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2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测三数列


专题综合检测三数列
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小 题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(文)(2013· 天津十二区县联考)“lgx,lgy,lgz 成等差数列”是 “y2=xz”成立的( ) B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分非必要条

件 C.充要条件 [答案] A

[解析] “lgx,lgy,lgz 成等差数列”?2lgy=lgx+lgz?y2=xz, 但 y2=xz?/ 2lgy=lgx+lgz,∴选 A. (理)等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, n 项和为 Sn, 前 则“d>|a1|” 是“Sn 的最小值为 S1,且 Sn 无最大值”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 依题意,当 d>|a1|时,数列{an}是递增的数列,无论 a1 的取值如何,Sn 的最小值为 S1,且 Sn 无最大值;反过来,当 Sn 的最 1 小值为 S1,且 Sn 无最大值时,如当 a1=1,d=3时,此时 Sn 的最小值 为 S1,且 Sn 无最大值,但不满足 d>|a1|.综上所述,“d>|a1|”是“Sn 的 最小值为 S1,且 Sn 无最大值”的充分不必要条件. 1 1 2.(2013· 眉山市二诊)等比数列{an}的公比 q>1,a +a =3,a1a4
2 3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 =2,则 a3+a4+a5+a6+a7+a8=( A.64 C.32 [答案] D

) B.31 D.63

1 1 1 [解析] ∵a2a3=a1a4=2,a +a =3,
2 3

3 1 ∴a2+a3=2,∵q>1,∴a2=2,a3=1,∴q=2, 1×?26-1? ∴a3+a4+a5+a6+a7+a8= =63. 2-1 3.(文)(2013· 榆林一中模拟)等差数列{an}前 n 项和为 Sn,a3=7, S6=51,则公差 d 的值为( A.2 C.-3 [答案] B [解析] ∵a3=7,S6=51, ∴a1+2d=7,6a1+15d=51, ∴a1=1,d=3,故选 B. (理)(2013· 绍兴市模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+ S3=-4,a4=3,则公差为( A.-1 C.2 [答案] C [解析] ∵a2+S3=-4,∴4a2=-4,∴a2=-1, ∵a4=3,∴d=2,故选 C. 4.(文)(2013· 德阳市二诊)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 ) B.1 D.3 ) B.3 D.4

S4=8,S8=20,则 a11+a12+a13+a14=( A.19 C.16 [答案] B [解析] ∵S4=8, B.18 D.15

)

1 ∴S8=S4+(S4+16d)=16+16d=20,∴d=4, 1 ∴a11+a12+a13+a14=S4+10d×4=8+10×4×4=18. (理)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=?3(1+2x)dx,S20
?0

=17,则 S30 为( A.15 C.25 [答案] A

) B.20 D.30

[解析] S10=?3(1+2x)dx=(x+x2)|3=12. 0
?0

又 S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列. 即 2(S20-S10)=S10+(S30-S20),∴S30=15. 5. (2013· 保定市一模)已知等比数列{an}的公比 q 为正数, a3·9 且 a =2(a5)2,则 q=( A.1 C. 2 [答案] C
2 [解析] ∵a3·9=a2=2a5, a 6

) B.2 D. 3

∴q2=2,∵q>0,∴q= 2. 6.(2013· 北京西城区模拟)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和

为 Sn,且 a1>0,若 S2>2a3,则 q 的取值范围是( 1 A.(-1,0)∪(0,2) 1 B.(-2,0)∪(0,1) 1 C.(-∞,-1)∪(2,+∞) 1 D.(-∞,-2)∪(1,+∞) [答案] B [解析] ∵S2>2a3,∴a1+a1q>2a1q2, ∵a1>0,∴2q2-q-1<0, 1 ∴-2<q<1 且 q≠0,故选 B.

)

7.(2013· 唐徕回民中学模拟)已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*) 在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9=( A.9 C.18 [答案] D [解析] 由条件知 a5=3,∴S9=9a5=27. 5 8.(文)两个正数 a、b 的等差中项是2,一个等比中项是 6,且 x2 y2 a>b,则双曲线a2-b2=1 的离心率 e 等于( 3 A. 2 C. 13 [答案] D 15 B. 2 13 D. 3 ) B.10 D.27 )

[解析] 由已知可得 a+b=5,ab=6,
?a=3, ?a=2, ? ? 解得? 或? (舍去). ? ? ?b=2 ?b=3

c 13 则 c= a2+b2= 13,故 e=a= 3 . (理)△ABC 的三边分别为 a,b,c,若 b 既是 a,c 的等差中项, 又是 a,c 的等比中项,则△ABC 是( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 [答案] C a+c [解析] ∵b 是 a,c 的等差中项,∴b= 2 .又∵b 是 a,c 的等 a+c a+c 比中项, ∴b= ac, ∴( 2 )2=ac, ∴(a-c)2=0, ∴a=c, ∴b= 2 =a,故△ABC 是等边三角形. 9.已知正数组成的等差数列{an},前 20 项和为 100,则 a7·14 a 的最大值是( A.25 C.100 [答案] A a1+a20 [解析] ∵S20= 2 ×20=100,∴a1+a20=10. ∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10. a7+a14 ∵an>0,∴a7·14≤( 2 )2=25.当且仅当 a7=a14 时取等号. a 10.(文)数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a6、a9、a15 依次 1 为等比数列{bn}的连续三项,若数列{bn}的首项 b1=2,则数列{bn} ) B.50 D.不存在 ) B.等腰三角形 D.直角三角形

的前 5 项和 S5 等于( 31 A. 2 C.31 [答案] A

) 31 B.32 D.32

a9 a15 a15-a9 6d [解析] ∵q=a = a = = =2, a9-a6 3d 6 9 1 ?1-25? b1?1-q ? 2 31 ∴S5= = = 2 ,故选 A. 1-q 1-2
5

(理)在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第 一象限内的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是( A.1 C.3 [答案] A [解析] 由等差、等比数列的性质,可求得 x1=2,x2=3,y1=2, y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4),∴S△OP1P2=1. 11.(文)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n ∈N*),若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 C.8 [答案] B [解析] ∵b3=-2,b10=12,∴d=2,∴bn=2n-8, 由关系式:bn=an+1-an,得 b1=a2-a1, b2=a3-a2, ) B.3 D.11 B.2 D.4 )

b3=a4-a3, ? b7=a8-a7, ∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+?+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 7×?-6+6? = +3=3. 2 (理)(2013· 吉大附中模拟)已知数列{an}中,a1=b(b>0),an+1=- 1 (n∈N*),能使 an=b 的 n 可以等于( an+1 A.14 C.16 [答案] C 1 [解析] ∵a1=b,an+1=- , an+1 b+1 1 ∴a2=- ,a3=- b ,a4=b,∴a16=b,故选 C. b+1 1 12.(2013· 贵阳市检测)已知曲线 C:y=x(x>0)上两点 A1(x1,y1) 和 A2(x2,y2),其中 x2>x1.过 A1,A2 的直线 l 与 x 轴交于点 A3(x3,0), 那么( ) B.15 D.17 )

x3 A.x1, 2 ,x2 成等差数列 x3 B.x1, 2 ,x2 成等比数列 C.x1,x3,x2 成等差数列 D.x1,x3,x2 成等比数列 [答案] A

1 1 - y2-y1 x2 x1 1 [解析] 直线 A1A2 的斜率 k= = =-x x ,所以直线 x2-x1 x2-x1 1 2 1 1 A1A2 的方程为 y-x =-x x (x-x1),令 y=0 解得 x=x1+x2,∴x3= 1 1 2 x3 x1+x2,故 x1, 2 ,x2 成等差数列,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 写在题中横线上.) 13.(文)(2013· 黄浦区模拟)等差数列{an}的前 10 项和为 30,则 a1+a4+a7+a10=________. [答案] 12 10×?a1+a10? [解析] ∵S10= =5(a1+a10)=30, 2 ∴a1+a10=6, ∴a1+a4+a7+a10=2(a1+a10)=12. (理)(2013· 天津六校联考)定义运算?
? x-1 2 ? ? -x x+3 ? ? a b ? ?=ad-bc,函数 f(x)= ? c d ?

? ? ?图象的顶点坐标是(m,n),且 k,m,n,r 成等差数列, ?

则 k+r 的值为________. [答案] -9 [解析] f(x)=(x-1)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)2-7 的顶点

坐标为(-2,-7), ∵m=-2,n=-7,∴k+r=m+n=-9. 14.(文)(2013· 霍邱二中模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+ 5(n∈N*),那么数列{an}的通项 an=________.

[答案]

?7 ? ? n-1 ? ?2

?n=1? ?n≥2且n∈N*?

[解析] ∵Sn=2n+5,∴a1=S1=7,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n -2n-1=2n-1,
?7 ? ∴an=? n-1 ?2 ?

?n=1?, ?n≥2且n∈N*?.

(理)(2013· 重庆一中模拟)已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81, 1 若数列{bn}满足 bn=log3an, 则数列{ }的前 n 项和 Sn=________. bnbn+1 [答案] n n+1

[解析] ∵a4=a1q3,∴81=3q3,∴q=3, ∴an=3n,∴bn=log3an=n, 令 cn= 1 1 1 1 ,则 cn= =n- , bnbn+1 n?n+1? n+1

1 1 1 1 ∴{cn}的前 n 项和 Sn=c1+c2+?+cn=(1-2)+(2-3)+?+(n 1 n - )= . n+1 n+1 15.(2013· 南京市二模)已知数列{an}的通项为 an=7n+2,数列 {bn}的通项为 bn=n2.若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大顺序 排列后记作数列{cn},则 c9 的值是________. [答案] 961 [解析] 设数列{an}中的第 n 项是数列{bn}中的第 m 项,则 m2= 7n+2,m,n∈N*.令 m=7k+i,i=0,1,2,?,6,k∈Z,则 i2 除以 7 的余数是 2,则 i=3 或 4,所以数列{cn}中的项依次是{bn}中的第 3,4,10,11,17,18,24,25,31,32,?,故 c9=b31=312=961.

16.(文)

如图是一个有 n 层(n≥2)的六边形点阵.它的中心是一个点,算 作第一层,第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,??,第 n 层每边有 n 个点,则这个点阵的点数共有________个. [答案] 3n2-3n+1 [解析] 设第 n 层共 an 个点,结合图形可知 a1=1,a2=6,?, an+1=an+6(n≥2,n∈N*),则 an=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈ N*), ?n-1?[6+?6n-6?] 前 n 层所有点数之和为 Sn=1+ =3n2-3n+1, 2 故这个点阵的点数共有 3n2-3n+1 个. 1 (理)已知函数 f(x)=a·x 的图象过点 A(2,2),B(3,1),若记 an= b log2f(n)(n∈N*),n 是数列{an}的前 n 项和, Sn 的最小值是________. S 则 [答案] -3 [解析] 将 A、B 两点坐标代入 f(x)得

?1=ab2, ?2 ?1=ab3,

?a=1, 解得? 8 ?b=2,

1 1 ∴f(x)=8·x.∴f(n)=8·n=2n-3. 2 2

∴an=log2f(n)=n-3. 令 an≤0,即 n-3≤0,∴n≤3. ∴数列前 3 项小于或等于零,故 S3 或 S2 最小. S3=a1+a2+a3=-2+(-1)+0=-3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2013· 哈尔滨市模拟)已知正项数列{an}满 足 4Sn=(an+1)2. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 [解析] (1)∵4Sn=(an+1)2, ∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2), 相减得 an-an-1=2,又 4a1=(a1+1)2, ∴a1=1,∴an=2n-1. (2)由(1)知,bn= 1 ?2n-1??2n+1?

1 1 1 =2( - ). 2n-1 2n+1 1 1 1 1 所以 Tn =b1 +b2 +?+bn = 2 [(1- 3 )+( 3 - 5 )+?+( 1 n )]= . 2n+1 2n+1 18.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 天津和平区模拟)已知数列{an} 1 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p(Sn-an)+2(p 为大于 0 的常数),且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 - 2n-1

(2)若 an·n=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. b 1 [解析] (1)当 n=1 时,S1=p(S1-a1)+2, 1 故 a1=2. 1 当 n≥2 时,Sn=p(Sn-an)+2,① 1 Sn-1=p(Sn-1-an-1)+2② an 由①-②得,an=pan-1,即 =p(p>0). a n -1 1 故{an}是首项为2,公比为 p 的等比数列, 1 即 an=2pn-1. 1 由题意得,6a3+a2=2a1,即 3p2+2p=1. 1 2 解得 p=2或 p=-3(舍去). 1 1 1 ∴an=(2)·2)n-1=2n. ( 2n+1 (2)由(1),得 bn= a =(2n+1)·n, 2 n 则 有 Tn = 3×2 + 5×22 + 7×23 + ? + (2n - 1)×2n - 1 + (2n + 1)×2n, 2Tn=3×22+5×23+7×24+?+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1, 两式相减,得 -Tn=3×2+2×(22+23+?+2n)-(2n+1)×2n+1 22-2n+1 =6+2× -(2n+1)×2n+1 1-2 =-2-(2n-1)×2n+1.

∴Tn=2+(2n-1)·n+1. 2 (理)(2013· 吉大附中模拟)已知等比数列{an}的公比 q>1,4 2是 a1 和 a4 的一个等比中项,a2 和 a3 的等差中项为 6,若数列{bn}满足 bn =log2an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)因为 4 2是 a1 和 a4 的一个等比中项, 所以 a1·4=(4 2)2=32. a
?a2·3=32, ? a 由题意可得? ?a2+a3=12. ?

因为 q>1,所以 a3>a2.
? ?a2=4, a3 解得? 所以 q=a =2. 2 ?a3=8. ?

故数列{an}的通项公式 an=2n. (2)由于 bn=log2an(n∈N*),所以 anbn=n·n, 2 Sn=1· 2+2·2+3·3+?+(n-1)·n-1+n·n,① 2 2 2 2 2Sn=1·2+2·3+?+(n-1)·n+n·n+1.② 2 2 2 2 ①-②得,-Sn=1· 2+2 +2 +?+2 -n· 2
1 2 3 n n +1

2?1-2n? = -n·n+ 2 1-2

. 所以 Sn=2-2n+1+n·n+1. 2 19. (本小题满分 12 分)(2013· 黄浦区模拟)已知数列{an}具有性质:

an ①a1 为整数;②对于任意的正整数 n,当 an 为偶数时,an+1= 2 ;当 an-1 an 为奇数时,an+1= 2 ; (1)若 a1 为偶数,且 a1,a2,a3 成等差数列,求 a1 的值;

(2)设 a1=2m+3(m>3 且 m∈N), 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 求证: Sn≤2m+1+3; (3)若 an 为正整数,求证:当 n>1+log2a1(n∈N)时,都有 an=0. [解析] (1)设 a1=2k,则 a2=k, 由条件知 2k+a3=2k,∴a3=0. 分两种情况讨论: a2-1 k-1 若 k 是奇数,则 a3= 2 = 2 =0,∴k=1,a1=2,a2=1, a3=0, a2 k 若 k 是偶数,则 a3= 2 =2=0,∴k=0,a1=0,a2=0,a3=0, ∴a1 的值为 2 或 0. (2)当 m>3 时,a1=2m+3,a2=2m-1+1,a3=2m-2,a4=2m-3,a5 =2m-4,?,am=2,am+1=1,am+2=?=an=0, ∴Sn≤Sm+1=1+2+?+2m+4=2m+1+3. (3)∵n>1+log2a1,∴n-1>log2a1,∴2n-1>a1,

由定义可知:an+1

? 2 ,a 是偶数 =? a -1 ? 2 ,a 是奇数
an
n n n



an+1 1 an ∴an+1≤ 2 ,∴ a ≤2. n ∴an= an an-1 a2 1 · · a ·1≤ n-1a1, ?· a an-1 an-2 2 1

1 ∴an< n-1·n-1=1, 2 2 ∵an∈N,∴an=0, 综上可知:当 n>1+log2a1(n∈N)时,都有 an=0.

20.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 苍南求知中学模拟)已知三个正 整数 2a,1,a2+3 按某种顺序排列成等差数列. (1)求 a 的值; (2)若等差数列{an}的首项、公差都为 a,等比数列{bn}的首项、 Tn+2 公比也都为 a,前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 2n >Sn-130,求满足条 件的正整数 n 的最大值. [解析] (1)∵2a,a2+3 是正整数,∴a 是正整数, ∴a2+3>2a>1, ∴4a=a2+3+1,∴a=2. (2)Sn=2n+ n?n-1? · 2+n, 2=n 2

2?1-2n? n+1 Tn+2 Tn= =2 -2,∴ 2n =2, 1-2 ∴Sn<132,即 n2+n-132<0,∴-12<n<11. ∵n 是正整数,∴n 的最大值是 10. (理)(2013· 天津十二区县联考)已知数列{an}的首项为 1, 对任意的 n∈N*,定义 bn=an+1-an. (1)若 bn=n+1, ①求 a3 的值和数列{an}的通项公式; 1 ②求数列{a }的前 n 项和 Sn; n (2)若 bn+1=bn+2bn(n∈N*),且 b1=2,b2=3,求数列{bn}的前 3n 项的和. [解析] (1)①a1=1, 2=a1+b1=1+2=3, 3=a2+b2=3+3=6 a a 当 n≥2 时,由 an+1-an=n+1 得 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)

n?n+1? =a1+b1+b2+?+bn-1= 2 而 a1=1 适合上式,所以 an= n?n+1? * 2 (n∈N ).

1 2 1 1 ②由①得:a = =2(n- ), n?n+1? n+1 n 1 1 1 1 Sn=a +a +a +?+a
1 2 3

n

1 1 1 1 1 1 1 1 =2(1-2)+2(2-3)+2(2 -3)+?+2(n- )=2(1- )= n+1 n+1 2n . n+1 (2)因为对任意的 n∈N*有 bn+5 bn+4 1 bn+6= = = =b , bn+4 bn+3bn+4 bn+3 n 所以数列{bn}为周期数列,周期为 6. 3 1 1 2 又数列{bn}的前 6 项分别为 2,3,2,2,3,3,且这六个数的和 为 8. 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则 当 n=2k(k∈N*)时, S3n=S6k=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)=8k, 当 n=2k+1(k∈N*)时, S3n=S6k+3=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+b6k+1+b6k+2+b6k+3 13 =8k+b1+b2+b3=8k+ 2 , 13 当 n=1 时,S3= 2 所以,当 n 为偶数时,S3n=4n;

5 当 n 为奇数时,S3n=4n+2. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 江西师大附中、鹰潭一中模拟) a2 a3 an 在数列{an}中,a1=1,a1+ 2 + 3 +?+ n =2n-1(n∈N*). (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若存在 n∈N*,使得 an≤n(n+1)λ 成立,求实数 λ 的最小值. a2 a3 an [解析] (1)a1+ 2 + 3 +?+ n =2n-1① an-1 a2 a3 a1+ 2 + 3 +?+ =2n-1-1② n-1 an 由①-②得: n =2n-1(n≥2), ∴an=n·n-1,当 n=1 时,也符合,即 an=n·n-1. 2 2 ∴Sn=1×20+2×21+3×22+?+n·n-1.③ 2 2Sn=1×21+2×22+?+(n-1)·n-1+n·n④ 2 2 ③-④得,-Sn=1+2+22+?+2n-1-n·n=(1-n)·n-1, 2 2 ∴Sn=(n-1)·n+1. 2 2n-1 an (2)由 an≤n(n+1)λ 得 λ≥ = , n?n+1? n+1 2n-1 令 f(n)= , n+1 f?n+1? 2n n+1 2n+2 ∴ = · = >1, f?n? n+2 2n-1 n+2 1 ∴f(n)单调递增,从而 f(n)min=f(1)=2, 1 1 ∴λ≥2,因此实数 λ 的最小值为2. (理)(2013· 江西八校联考)已知数列{an}的首项 a1=4, n 项和为 前

Sn,且 Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设函数 f(x)=anx+an-1x2+an-2x3+?+a1xn,f ′(x)是函数 f(x) 的导函数,令 bn=f ′(1),求数列{bn}的通项公式,并研究其单调性. [解析] (1)由 Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+)得 Sn-3Sn-1-2n+2 -4=0(n≥2), 两式相减得 an+1-3an-2=0,可得 an+1+1=3(an+1)(n≥2), 又由已知 a2=14,所以 a2+1=3(a1+1),即{an+1}是一个首项 为 5,公比 q=3 的等比数列,所以 an=5×3n-1-1(n∈N*). (2)因为 f ′(x)=an+2an-1x+?+na1xn-1, 所以 f ′(1)=an+2an-1+?+na1 =(5×3n-1-1)+2(5×3n-2-1)+?+n(5×30-1) =5[3n-1+2×3n-2+3×3n-3+?+n×30]- n?n+1? 2

令 S=3n-1+2×3n-2+3×3n-3+?+n×30, 则 3S=3n+2×3n-1+3×3n-2+?+n×31, n 3-3 作差得 S=-2- 4
n+1



5×3n+1-15 n?n+6? 所以 f ′(1)= - 2 , 4 5×3n+1-15 n?n+6? 即 bn= - 2 , 4 5×3n+2-15 ?n+1??n+7? 而 bn+1= - , 4 2 15×3n 7 作差得 bn+1-bn= 2 -n-2>0, 所以{bn}是单调递增数列. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 内江市二模)已知数列{an}的首

项 a1=5,且 an+1=2an+1(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)令 f(x)=a1x+a2x2+?+anxn,求数列 f(x)在点 x=1 处的导数 f ′(1). [解析] (1)证明:∵an+1=2an+1, an+1+1 ∴an+1+1=2(an+1),∴ =2, an+1 ∴数列{an+1}是以 a1+1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an+1=(a1+1)·n-1=6·n-1=3·n, 2 2 2 ∴an=3·n-1. 2 (2)∵f(x)=a1x+a2x2+?+anxn, ∴f ′(x)=a1+2a2x+?+nanxn-1, ∴f ′(1)=a1+2a2+3a3+?+nan =(3·1-1)+2(3·2-1)+3(3·3-1)+?+n(3·n-1) 2 2 2 2 =3(2+2×22+3×23+?+n×2n)-(1+2+3+?+n), 令 Tn=2+2×22+3×23+?+n×2n, ∴2Tn=1×22+2×23+3×24+?+(n-1)×2n+n×2n+1, ∴-Tn=2+22+23+?+2n-n·n+1 2 2?1-2n? = -n·n+1=-(n-1)·n+1-2, 2 2 1-2 ∴Tn=(n-1)·n+1+2, 2 ∴f ′(1)=3(n-1)·n+1- 2 n?n+1? 2 +6.

1 1 (理)(2013· 德阳市二诊)已知数列{an}满足 an+1=- ,1=-2. a an+2 1 (1)求证{ }是等差数列; an+1

(2)求数列{an}的通项公式; (3)设 Tn=an+an+1+?+a2n-1.若 Tn≥p-n 对任意的 n∈N*恒成 立,求 p 的最大值. [解析] (1)证明:∵an+1=- ∴an+1+1=- 1 , an+2

an+2-1 an+1 1 +1= = , an+2 an+2 an+2

由于 an+1≠0, ∴ an+2 1 1 = =1+ , an+1+1 an+1 an+1

1 ∴{ }是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. an+1 1 (2)由(1)题结论知: =2+(n-1)=n+1, an+1 1 n ∴an= -1=- (n∈N*). n+1 n+1 (3)∵Tn=an+an+1+?+a2n-1≥P-n, ∴n+an+an+1+?+a2n-1≥P, 即(1+an)+(1+an+1)+(1+an+2)+?+(1+a2n-1)≥p,对任意 n ∈N*恒成立, 1 而 1+an= , n+1 设 H(n)=(1+an)+(1+an+1)+?+(1+a2n-1), ∴H(n)= 1 1 1 + +?+2n, n+1 n+2

1 1 1 1 1 H(n+1)= + +?+2n+ + , n+2 n+3 2n+1 2n+2 ∴H(n+1)-H(n)= 1 1 1 1 1 + - = - >0, 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2

∴数列{H(n)}单调递增, 1 1 ∴n∈N*时,H(n)≥H(1)=2,故 P≤2. 1 ∴P 的最大值为2.

一、选择题 1. (文)在等比数列{an}中,n>0, a1·5=16,4=8, a5=( a 若 a a 则 A.16 C.4 [答案] A [解析] ∵a1·5=a2·4=16,a4=8,∴a2=2, a a a4 ∴q2=a =4,∵an>0,∴q=2,
2

)

B.8 D.32

∴a5=a2q3=2·3=16. 2 (理)(2012· 福建质检)等比数列{an}中,a1+a3=5,a2+a4=10,则 a6+a8 等于( A.80 C.160 [答案] C [解析] ∵ a2+a4 q?a1+a3? 10 = =q= 5 =2, a1+a3 a1+a3 ) B.96 D.320

∴a6+a8=(a2+a4)q4=10×24=160. 2.(2013· 东北三省二模)已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项 1 9 和.若 a3a5=4a1,且 a4 与 a7 的等差中项为8,则 S5 等于( )

A.35 C.31 [答案] C

B.33 D.29

1 2 [解析] 设等比数列{an}的公比是 q,所以 a3a5=a1q6=4a1,得 1 1 9 a7 1 a1q6=4,即 a7=4.又 a4+a7=2×8,解得 a4=2,所以 q3=a =8,所
4

1 16?1-32? a1?1-q ? 1 以 q=2,a1=16,故 S5= = 1 =31,故选 C. 1-q 1-2
5

3.(2012· 东北三省四市第三次联考)已知等差数列{an}的公差 d≠0,a1,a5,a17 依次成等比数列,则这个等比数列的公比是( A.4 C.2 [答案] B [解析] 解法 1:由条件知 a2=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d), 5 a5 6d 得 a1=2d,a5=a1+4d=6d,∴q=a =2d=3,故选 B.
1

)

B.3 1 D.2

a5 a17 a17-a5 12d 解法 2:q=a = a = = =3,故选 B. a5-a1 4d 1 5 4.已知等差数列 1,a,b,等比数列 3,a+2,b+5,则该等差 数列的公差为( A.3 或-3 C.3 [答案] C [解析]
? ? ?2a-b=1, ?a=-2, 由已知条件可得 ? 解得 ? 2 ? ? ??a+2? =3?b+5?, ?b=-5

) B.3 或-1 D.-3

?a=4, ? 或? 当 a=-2 时,a+2=0,其不可作为等比数列中的项,∴ ? ?b=7,

a≠-2,∴等差数列的公差为 a-1=4-1=3,故应选 C.本题考查了 等差数列与等比数列基本量的求解问题,要注意等比数列的限制条 件. 5.(2013· 东北三省四市联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 a2013=S2013=2013,则 a1=( A.-2014 C.-2012 [答案] D [解析] S2013=2013a1007=2013, 所以 a1007=1, d= 则 =2,a1=a2013-2012d=-2011,故选 D. 85 6.等比数列{an}的首项为 2,项数为奇数,其奇数项之和为32, 21 偶数项之和为16, 这个等比数列前 n 项的积为 Tn(n≥2), Tn 的最大 则 值为( 1 A.4 C.1 [答案] D 85 [解析] 由题意知 S 奇-2=S 偶· q,S 奇=32, 21 1 1 S 偶=16,∴q=2,∵a1=2,q=2, ∴{Tn}为递减数列且 a2=1,ak<1(k>2), ∴T2=a1a2=2 为最大值. ) 1 B.2 D.2 a2013-a1007 1006 ) B.-2013 D.-2011

7.(2013· 泗县双语中学模拟)在等差数列{an}中,7a5+5a9=0, 且 a5<a9,则使数列前 n 项和 Sn 取得最小值的 n 等于( A.5 C.7 [答案] B [解析] ∵7a5+5a9=0,a5<a9, 17 ∴d>0,且 a1=- 3 d, ∴Sn=na1+ n?n-1? n?n-1? d 17 37n d=- 3 nd+ 2 d=2(n2- 3 ), 2 B.6 D.8 )

∴当 n=6 时,Sn 取到最大值.

8.(文)数列{an}满足 an+

?2an,0≤an<1 ? 2 =? 1 1 ?2an-1,2≤an<1 ?
2 B.5 4 D.5

3 ,若 a1=5,则

a2014=( 1 A.5 3 C.5

)

[答案] A 3 1 2 4 3 1 [解析] 由题可得 a1=5, 2=5, 3=5, 4=5, 5=5, 6=5, a a a a a ?, 所以数列{an}是一个周期为 4 的周期数列, 又因为 2014=503×4+2, 1 所以 a2014=a2=5,故选 A. (理)在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N*),则 a10 为 ( ) A.34 B.36

C.38 [答案] C

D.40

[解析] 由 nan+1=(n+1)an+2,得
?1 1 ? an+1 an 2 -n= =2?n-n+1?, n+1 n?n+1? ? ? ? 1 1? an an-1 则有 n - =2?n-1-n?, n-1 ? ? ? 1 1 ? an-1 an-2 - =2?n-2-n-1?, n-1 n-2 ? ?

?? 1? ? a2 a1 ?1 1? an - 1 =2?1-2?,累加得 n -a1=2?1-n?. 2 ? ? ? ? ∵a1=2,∴an=4n-2,∴a10=38. 9.(2012· 浙江嘉兴测试一)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2 22 29 S9>0,S10<0,则a ,a ,?,a 中最大的是( 1 2 9 2 A.a 1 26 C.a 6 [答案] B 9 [解析] ∵S9=2(a1+a9)=9a5>0,∴a5>0. 10 又∵S10= 2 (a1+a10)=5(a5+a6)<0,∴a5+a6<0,即得 a6<0,且 |a6|>a5,则数列{an}的前 5 项均为正数,从第 6 项开始均为负数,则 2n 25 当 n≤5 时,数列{a }是递增的正数项数列,其最大项为a ,当 n>6 n 5 25 时,各项均为负数,即可得a 最大,故应选 B. 5 25 B.a 5 29 D.a 9 )

→ → → 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a2OA+a2014OC, 且 A,B,C 三点共线(该直线不过原点 O),则下列各式中正确的是 ( ) A.S2015=1 2015 C.S2015= 2 [答案] C [解析] → a2014OC, → → → → ∴OB-OA=(a2-1)OA+a2014OC, → → → → → → 即AB=(a2-1)OA+a2004OC=kCA=kOA-kOC, 由共线向量定理得 a2-1=-a2014,∴a2+a2014=1, ∴S2015= 2015 = 2 . 11.(文)设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 1 x、y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y),若 a1=2,an=f(n)(n∈N*),则数列 {an}的前 n 项和 Sn 为( A.2n-1 1 C.(2)n-1 [答案] D 1 1 [解析] 由已知可得 a1=f(1)=2, 2=f(2)=[f(1)]2=(2)2, 3=f(3) a a ) B.1-2n 1 D.1-(2)n 2015×?a1+a2015? 2015×?a2+a2014? = 2 2 → → ∵A、B、C 共线,且该直线不过 O 点,OB=a2OA+ 2013 B.S2014= 2 D.S2014=1007

1 1 1 1 =f(2)· f(1)=[f(1)]3=(2)3,?,an=f(n)=[f(1)]n=(2)n,∴Sn=2+(2)2 1 1 [1-?2?n] 2 1 1 1 +(2)3+?+(2)n= =1-(2)n,故选 D. 1 1-2 nπ nπ (理)已知数列{an}满足 a1=1,2=2,n+2=(1+cos2 2 )an+sin2 2 , a a 则该数列的前 10 项和为( A.2101 C.1012 [答案] B [解析] 当 n 为奇数时,an+2=an+1,这是一个首项为 1,公差 为 1 的等差数列; n 为偶数时, n+2=2an+1, 当 a 这是一个以 2 为首项, 公比为 2 的等比数列,所以 S18=a1+a2+?+a17+a18=(a1+a3+? 9?9-1? 2?1-29? +a17)+(a2+a4+?+a18)=9+ 2 ×1+ =9+36+1022 1-2 =1067. 12.(2013· 沈阳市质检)在等比数列{an}中,对于?n∈N*都有 an+ a 1·2n=3
n

) B.1067 D.2012

,则 a1·2· a6=( a ?·

) 3 B.( 3)13 D.36

3 A.± 3)11 ( C.± 5 3 [答案] D

[解析] 在 an+1a2n=3n 中,令 n=2 得,a3a4=32,由等比数列的 性质可知,a1·2·3·4·5·6 =(a2·6)·4· 1·5)·3 =(a3)3(a4)3 =(a3·4)3 = a a a a a a a (a a a a 36,故选 D. 二、填空题

13.(2013· 霍邱二中模拟)等差数列{an}中,a1+a2+a8=10,a14 +a15=50,则此数列的前 15 项之和是________. [答案] 180
? ?a1+a2+a8=10, [解析] ∵? ?a14+a15=50, ? ?3a1+8d=10, ?a1=-2, ? ? ? ∴ ∴? ? ? ?2a1+27d=50, ?d=2.

∴S15=15a1+

15×14 2 d=180.

14.(文)数列{an}中,a1=1,且 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an
-1

1 ,?是公比为3的等比数列,那么 an=________. 3 1 [答案] 2(1-3n) 1 [解析] 由已知得 an-an-1=(3)n-1, 1 1 1 因此可得:a1=1,a2-a1=3,a3-a2=(3)2,?,an-an-1=(3)n

-1

. 1 1 各项相加得 an=1+3+?+(3)n-1 1 1-?3?n 3 1 = =2(1-3n). 1 1-3 (理)已知数列{an}满足 a1 =1, 1 1 = +1,则 a10 = 1+an+1 1+an

________. 17 [答案] -19

[解析] 由

1 1 1 1 1 = +1,得 - =1,又 = 1+an+1 1+an 1+an+1 1+an 1+a1

1 1 1 1 1 ,故数列{ }是首项为2,公差为 1 的等差数列,故 =2+ 2 1+an 1+a10 17 (10-1)×1,得 a10=-19. 15.各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 S10= 10,S30=70,则 S40=________. [答案] 150 [解析] 设每 10 项一组的和依次组成的数列为{bn},由已知可

得:b1=10,b1+b2+b3=70.① 设原等比数列{an}的公比为 q, b2 a11+a12+?+a20 则b = a1+a2+?+a10 1 a1q10+a2q10+?+a10q10 10 = =q . a1+a2+?+a10 b3 b4 同理:b =q10,b =q10,?, 2 3 ∴{bn}构成等比数列,且公比 q′=q10. 由①可得 10+10q′+10(q′)2=70, 即(q′)2+q′-6=0,解得 q′=2 或 q′=-3. ∵q′=q10>0,∴q′=2. ∴{bn}的前 4 项依次是:10,20,40,80. ∴S40=150. 16.(文)(2013· 广州模拟)设等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+a, 等差数列{bn}的前 n 项和 Tn=n2-2n+b,则 a+b=________. [答案] -1 [解析] 由 a1=2+a,an=Sn-Sn-1=2n-1 得,a=-1;由 b1=b

-1,bn=Tn-Tn-1=-2n+1 得,b=0, ∴a+b=-1. (理)(2013· 临沂模拟)定义等积数列:在一个数列中,若每一项与 它的后一项的积是同一常数,那么这个数列叫做等积数列,且称此常 数为公积.已知在等积数列{an}中,a1=2,公积为 5,当 n 为奇数时, 这个数列的前 n 项和 Sn=________. [答案] 9n-1 4

5 5 [解析] 由题可知,等积数列{an}为 2,2,2,2,?,当 n 为奇 n+1 n-1 5 数时,其前 n 项和 Sn,可分两部分组成, 2 个 2 之和与 2 个2之 n+1 5 n-1 9n-1 和,所以 Sn=2× 2 +2× 2 = 4 . 三、解答题 17.已知正项数列{an}、{bn}满足:对任意正整数 n,都有 an, bn,an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1 成等比数列,且 a1=10,a2=15. (1)求证:数列{ bn}是等差数列; (2)求数列{an}、{bn}的通项公式. [解析] (1)证明:由已知得 2bn=an+an+1,① a2+1=bn·n+1,② b n 由②得 an+1= bnbn+1,③ 将③代入①得,对任意 n≥2,n∈N*, 有 2bn= bn-1bn+ bnbn+1. 即 2 bn= bn-1+ bn+1.∴{ bn}是等差数列. (2)解:设数列{ bn}的公差为 d,

25 由 a1=10,a2=15.经计算得,b1= 2 ,b2=18. 5 2 ∴d= b2- b1=3 2-2 2= 2 . 5 2 2 ∴ bn=2 2+(n-1)·2 = 2 (n+4). ?n+4?2 ?n+3??n+4? ∴bn= 2 ,an= . 2 18.(文)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 2an=Sn+n. (1)若 bn=an+1,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)证明:n=1 时,2a1=S1+1,∴a1=1. 由题意,得 2an=Sn+n,2an+1=Sn+1+(n+1), 两式相减可得 2an+1-2an=an+1+1, 即 an+1=2an+1. 于是 an+1+1=2(an+1),即 bn+1=2bn, 又 b1=a1+1=2. 所以数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. (2)解:由(1)知:bn=2·n-1=2n,∴an=2n-1, 2 ∴Sn=2an-n=2n+1-n-2, ∴Tn=S1+S2+?+Sn=(22+23+?+2n+1)-(1+2+?+n)-2n 22-2n+2 n?n+1? 5n 1 = - 2 -2n=2n+2-4- 2 -2n2. 1-2 1 1 (理)已知点 P(an,an+1)(n∈N*)是函数 y=4x2 在点(1,4)处的切线 1 上的点,且 a1=2. 1 (1)证明:{an+2}是等比数列;

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 1 1 [解析] (1)证明:∵函数 y=4x2 的导数为 y′=2x, 1 1 1 ∴函数 y=4x2 在点(1,4)处的切线斜率为2. 1 1 故函数 y=4x2 在(1,4)处的切线方程为 1 1 y-4=2(x-1). 1 1 ∵点 P 在此切线上,∴an+1-4=2(an-1). 1 1 1 ∴an+1+2=2(an+2). 1 1 ∵a1=2,∴an+2≠0. 1 1 ∴数列{an+2}是首项为 1,公比为2的等比数列. 1 1 (2)解:由(1)知 an+2=(2)n-1, 1 1 ∴an=(2)n-1-2. 1 1 1 n ∴Sn=1+2+(2)2+?+(2)n-1-2 1 1-?2?n n 1 n = -2=2- n-1-2. 1 2 1-2 19.(文)已知等差数列{an}的首项 a1≠0,前 n 项和为 Sn,且 S4 +a2=3S3;等比数列{bn}满足 b1=a2,b2=a4. (1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项; 2 (2)若 a1=2,设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; log2bn· 2bn+1 log

(3)在(2)的条件下, 若有 f(n)=log3Tn, f(1)+f(2)+?+f(n)的最 求 大值. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由 S4+a2=2S3,得 4a1+6d+a1+d=6a1+6d, ∴a1=d, 则 an=a1+(n-1)d=na1,∴b1=2a1,b2=4a1, b2 等比数列{bn}的公比 q=b =2,
1

则 bn=2a1·n-1=2n·1, 2 a ∵2n∈N*,∴{bn}中的每一项都是{an}中的项. (2)当 a1=2 时,bn=2n+1, 2 1 1 cn= =2( - ) ?n+1??n+2? n+1 n+2 则 Tn=c1+c2+?+cn 1 1 1 1 1 1 =2(2-3+3-4+?+ - ) n+1 n+2 1 1 n =2(2- )= . n+2 n+2 n (3)f(n)=log3Tn=log3 , n+2 1 2 n ∴ f(1) + f(2) + ? + f(n) = log3 3 + log3 4 + ? + log3 = n+2 12 n 2 2 log3(3·· ?· )=log3 ≤log3 =-1,即 f(1) 4 n+2 ?n+1??n+2? ?1+1??1+2? +f(2)+?+f(n)的最大值为-1. 3x+2 (理)已知函数 f(x)= , x+2 1 1 (1)若数列{an}、{bn}满足 a1=2,an+1=f(an),bn= (n≥1), an+1

求数列{bn}的通项公式; 1 (2)记 Sn=b1+b2+?+bn.若S ≤m 恒成立.求 m 的最小值.
n

3an+2 [解析] (1)∵an+1=f(an),∴an+1= . an+2 1 1 1 又 bn= ,∴an=b -1,an+1= -1. an+1 bn+1 n ∴ 1 bn+1 -1=3- 1 4 ,化简得 4bn+1=bn+1,

bn-1+2

1 bn+1-3 1 1 1 ∴4(bn+1-3)=bn-3,∴ =4, 1 bn-3 1 1 1 1 ∴数列{bn-3}是首项 b1-3=3,公比为4的等比数列, 1 11 11 1 ∴bn-3=3(4)n-1,bn=3(4)n-1+3. 1 1 ?1-4n? 3 n 4 1 n (2)Sn= +3=9(1-4n)+3, 1 1-4 1 ∴S =4
n

1 1 3 ≤S =2, 1 n 1 ?1-4n?+3 9

1 3 1 ∴S 的最大值为2,又S ≤m,
n n

3 ∴m 的最小值为2 1 2 20.(文)设数列{bn}满足:b1=2,bn+1=bn+bn, 1 1 1 (1)求证: =b - ; bn+1 bn+1 n

1 1 1 (2)若 Tn= + +?+ ,求 Tn 的最小值. b1+1 b2+1 bn+1 [解析] 1 (1)证明:∵b1=2,bn+1=b2+bn=bn(bn+1),∴对任意 n

的 n∈N*,bn>0, 有 即 1 1 1 = =b - , bn+1 bn?bn+1? n bn+1 1 1 1 =b - . bn+1 n bn+1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 (2)解:Tn=(b -b )+(b -b )+?+(b - )=b - =2- bn+1 b n +1 1 2 2 3 n 1 . bn+1
2 ∵bn+1-bn=bn>0,∴bn+1>bn,

1

∴数列{bn}是单调递增数列, ∴数列{Tn}关于 n 递增,∴Tn≥T1. 1 1 2 ∵b1=2,∴T1= =3, b1+1 2 2 ∴Tn≥3.∴Tn 的最小值为3. (理)已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满足: a2a3=45,a1+a4=14. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)通过公式 bn= 构造一个新的数列{bn}.若{bn}也是等差数 n+c 列,求非零常数 c; bn (3)对于(2)中得到的数列{bn}, f(n)= 求 (n∈N*)的最大 ?n+25?·n+1 b 值.

[解析] (1)∵数列{an}是等差数列. ∴a2+a3=a1+a4=14.又 a2a3=45,
?a2=5 ?a2=9 ? ? ∴? 或? . ? ? ?a3=9 ?a3=5

∵公差 d>0,∴a2=5,a3=9. ∴d=a3-a2=4,a1=a2-d=1. ∴an=a1+(n-1)d=4n-3. 1 (2)∵Sn=na1+2n(n-1)d=n+2n(n-1)=2n2-n, 2n2-n Sn ∴bn= = . n+c n+c ∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 6 1 15 1 ∴2· = + ,解得 c=-2(c=0 舍去). c+2 c+1 c+3 2n2-n ∴bn= 1 =2n. n-2 1 显然{bn}成等差数列,符合题意,故 c=-2. (3)f(n)= 2n n = 2 = ?n+25?· 2?n+1? n +26n+25 1 1 ≤36 .即 f(n) 25 n+ n +26

1 的最大值为36. 21.(文)(2013· 陕西文,17)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和. (1)若{an}是等差数列,推导 Sn 的计算公式. 1-qn (2)若 a1=1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn= .判断{an} 1-q 是否为等比数列,并证明你的结论.

[解析] (1)设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+?+an=a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+an-1+?+a1 =[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+?+a1, ∴2Sn =[2a1 +(n-1)d]+[2a1 +(n-1)d]+?+[2a1 +(n-1)d]= 2na1+n(n-1)d, ∴Sn=na1+ n?n-1? 2 d.

1-qn (2){an}是等比数列,证明如下:∵Sn= , 1-q 1-qn+1 1-qn qn?1-q? n ∴an+1=Sn+1-Sn= - = =q . 1-q 1-q 1-q an+1 qn ∵a1=1,q≠0,∴当 n≥1 时,有 a = n-1=q, q n 因此,{an}是首项为 1 且公比为 q 的等比数列. (理)(2013· 陕西理,17)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项和 Sn=a1+a1q +?+a1qn-1,将上式两边分别乘以 q 得 qSn=a1q+a1q2+?+a1qn, 两式相减,则当 q≠1 时, a1?1-qn? a1-anq Sn= 或 Sn= 1-q 1-q 当 q=1 时,a1=a2=?=an,所以 Sn=na1. a1?1-qn? 综上知,当 q=1 时 Sn=na1,当 q≠1 时,Sn= . 1-q (2)∵q≠1,假设数列{an+1}为等比数列,

那么(a2+1)2=(a1+1)· 3+1) (a 即(a1q+1)2=(a1+1)· 1q2+1), 1(q-1)2=0, 1=0 或 q=1, (a ∴a ∴a 均与题设矛盾,故数列{an+1}不可能为等比数列. 22.已知函数 f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数 f ′(x)=-2x+7,数 列{an}的前 n 项和为 Sn,点 Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象 上. (1)求数列{an}的通项公式及 Sn 的最大值; (2)令 bn= 2an,其中 n∈N*,求{nbn}的前 n 项和. [解析] (1)∵f(x)=ax2+bx(a≠0), ∴f ′(x)=2ax+b, 由 f ′(x)=-2x+7 得:a=-1,b=7, 所以 f(x)=-x2+7x, 又因为点 Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上,所以有 Sn =-n2+7n. 当 n=1 时,a1=S1=6; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+8, ∴an=-2n+8(n∈N*). 令 an=-2n+8≥0 得 n≤4, ∴当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 12. 综上,an=-2n+8(n∈N*), 当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 12. (2)由题意得 b1= 26=8,bn= 2-2n+8=2-n+4, b n +1 1 1 所以 b =2,即数列{bn}是首项为 8,公比是2的等比数列, n 故{nbn}的前 n 项和 Tn=1×23+2×22+?+n×2-n+4,①

1 Tn=1×22+2×2+?+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3,② 2 1 ①-②得:2Tn=23+22+?+2-n+4-n×2-n+3 1 16[1-?2?n] 4-n ∴Tn= 24-n 1 -n· =32-(2+n)2 . 1-2


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