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2.3数学归纳法


1.4 数学归纳法

学习目标:
? ? ?

1,了解数学归纳法的概念及原理 2,掌握用数学归纳法证题的一般步骤 3,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

重点:了解数学归纳法的基本思想和解题的基本步骤 难点:在递推步骤中如何利用假设证明当n=k+1时结论正确

课题引入


观察数列 {an },已 知a1 ? 1, an?1 1 1 a2 ? , a3 ? , a ? 1 , 4 2 3 4

an ? , 1 ? an

1 猜想归纳通项公式 : an ? n

不完全归 纳法

回想等差数列通项公式的推导过程:
a2 ? a1 ? d

a1 ? a1 ? 0d a2 ? a1 ? 1d
a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d
a3 ? a1 ? 2d a4 ? a1 ? 3d

a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

......

......

由a1 , a2 , a3 , a4的表达式, 我们得到 :
对一切n ? N , 都有
*

an ? a1 ? ? n ? 1? d

像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理 方法,叫做归纳法。

举例说明:
一个数列的通项公式是: an= (n2-5n+5)2 请算出a1= 1,a2= 1,a3= 1 ,a4= 1 猜测an=? 猜测是否正确呢?

对一切n ? N ,都有an ? (n ? 5n ? 5) ? 1
2 2

?

由于a5=25 ≠1,所以猜测是不正确的

所以由归纳法得到的结论不一定可靠

在使用归纳法探究数学命题时,必 须对任何可能的情况进行论证后,才能 判别命题正确与否。
思考1:与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢? 思考2:如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢?

多米诺骨牌(domino)是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行,轻轻碰倒第一枚骨 牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去,它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力,而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国,有着上千年的历史。

思考:这个游戏中,能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么?

只要满足以下两个条件,所有多米诺骨 牌就能全部倒下:
(1)第一块骨牌倒下;(基础) (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下 一定导致后一块倒下。 (依据) 条件(2)事实上给出了一个递推关系:当 第k块倒下时,相邻的第k+1块也倒下。

数学归纳法
对于某些与 正整数n 有关的命题常常采用下面的 方法来证明它的正确性:

1.先证明当n取第一个值n0时命题成立;
证明 假设 当n=k(k?N*,k≥n0)时命题成立, 2. 当n=k+1时命题也成立。

这种证明方法就叫做 数学归纳法 。

数学归纳法步骤,用框图表示为:
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基

若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推

命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。

注:两个步骤,一个结论,缺一不可

例1 如果 {an } 是等差数列,已知首项为a1 公差为 d ,那么 a n ? a1 ? ( n ? 1)d 对一切n ? N ?都成立 试用数学归纳法证明
证明:(1)当n=1时, 左边

? a1 , 右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 ,

等式是成立的
(2)假设当n=k时等式成立,就是 a k ? a1 ? ( k ? 1)d ,

那么 a ? a ? d ? [a1 ? (k ? 1)d ] ? d k ?1 k   
? a1 ? [(k ? 1) ? 1]d

这就是说,当n=k+1时,等式也成立
由(1)和(2),可知等式对任何 n ? N 都成立
?

例2

证明:①当n=1时,左边=

1 ? 3 ? 5 ? .......... ? (2n ? 1) ? n

用数学归纳法证明:当

n? N

?

2

②设n=k时,有 1 ? 3 ? 5 ? ......... ? (2k ? 1) ? k 2 则,当n=k+1时

1

右边=

1 等式成立。

1 ? 3 ? 5 ? ........... ? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1]
[1 ? 2( k ? 1) ? 1]( k ? 1) ? 2 ? ( k ? 1) 2 即n=k+1时,命题成立。
根据①②问可知,对n∈N*,等式成立。

第二步证明

中没有用到假 设,这不是数 学归纳法证明。

上如证明对吗?为什么?

正确解法:用数学归纳法证明
1+3+5+‥+(2n-1)=

注意:递推基础不可少,

n2

归纳假设要用到,

证明: (1)当n=1时,左边=1,右边= 1,等式成立。 结论写明莫忘掉。 (2)假设当n=k时,等式成立,即 (假设) 1+3+5+‥+(2k-1)= k2 证 那么当n=k+1时 明 传 1+3+5+‥+(2k-1)+[2(k+1)-1] 递 = k2 + [2(k+1)-1] 性 (利用假设) = k2 + 2k+ 1 = (k+1)2 (凑结论) 即当n=k+1时等式也成立。 ? 根据(1)和(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。

例3:用数学归纳法证明:
1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) =
3

1 n(n ? 1)(n ? 2) 3

证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1)

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化


=

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

利 用 假 设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? N ? ,命题正确。

跟踪练习
2 2

用数学归纳法证明
2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 6
证明:

1 ? 2 ? 3 ?1 (1)当n=1时,左边=12=1,右边= 6
等式成立。 (2)假设当n=k时,等式成立,就是

k (k ? 1)( 2k ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? k ? 6
2 2 2 2

那么

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ? ( k ? 1) 2 k ( k ? 1)(2 k ? 1) ? ? ( k ? 1) 2 6 k ( k ? 1)(2 k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ? 6 ( k ? 1)(2 k 2 ? 7 k ? 6 ) ? 6 ( k ? 1)(k ? 2 )(2 k ? 3 ) ? 6 ( k ? 1)?( k ? 1) ? 1??2( k ? 1) ? 1? ? 6

这就是说,当n=k+1时等式也成立。

根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立。

课堂练习
1、用数学归纳法证明:“1 + a + a +…+a =
2 n+1

1?a 1?a

n? 2

(a≠1)”,在验证 n = 1 时,左端计 算所得的项为 A.1 C.1 + a + a2 B.1 + a D.1 + a + a2 + a3 (

C



1 2、求证:1+2+3+…+n= 2 n(n+1 )

作业:求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?

1? 3?… ?(2n-1)

证明:① n=1时:左边=1+1=2,右边=21?1=2,左边=右边,等 式成立。 ? ② 假设当n=k((k∈N )时有: (k+1)(k+2)…(k+k)=2k? 1? 3?…? (2n-1), 当n=k+1时: 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
( 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)? k+1

= 2k? 1? 3?…?(2k-1)(2k+1)?2 = 2k+1?1? 3?…? (2k-1) ?[2(k+1)-1]=右边, ∴当n=k+1时等式也成立。 ? 由 ①、②可知,对一切n∈N ,原等式均成立。

课堂小结
1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题 递推基 础 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是:
n0 ? 1或2等)时命题成立 (1)证明当 n 取第一个值 n (如 0

(2)假设 n ? k ( k ? N 且k ? n0 ) 时命题成立 证明 n ? k ? 1 时命题也成立 递推依据 在完成了这两步骤以后,就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点, 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法, 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。

?


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