项式中含有 3 ,似乎增加了计算量和难度,但如果设 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? (2 ? 3) 4 ,

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b ? (2 ? 3) 4 ,则待求式子 ? ab ? [(2 ? 3)(2 ? 3)]4 ? 1。故选 A。

7、大胆取舍——估算
例 7、如图,在多面体 ABCDFE 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 的 距 离 为 ( ) A、
9 2 3 ,EF 与面 ABCD 2

2 , 则 该 多 面 体 的 体 积 为

B、5

C、6

D、

15 2

1 1 解析:依题意可计算 VE ? ABCD ? S ABCD ? h ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 ,而 VABCDEF ? VE ? ABCD =6,故选 D。 3 3

8、发现隐含——少算
例 8 、 y ? kx ? 2与 x 2 ? ( )
11

y2 ? 1 交 于 A 、 B 两 点 , 且 kOA ? kOB ? 3 , 则 直 线 AB 的 方 程 为 2

A、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 C、 3x ? 2 y ? 4 ? 0

B、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 D、 3x ? 2 y ? 4 ? 0

解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线 AB 的方程就是 y ? kx ? 2 ,它过定点(0,2) , 只有 C 项满足。故选 C。

9、利用常识——避免计算
例 9、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在 2001 年 9 月存入人民币 1 万元,存期一年,年利率为 2.25%,到期时净得本金和利息共计 10180 元,则利息税的 税率是 A、8% B、20% ( C、32% ) D、80%

解析:生活常识告诉我们利息税的税率是 20%。故选 B。

三、选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼”
例 10、过曲线 S : y ? 3x ? x 3 上一点 A(2, ? 2) 的切线方程为( A、 y ? ?2 C、 9 x ? y ? 16 ? 0 B、 y ? 2 D、 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? ?2 )

错解: f / ( x) ? ?3x 2 ? 3, f / (2) ? ?9 ,从而以 A 点为切点的切线的斜率为– 9 ,即所求切线方程为
9 x ? y ? 16 ? 0. 故选 C。

剖析:上述错误在于把“过点 A 的切线”当成了“在点 A 处的切线” ,事实上当点 A 为切点时,所 求的切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ,而当 A 点不是切点时,所求的切线方程为 y ? ?2. 故选 D。

2、挖掘背景
例 11 、 已 知 x ? R, a ? R , a 为 常 数 , 且 f ( x ? a) ? ( ) A、2 a 分析:由于 tan( x ? B、3 a C、4 a D、5 a
1 ? f ( x) , 则 函 数 f ( x) 必 有 一 周 期 为 1 ? f ( x)

?
4

)?

? 1 ? tan x ,从而函数 f ( x) 的一个背景为正切函数 tanx,取 a ? ,可得必有 1 ? tan x 4

一周期为 4 a 。故选 C。

? ? ? ? 例 12、设 tan ? 、 t an ? 是方程 x3 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? ? (? , ), ? ? (? , ) ,则 ? ? ? 的值 2 2 2 2
为 A、 ?
2? 3

3、挖掘范围

( B、

) C、

? 3

?
3

或?

2? 3

D、 ?
,

?
3



2? 3

错解:易得 tan( ? ? ? ) ? 3 , 又? ? (?

? ?
2 2 ,

), ? ? (?

? ?
2 2

), ? ? ? ? (?? , ? ) , 从而 ? ? ? ?

?
3

或?

2? . 故选 3
12

C。 剖析:事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知

? ? 2? t a? n ?t a n ? ? 0, t a ? nt an ? ? 0, 故 t a ? n ? 0, 且 t a n ? ? 0 .从而 ? ? (? , 0), ? ? (? , 0) ,故 ? ? ? ? ? . 故 2 2 3
选 A。

4、挖掘伪装
2 例 13 、 若 函 数 f ( x) ? log x ? ax? 3)( a? 且 0 a? , 1) 满 足 对 任 意 的 x1 、 x2 , 当 x1 ? x2 ? a (

a 时, 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为(
A、 (0, 1) ? (1, 3) C、 (0, 1) ? (1, 2 3) 分析: “对任意的 x1、x2,当 x1 ? x2 ?



B、 (1, 3) D、 (1, 2 3)
a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ”实质上就是“函数单调递减”的“伪 2
2

?a ? 1, a ? 装” ,同时还隐含了“ f ( x) 有意义” 。事实上由于 g ( x) ? x ? ax ? 3 在 x ? 时递减,从而 ? a 由此 2 g ( ) ? 0 . ? ? 2
得 a 的取值范围为 (1, 2 3) 。故选 D。

5、挖掘特殊化
2x 2 x?3 例 14、不等式 C12 的解集是( ? C12

) C、{4,5,6} D、{4,4.5,5,5.5,6}

A、 ?

B、 {大于3 的正整数 }

分析:四个选项中只有答案 D 含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将 x 值取 4.5 代入 验证,不等式成立,这说明正确选项正是 D,而无需繁琐地解不等式。

6、挖掘修饰语
例 15、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代表,校际间轮流发言,对 日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉,对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂,那么不同的发言 顺序共有( A、72 种 ) B、36 种 C、144 种 D、108 种

分析:去掉题中的修饰语,本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目:三男三女站成一排,男女
3 3 相间而站,问有多少种站法?因而易得本题答案为 2 A3 A3 ? 72种。故选 A。

7、挖掘思想
例 16、方程 2 x ? x 2 ? A、0
2 的正根个数为( x

) C 、2 D、3

B、1

分析:本题学生很容易去分母得 2 x 2 ? x 3 ? 2 ,然后解方程,不易实现目标。

13

事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出 y ? 2 x ? x 2 , y ? 点。故选 A。

2 的图象,容易发现在第一象限没有交 x

8、挖掘数据
例 17 、定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C , 则 称 函 数 f ( x) 在 D 上 的 均 值 为 C 。 已 知 f ( x) ? lg x, x ?[10, 100] , 则 函 数 2

f ( x) ? lg x 在 x ?[10, 100] 上的均值为(
A、
3 2

) C、
7 10

B、

3 4

D、10

分析:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) lg( x1 x2 ) ? ?C, 从而对任意的 x1 ?[10, 100] , 存在唯一的 x2 ?[10, 100] , 使得 x1 , x 2 2 2

为 常 数 。 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 , 100 。 令 x1 x2 ? 10?1 0 0 ?1 0 0 , 0当 x1 ?[10, 100] 时 ,
x2 ?
lg( x1 x 2 ) 3 1000 ? . 故选 A。 ,由此得 C ? ? [10, 1 0 ] 0 2 2 x1

四、选择题解题的常见失误
1、审题不慎
例 18、设集合 M={直线} ,P={圆} ,则集合 M ? P 中的元素的个数为 A、0 B、1 C、2 ( ) D、0 或 1 或 2

误解:因为直线与圆的位置关系有三种,即交点的个数为 0 或 1 或 2 个,所以 M ? P 中的元素的个 数为 0 或 1 或 2。故选 D。 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错用直线与圆的 位置关系解题。实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们没有公共元素。故选 A。

2、忽视隐含条件
2 x 、 sin x 分 别 是 sin ?与 cos? 的 等 差 中 项 和 等 比 中 项 , 则 cos 2 x 的 值 为 例 19 、 若 s i n



) A、
1 ? 33 8

B、

1 ? 33 8

C、

1 ? 33 8
s i2 n x?

D、

1? 2 4
c o s

误解:依题意有 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? , ①

? s i n ?



由①2-②× 2 得, 4 cos2 2 x ? cos2 x ? 2 ? 0 ,解得 cos 2 x ?

1 ? 33 。故选 C。 8

剖析: 本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。 事实上, 由 sin 2 x ? sin ? cos? , 得 cos 2 x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以
1 ? 33 不合题意。故选 A。 8

3、概念不清
例 20、已知 l1 : 2x ? my ? 2 ? 0, l2 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 ,且 l1 ? l2 ,则 m 的值为( )
14

A、2

B、1

C、0

D、不存在

误解:由 l1 ? l2 ,得 k1k 2 ? ?1. ? ?

2 ?m ?( ) ? ?1 ,方程无解,m 不存在。故选 D。 m 2

剖析: 本题的失误是由概念不清引起的, 即 l1 ? l2 , 则 k1k 2 ? ?1 , 是以两直线的斜率都存在为前提的。 若一直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0,则两直线也垂直。当 m=0 时,显然有 l1 ? l2 ;若 m ? 0 时, 由前面的解法知 m 不存在。故选 C。

4、忽略特殊性
例 21、已知定点 A(1,1)和直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的距离相等的点 的轨迹是 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 ( D、直线 )

误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。故选 C。 剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直线 l 上。故选 D。

5、思维定势
例 22、 如图 1, 在正方体 AC1 中 盛满水, E、 F、 G 分别为 A1B1、 BB1、 BC1 的中点。若三个小孔分别位于 E、F、G 三点处,则正方体中的水 最多会剩下原体积的 A、
11 12

( C、
5 6



B、

7 8

D、

23 24

误解:设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN,则平面 EFMN 左边的体积即为所求,由三棱柱 B1EF
1 —C1NM 的体积为 V正方体 ,故选 B。 8

剖析:在图 2 中的三棱锥 ABCD 中,若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处,则在截面 EFG 下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图 2 的思维定势,即过三个小孔的平面为截面时分成的 两部分中,较大部分即为所求。事实上,在图 1 中,取截面 BEC1 时,小孔 F 在此截面的上方,
VB1 ? BEC1 ? 1 V正方体 ,故选 A。 12

6、转化不等价
例 23、函数 y ? x ? x 2 ? a 2 (a ? 0) 的值域为 A、 (??, 0) ? (0, ? ?) B、 [a, ? ?) C、 (??, 0] ( ) D、 [?a, 0) ? [a, ? ?)
x2 ? a2 ,所以 x ? 0 ,故 2x

误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 f ?1 ( x) ? 选 A。

剖析:本题的失误在于转化不等价。事实上,在求反函数时,由 y ? x ? ? x 2 ? a 2 ,两边平方得
15

这样的转化不等价, 应加上条件 y ? x , 即y? ( y ? x) 2 ? x 2 ? a 2 , 故选 D。

y2 ? a2 , 进而解得,y ? a或 ? a ? y ? 0 , 2y

五、总结提炼
从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么"策略","手段"都是无关紧要的.所以人称可以"不择手段 ".但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几 种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真 正做到准确和快速. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答,但更应该充分挖掘题目的 "个性",寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答 案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.

1)数学选项暗示:
①开闭区间开闭区间的思想就是暗示我们能不能取到这个值,直接代入验证就行。一般可通过数形结合来判断 其具体取值。 ②含有+∞及-∞的。即极限讨论法,一般有给出无穷大的选项,我么可用极限的思想去讨论排除或者待选(案 例较多,大家自行找任意题去验证) 。 ③函数单调性判断。根据单调性的特征取两个到三个好算的特殊值验证即可得出结论。 ④函数奇偶性判断。根据对称特性,取相应的对称点验证是否成立。

2)根据所学知识点简化
仅限数学,我们完全可以利用知识点干掉干扰条件,当你常规方法做不下去的时候,就这么做。 我们不必管其中的道理,但是这类题通常比较难,我们在完全没有思路的时候,完全可以利用知识点来简化, 如下题:

这道题估计很多人没思路,或者埋头计算了,其实根据课本知识点,因选择题不考虑中间过程,我们完全可以 将 x 给弄没了,但是不能瞎弄没。高中哪些知识点和求极值有关?第一是导数,第二是不等式,如果用导数是针对 x 的,我们求的是 a 和 b,所以我们用不等式,发现若一、三项相乘,二、四项相乘,就剩下 1 和 a 的平方了,这个完全 符合均值不等式,我们不必管为什么,那么在取等号 f(x)=0 的情况下,x=1/x,即 x=1 或 x=-1,随便取 x=1 或-1, 就能得出 2a+b+2=0,那么到这里就明白是求原点到直线的最小距离,也就是圆点到直线的垂线。因为是选择题,并且 躲不开课本,我们可以大胆的这么做。很多人不敢这么做,但是就用这么大胆去做这类题,你可以随便找题来,表面 看很冒险,但是却可以达到 100%的正确率。

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高考数学选择题解题技巧(按方法编排)

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高中数学选择题的解题思路及方法

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高中数学选择题做题方法

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2015年高考数学选择题答题技巧

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