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历年高考 高中理科数学解题方法篇(函数与不等式)


高考冲刺:函数与不等式问题的解题技巧
高考动向
1.函数问题是高考每年必考的重要知识点之一, 分析历年高考函数试题,大致有这样几个特点: ①常常通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象. ②在解答题的考查中,常常与不等式、导数、数列、甚至解析几何等结合命题,以综合题的形式出现. ③从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查. 2.

不等式试题则有这样几个特点: ①在选择题中常考查比较大小,解不等式等,可能与函数、方程、三角等知识结合出题. ②在选择题与填空题中,需建立不等式求参数的取值范围,以及求最大值和最小值的应用题. ③不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. ④分值在 27---32 分之间,一般为 2 个选择题,1 个填空题,1 个解答题.

3.通过分析,预测在今年的高考试题中,选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结 合的不等式问题, 在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围, 和求最大值 和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题,会有与导数结合的函数 单调性-函数极值-函数最值问题;这些题目会突出渗透数学思想和方法,值得注意。

知识升华
1.了解映射的概念,理解函数的概念. 2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法,并能利用函数的 性质简化函数图象的绘制过程. 3.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 4.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 5.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 6.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式 的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力. 7.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组), 会用分类、换元、数形结合的方法解不等式. 8.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生 较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题. 9.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力. 10.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 11.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各 部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的 基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.

经典例题透析 类型一:函数的定义域及其求法
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的
1

各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题.

例 1.(广东卷)已知函数 (A) (B)

的定义域为 M,g(x)= ( C)

的定义域为 N,则 M∩N= (D)

命题意图:本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.

解:函数 g(x)= ∴M∩N=

的定义域 M= 的定义域 N= .故选 C

举一反三:

变式 1 (安徽))函数 答案: 解析:由 且 且

的定义域为______________.



变式 2 (湖南卷)函数 (A)(3,+∞) (B)[3, +∞)

的定义域是( ) (C)(4, +∞) (D)[4, +∞)

答案:由

,故选 D.

变式 3 (全国 I)函数 A. 答案:C. 解析:由 且 得 或 B.

的定义域为( ) C. D.

.

类型二:复合函数问题
复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求 复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.
2

例 2.(北京卷)对于函数① 下两个命题的真假: 命题甲: 命题乙: 在 是偶函数; 上是减函数,在

,②

,③

,判断如

上是增函数; ) D.③

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② B.①③ C.②

命题意图:本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解: 又函数 是偶函数, 开口向上且在 上是减函数,在 . 上是增函数.

故能使命题甲、乙均为真的函数仅有 故选C 举一反三:

变式 1 (安徽卷)函数

对于任意实数 满足条件







__________.

答案:

解析:由

,得



所以

,则

.

变式 2 (江西)若函数

的值域是

,则函数

的值域是(



A.

B.

C.

D.

答案:

解析:令

,则



3

变式 3 (山东)设函数



的值为(



A. 解析:∵

B. ,

C.

D.

答案:A



.

变式 4(天津)已知函数 (A) (C) (B) (D)

,则不等式

的解集是( )

答案:C

解析:∵

等价于

或 解得 或 ,∴

, .

4

类型三:函数的单调性、奇偶性和周期性
函数的单调性、 奇偶性和周期性是高考的重点内容之一, 考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深 刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

例 3.(全国卷) 已知函数

,若

为奇函数,则

________.

命题意图:本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.

常规解法:由

为奇函数,所以

,即

应填

.

巧妙解法: 因为

为奇函数且定义域

,所以

,即 ,这一重要结论.

应填

.

总结升华:巧妙解法巧在利用了

为奇函数,所以

举一反三: 变式 1(全国卷) 为偶函数”是“ A.充要条件 C.必要而不充分的条件 答案: 解析:先证充分性:因为 所以 所以 , 为偶函数. 为偶函数, , 不一定是偶函数. , 均为偶函数, ,有 , , 是定义在 ) B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 上的函数, ,则“ , 均

为偶函数”的(

反过来,若 如 ,

,故选 B.

方法二:可以选取两个特殊函数进行验证. 点评:对充要条件的论证,一定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函 数,有时候可以选取特殊函数进行验证.

5

变式 2(安徽)若函数 A. C. 答案:D



分别是

上的奇函数、偶函数,且满足 B. D.

,则有( )

解析:∵





∴ ∴ ,



又∵

单调递增,





.

变式 3 (上海) 设函数

是定义在 R 上的奇函数, 若当

时,

, 则满足

的 x 的取值范围是______________ 答案: 解析:当 当 时, 时,则 ; ,有 ;





∴ 解得 或 .







6

变式 4 (全国 I)设奇函数 解集为( A. C. 答案:D. )



上为增函数,且

,则不等式



B. D.

解析:由奇函数 方法一:当 当 又 ∴ 方法二:作出函数 当 当

可知 时, 时, 在 ; , 上为增函数,则奇函数 . 的示意图,有 即 ,即 ;

,而

,则





上为增函数,

时, 时,

.

变式 5 (北京) 已知函数 ② ; ③ .其中能使

, 对于

上的任意 恒成立的条件序号是 ,

, 有如下条件: ① 答案:②



解析:∵函数

是偶函数,且

又当



∴函数 ∴作出函数 有能使

在 的示意图,

上单调递增

恒成立的条件:

.

7

类型四:函数的图象与性质
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一, 它是研究和记忆函数性质的直观工具, 利用它的直 观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函 数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题 思想. 例 4.函数 的图象大致是 ( )

( A)

(B)

(C)

(D)

命题意图:本题主要考查对数函数的图象及图象的平移等知识. 解: 单位得到的,故选 A. .此函数图象是由函数 向右平移一个

举一反三: 变式 1 (全国 I)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行 驶路程 看作时间 的函数,其图像可能是( )

答案:A.

A.

B.

C.

D.

解析:根据汽车加速行驶

,匀速行驶

,减速行驶

结合函数图像可知。

变式 2 (全国 II)函数 A. 轴对称 B. 直线

的图像关于( ) 对称 C. 坐标原点对称 D. 直线 对称

答案:C

解析:∵函数

是奇函数,∴图像关于坐标原点对称.

8

变式 3 (山东)函数

的图象是(



A 答案:A

B

C

D

解析:∵函数 ∴图像关于 轴对称,

是偶函数,

又∵

时,



∴选 A,不能选 C.

变式 4 (山东)设函数 (A) 3 答案:A 解析:∵函数 ∴ 即 (B)2

的图象关于直线 (C)1

对称,则 的值为( ) (D)

的图象关于直线

对称

,把选项 ABCD 的值逐一代入,可以确定选 A.

9

类型五:以集合、简易逻辑为背景的不等式
以集合、简易逻辑为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,或者以 不等式为工具,来确定命题,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题. 例 5. (北京卷文)记关于 的不等式 (I)若 (II)若 ,求 ; ,求正数 的取值范围. 的解集为 ,不等式 的解集为 .

命题意图:本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.

解:(I)由 (II) 由

,得

. .

,得 .

,又

,所以



即 的取值范围是 举一反三: 变式 1 (江苏) 解析:由 因为 ,所以 得 ,因此

则 ,

的元素个数为______________。 答案:0

,元素的个数为 0。

变式 2 (山东卷)设 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 解析:由题设可得



,则

是 的(



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 即 或 ; 答案:A.







,选(A)

变式 3(福建)设集合 A.充分而不必要条件 C.充要条件

, B.必要而不充分条件

,那么“

”是“

”的

D.既不充分也不必要条件

答案:A.

解析:∵ 故“ ”是“

,∴ ”充分而不必要条件.
10

,(如图),

类型六:以线性规划形式出现的不等式
以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不 等式组作出图形,分析求解. 例 6.(辽宁卷)双曲线 不等式组是( ) 的两条渐近线与直线 围成一个三角形区域,表示该区域的

(A)

( B)

(C)

(D)

命题意图:本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识,体现数形结合能力.

解:作图可知三角形区域在第一象限.即满足

,故选(A)

举一反三:

变式 1 (福建)若实数 x、y 满足 A.(0,1) 答案:C B.

则 C.(1,+

的取值范围是( ) D.

)

变式 2(陕西) 已知实数 等于( A.7 答案:B ) B. 5

满足

如果目标函数

的最小值为

, 则实数

C.4

D.3

变式 3 (山东)设二元一次不等式组 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( A.[1,3] 答案:C B.[2, ] C.[2,9]

所表示的平面区域为 M,使函数 ) D.[ ,9]

11

类型七:函数、导数、不等式知识的综合应用
函数、导数、不等式知识的综合题目,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识, 通过推理来解决问题.

例 7. (江西卷)已知函数 (1) 求 、 的值及函数 (2) 若对 ,不等式 的单调区间;





时都取得极值.

恒成立,求 的取值范围.

命题意图:本小题考查函数的导数,函数,函数极值的判定,给定区间上二次函数的最值等基础知 识的综合运用,考查数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力. 解:

由 ,函数

得 的单调区间如表:

极大值

极小值

所以函数

的递增区间为



;递减区间为

.

(2)

,当 而 要使 ,则 (

时,

为极大值 为最大值,

)恒成立,只须

,解得



.

12

举一反三:

变式 1 (辽宁)设函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 围;若不存在,试说明理由. 解析:



的解集为(0,+

)?若存在,求 a 的取值范

(Ⅰ) 故当 所以 由此知 在 在 时, , 时,

. .

单调递增,在 的极大值为

单调递减. ,没有极小值.

(Ⅱ) (ⅰ) 当

时, 由于 的解集为 .



故关于 的不等式

(ⅱ)当

时,由



,其中 为正整数,

且有





时,

,且



取整数

满足



,且



则 即当 时,关于 的不等式

, 的解集不是 . 的解集为 ,

综合(ⅰ)(ⅱ)知,存在 ,使得关于 的不等式 且 的取值范围为 .

13

变式 2 (重庆卷文)用长为

的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为



问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

解:设长方体的宽为

,则长为

,高为

故长方体的体积为 从而 令 ,解得 (舍去)或 ,因此 .

当 故在

时 处

;当



, 的最大值.

取得极大值,并且这个极大值就是

从而最大体积 此时长方体的长为 答:当长体的长为 ,高为 ,高为 . 时,体积最大,最大体积为 .

,宽为

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类型八:函数、不等数与数列知识的综合应用
与数列知识结合的函数、 不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过 计算和推理来解决问题.

例 8.(湖北卷)设数列 (Ⅰ)求数列

的前 项和为

,点

均在函数

的图像上.

的通项公式;

(Ⅱ)设



是数列

的前 项和,求使得

对所有

都成立的最小正

整数 . 命题意图:本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分 析问题能力和推理能力. 解:

(I)依题意得,



.

当 当 所以

时, 时, . .

;

(II)由(I)得





.

因此,使得 故满足要求的最小整数 为 10.

成立的

必须满足

,即

,

15

举一反三: 变式 1 已知函数 f(x)=a1 x+a2 x +?+an x (n∈N ),且 a1 ,a2 ,a3 ,?,an 构成数列{an },又 f(1)=n . (1)求数列{an }的通项公式;
2 n * 2

(2)求证: 解析:



(1)由题意:f(1)=a1 +a2 +?+an =n ,(n∈N ) n=1 时,a1 =1 n≥2 时,an =(a1 +a2 +?+an )-(a1 +a2 +?+an-1 )=n2 -(n-1)2 =2n-1 ∴对 n∈N 总有 an =2n-1, 即数列{an }的通项公式为 an =2n-1.
*

2

*

(2)





16

变式 2 (陕西)已知数列 (Ⅰ)求

的首项







的通项公式; , . , ;

(Ⅱ)证明:对任意的 (Ⅲ)证明: 解析:

(Ⅰ)











是以

为首项,

为公比的等比数列.

, (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,



, 另解:设 ,

原不等式成立.

则 , 当 时, ;当 时, ,



时,

取得最大值 ,有



原不等式成立.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的





,则



. 原不等式成立.
17


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