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1.1.1任意角的概念


1.1.1 任意角的概念

1、角的概念
初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端

点旋转而成的。 初中学过的角的范围是:0? 至 360? 。

2.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 如图:一条射线由原来的 位置OA,绕着它的端点O

按逆 时针方向旋转到另一位置OB, 就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边,旋转终止的射线 OB叫做角α的终边,射线的端 点O叫做角α的顶点.

B

O

A

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,
我们也认为这时形成了一个角,并把这个角

叫做零角即零度角(0? ).此时零角的始边与
终边重合。 角的记法:角α或可以简记成∠α,或简

记为: α. 如∠α=-1500
, α=00, α=6600 等等……

角的概念扩展的意义: 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如:?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例:体操动作:旋转2周(360?×2=720?) 3周(360?×3=1080?) ③ 还有零角, 一条射线,没有旋转.

角的概念推广以后,它包括任意大小的正

角、负角和零角.
要注意,正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量,它的正负规定源于实际的需要,就 好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,

就好象数零无正负一样.

用旋转来描述角,需要注意三个要素:
旋转中心、旋转方向和旋转量 (1)旋转中心:作为角的顶点. (2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根 据以往的经验,我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示,那么许多问题就可以解 决了;

(3)旋转量:
当旋转超过一周时,旋转量即超过360? , 角度的绝对值可大于360? .于是就会出现 720? , - 540? 等角度.

3.象限角
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合 于x轴的非负半轴,这样一来,角的终边落在第 几象限,我们就说这个角是第几象限的角。 (角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为:轴线角) 例如:30?、390?、?330?是第一象限角, 300?、 ?60?是第四象限角, 585?、1300?是第三象限角, 135 ? 、?2000?是第二象限角等

4.终边相同的角
⑴ 观察:390?,?330?角,它们的终边都与 30?角的终边相同. ⑵探究:终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)

个周角的和:
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=-1)

30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=-5)

⑶ 结论: 所有与?终边相同的角连同?在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· 360? , k∈Z} 即:任何一个与角?终边相同的角,都可 以表示成角?与整数个周角的和。

所有与?终边相同的角连同?在内可 以构成一个集合: ⑷注意以下四点: {β| β=α+k·360? , k∈Z} ① k∈Z, 即:任何一个与角?终边相同的角,都 可以表示成角?与整数个周角的和。 K > 0,表示逆时针旋转, K < 0,表示顺时针旋转. ② ?是任意角;

③ k· 360? 与?之间是“+”号,如k· 360? -30? ,应 看成(-30? )+ k· 360? ; ④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360? 的整数倍.

【自主探究】

1、下列说法中正确的是( D ) A.120°角与420°角的终边相同 B.若α是锐角,则2α是第二象限的角 C.-240°角与480°角都是第三象限的角 D.60°角与-420°角的终边关于x轴对称 2、 C 3、 一、二、四、一、四、三

【合作探究】
? 探究一:终边相同的角

例1: ? 120 ? 240 ? 360 ? (?1)
? ? ?

? ;

660 ? 300 ? 360
? ? ?

?

435 ? 75 ? 360
?

?

变式1: ? ? ? -15 ? 360 K
? ?

- 1080? ? ? ? -360? ? ? ? -375? 或 - 735?

例2: 1200? ? 120? ? 360? ? 3第二象限 ? 55? ? 305? ? 360? ? (- 1 )第四象限
? 1563 ? 123? ? 360? ? 4第二象限

— 1590? ? 210? ? 360? ? (?5)第三象限

变式2:

?? ? ? 180 k , k ? z ?
? ? ?

?? ? ? 45 ? 180 k , k ? z ?

?? ? ? 135? ? 180? k , k ? z

探究二:区域角的表示
? 例3:

?? ? ? 120 ? 360 k , k ? z ?
? ?

?? 45 ,315 ?
? ? ?

?? ? 45 ? 360 k ? ? ? 120 ? 360 k , k ? z ?
? ? ?

?

变式3:

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴应填{α|n·180°+30°<α<n· 180°+150°,n∈Z}. ?

解:在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角为 30°<α<150°与210°<α<330°, ∴所有满足题意的角α为 {α|k·360°+30°<α<k· 360°+150°,k∈Z}∪ {α|k·360°+210°<α<k· 360°+330°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°<α<2k· 180°+150°,k∈Z}∪ {α|(2k+1)180°+30°<α<(2k+1)180°+150°,k∈Z} ={α|n·180°+30°<α<n· 180°+150°,n∈Z}.

例4.A 变式4:一、三、四; 一、二

象限角的集合表示. ? 第一象限的角表示为 {?|k?360?<?< 90? + k?360?,k?Z}; ? 第二象限的角表示为 {?| 90? + k?360?<?<180? +k?360?,k?Z}; ? 第三象限的角表示为 {?| 180? + k?360?<?< 270? + k?360?,k?Z} ? 第四象限的角表示为 {?| 270? + k?360?<?< 360? + k?360?,k?Z}

【当堂检测】
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k· 360°(k∈Z),则α与β终边相同 2.下列角中终边与330°相同的角是( B ) Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 3.与120°角终边相同的角是( A ) A.-600°+k· 360°,k∈Z B.-120°+k· 360°,k∈Z C.120°+(2k+1)· 180°,k∈Z D.660°+k· 360°,k∈Z 4.角α=45°+k· 180°,k∈Z的终边落在 (A ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限

1、弧度制
? 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。

设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= =1 弧度

B l=r
1弧度

r

O

r

A

若l=2r,

若l=2 π r,
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度

则∠AOB=

B
2弧度

O r

A

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r

l = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B

r

A

-3弧度
l=3r

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱ α︱ =

l r

其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

2、弧度与角度的换算
若l=2 π r,
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
l=2 π r

O

r

A(B)

此角为周角 即为360°

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

由180°= 1° = 180

π 弧度 还可得

π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 π

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

例1:角度与弧度互化:
?

2 72 ? 72? rad ? ? (rad ) 180 5
?

3 3 ? 180? ? ?rad ? ? ? ? ? 108 ? 5 5 ? ? ?

?

变式1:角度与弧度互化:

2? 3? ? 45 ? ,120 ? ,135 ? 4 3 4
? ?

?

?
3

? 60 ,
?

?
2

? 90

?





例2:用弧度制证明下列有关扇形的 公式
n?R 角度制下弧长公式: l? , 把角度n化成 ? 180 弧度:? ? n ?

?
180
?

? l ? ?R

n 1 2 2 s? ?R 转化成弧度:s ? ?R ? 360 2 1 或者s ? lR 2

变式2:扇形半径为45,圆心角为120°,用弧度制求弧长、面积.

2 120 ? ? 3
?

2 ? l ? ?R ? ? ? 45 ? 30? 3 1 1 S ? lR ? ? 30? ? 45 ? 675 ? 2 2

【当堂检测】
? ? ? ? 1.C 2.A 3.D 4.D

小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式:

l ? ? ?r

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ? 2 2 ? ? (其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数 ) l


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