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第二轮复习--数列求和与求通项公式的方法总结


数列求和与求通项公式的方法总结 一、数列求和: 数列求和问题中要侧重对数列通项公式的分析、变形、处理、最后转化为我们所熟悉的求和 类型,所以关键是对通项公式的把握。 例如:(1)求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

/>,? ? ? 的前 n 项和

1.利用常用求和公式求和: (1)等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n (2)等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
2.错位相减法求和:用于数列{an· bn}前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差、等比数列. (1)求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

( 2) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;
?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

3.裂项法求和:适合于通项公式为分子为常数,分母为两公差相同的等差数列乘积的分式 如: (1) 1 ?

1 1 1 ? ? .......? = 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ......? n

(2)

1 1 1 ? ? .......? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

4.分组法求和: (1)求数列 3+

1 1 1 ,32+ 2 ,……,3n+ n 的各项的和。 3 3 3 1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

(2)求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

二、数列求通项: 1.满足等差、等比数列定义用公式法:(1)

a ? a ? (n ?1)d
n 1

(2)

a ?a q
n 1

n?1

例 1: 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比 数列,若函数 f (x) = (x-1)2,且 a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),求数 列{ a n }和{ b n }的通项公式;

2. 已知数列 {an } 前 n 项和 S n ,则 a n ? ?

n ?1 ? S1 (注意:不能忘记讨论 n ? 1 ) S n ? S n ?1 n?2 ?

例 2:(1)已知下列两数列 {an } 的前 n 项和 sn 的公式,求 {an } 的通项公式。 1) S n ? n 2 ? n 。 2) sn ? n2 ? 1

(2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2(n ? N * ) ,
1)设 bn ? 的公式。

an ,求证:数列 {bn } 是等差数列;2)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 2n

3.利用递推关系变形处理、转化求解的类型: (1)累加法:形如 an ? an?1 ? f (n) 的递推 例 3:在数列{ an }中, a1 =6, an ? an?1 ? 2n ? 1, 求此数列的通项。

(2)累乘法:形如

an ? f (n) 的递推 an?1
(n+1)· a n ?1 =n· an ,求 an 的表达式

例 4:在数列{ an }中, a1 =1,

(3)构造法: 其中常见①一阶线性数列:. an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型递推式 例 5:已知数 {an } 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1,且 a1 ? 1 求通项 an 。

提示性构造:例 6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

练习: 1.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶设 bn =

n? N*

⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

1 (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 n(12 ? a n )
m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在, 32

m ,使得对任意 n ? N * ,均有 Tn ?
请说明理由
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y= 3x ? 2 x 的图像上。
2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立 20 a n a n ?1

的最小正整数 m。

{a } 3.已知数列 n 满足: a1 ? 6 ,
(1)求 a 2 , a3 ;

a n?1 ?

n?2 a n ? (n ? 1)( n ? 2) n ,

dn ?
(2)若

an n(n ? 1) ,求数列 {dn } 的通项公式;

4.已知在数列

?an ? 中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,数列 ?an ? 的奇数项依次组成公差为 1 的等差数列,偶

数项依次组成公比为 2 的等比数列,数列 (1)写出数列 (2)求

?bn ? 满足

bn ?

a2 n?1 a2 n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,

?an ? 的通项公式;

Sn ;

5、设

{an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且

a1 ? 3,a2, a3 ? 4构成等差数列. 3
(1)求数列 (2)令

{an } 的通项公式.

bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 T .

2 6、设正数数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且对任意的 n ? N * , S n 是 an 和 an 的等差中项.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在集合 M ? {m m ? 2k , k ? Z ,且 1000 ? k ? 1500} 中,是否存在正整数 m ,
2 an 使得不等式 S n ? 1005 ? 对一切满足 n ? m 的正整数 n 都成立?若存在,则这样的正整 2

数 m 共有多少个?并求出满足条件的最小正整数 m 的值;若不存在,请说明理由;


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