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随机事件的概率概率统计与统计案例 2012高考一轮数学精品课件


学案1

随机事件的概率

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1.确定事件和随机事件

(1)在条件S下, 一定会 发生的事件,叫做相对 于条件S的必然事件,简称 必然事件 .
(2)在条件S下, 一定不会 发生的事件,叫做相对 于条件S的不可能事件,简称 不可能事件 . 不可能事件 (3) 必然事件 与 条件S的确定事件,简称确定事件. 统称为相对于

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(4)在条件S下, 可能发生也可能不发生 的事 件,叫做相对于条件S的随机事件,简称 随机事件 . (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写 字母 A,B,C…… 表示. 2.频率 在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是 否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现 nA 的 频数 ,称事件A出现的比例fn(A)= 为事 n 件A出现的频率. 3.概率 对于给定的事件A,如果随着试验次数的增加,事 件A发生的频率fn(A)稳定在 某个常数上,把这个 常数 记作 P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率. 返回目录

4.事件的关系与运算
(1)一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生, 一定 则事件B 发生,这时称事件B包含事件A(或 称 事件A包含于事件B),记作 B?A (或 A?B ). (2)一般地,若 B?A ,且 与事件B相等,记作 A = B .

A ?B,那么称事件A

(3)若某事件发生当且仅当事件A发生 或 事件B 发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件 (或 和事件 ),记作 A∪B (或 A+B ).
(4)若某事件发生当且仅当事件A发生 且 B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件 (或 积事件 ),记作 A∩B (或 AB ). 事件

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(5)若A∩B为不可能事件(A∩B=?),那么称 事 互斥 ,其含义是:事件A与事件B在任何 件A与事件B 一次试验中不会同时发生.
(6)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称 事件A与事件B 互为对立事件 ,其含义是:事件A与 事 件B在任何一次试验中有且仅有一个发生. 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为: (2)必然事件的概率为: (3)不可能事件的概率为: [0,1] 1 0 ; ; ;

(4)互斥事件概率的加法公式:
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B) . 特别地,若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)= 1-P(B) . 返回目录

考点一 随机事件的概率 一个口袋内装有5个白球和3个黑球,从中任意取出一只球. (1)“取出的球是红球”是什么事件?它的概率是多少? (2) “取出的球是黑球”是什么事件?它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件?它的概率是多 少? 返回目录

【分析】此题是概念题,在理解必然事件、不可能事 件、随机事件及概率定义的基础上,容易得出正确解答. 【解析】(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球, 故“取出的球是红球”是不可能事件,其概率为0. (2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球, 也可能是黑球,故“取出的球是黑球”是随机事件,它 3 的概率是 .
8

(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取 出一个球不是黑球,就是白球.因此,“取出的球是白球 或是黑球”是必然事件,它的概率为1.
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【评析】解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的 意义及每个基本事件的含义,正确把握各个事件的相互关

系.判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件,
主要是依据在一定的条件下,所要求的结果是否一定出现、 不可能出现,或可能出现、可能不出现,它们的概率(范 围)分别为1,0,(0,1).

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*对应演练*
某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数 击中靶心 的次数 击中靶心 m 的频率 n 10 20 50 100 200 500 1000

8

19

44

90

178

455

906

(1)计算表中击中靶心的各个频率;
(2)这个运动员击中靶心的概率约是多少? 返回目录

m (1)依据公式P= ,可以依次计算出表中击中靶心 n 的频率. 8 19 f(1)= =0.8, f(2)= =0.95, 10 20 44 90 f(3)= =0.88, f(4)= =0.9, 50 100 178 455 f(5)= =0.89, f(6)= =0.91, 200 500 906 f(7)= =0.906. 1000
(2)由(1)知,射击的次数不同,计算得到的频率值

不同,但随着射击次数的增多,却都在常数0.9的附近摆动.
所以击中靶心的概率约为0.9. 返回目录

考点二 互斥事件的概率 某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概 率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射 击中: (1)射中10环或7环的概率; (2)不够7环的概率. 【分析】由互斥事件或对立事件的概率公式求解.

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【解析】 (1)设“射中10环”为事件A,“射中7环” 为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生, 故A与B是互斥事件,“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.

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(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5 环,4环,3环,1环,0环.但由于这些概率都未知,故不能直接求 解.可考虑从反面入手.不够7环的反面是大于、等于7环, 即7环,8环,9环,10环,由于此二事件必有一个发生, 故是对立事件,故可用对立事件的方法处理.设“不够7环” 为事件E,则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”.由 (1)知“射中7环”“射中8环”等彼此互斥. ∴P(E)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=10.97=0.03. ∴射不够7环的概率为0.03. 返回目录

【评析】 (1)必须分析清楚事件A,B互斥的原因,只有互 斥事件才能用概率和公式. (2)所求事件必须是几个互斥事件的和.满足以上两点 才能用P(A∪B)=P(A)+P(B). (3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时, 可先转化为求其对立事件的概率.

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*对应演练*
已知袋中有编号1~9的小球各一个,它们的大小相同,从 中任取三个小球.求: (1)恰好有一球编号是3的倍数的概率; (2)至少有一球编号是3的倍数的概率; (3)三个小球编号之和是3的倍数的概率.

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(1)从九个小球中任取三个共有

等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A,则 2 C1 ·C 6 15 P(A)= 3 3 = . C9 28
(2)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B,则
2 3 C6 16 C3 + C2C1 + C1 C6 16 . 3 6 3 P(B)=1- 3 = 或P(B)= 3 = 3 C9 21 C9 21 (3)设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C,设集

C

3 9

种取法,它们是

合S1={3,6,9},S2={1,4,7},S3={2,5,8},则取出三个小球编 号之和为3的倍数的取法共有3 C 3 +C1· 1·C1 种,则 3 3 C3 3

3C3 + C1 ? C1 ? C1 5 3 3 3 3 P(C)= = . 3 C9 14
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考点三

对立事件的概率

一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2 张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?

1 ×9×8=36,“号数至少有一个为奇数”的对立事件是 2 “号数全是偶数”,用对立事件的性质求解非常简单.

【分析】从9张票中任取2张,要弄清楚取法种数为

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【解析】从9张票中任取2张,有 (1,2),(1,3),…,(1,9);

(2,3),(2,4),…,(2,9);
(3,4),(3,5),…,(3,9);…

(7,8),(7,9),(8,9),共计36种取法.
记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数” 为事件C,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2 张有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.
6 1 ∴P(C)= = ,由对立事件的性质得 36 6 1 5 P(B)=1-P(C)=1- = . 6 6

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【评析】 (1)求复杂事件的概率通常有两种方法:一 是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先去求对 立事件的概率. (2)涉及到“至多”“至少”型的问题,可以用互斥 事件以及分类讨论的思想求解,当涉及的互斥事件多于两 个时,一般用对立事件求解.

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*对应演练*
同时抛掷两枚骰子,求至少有一个5点或6点的概率. 解法一:视其为等可能性事件,进而求概率. 同时投掷两枚骰子,可能结果如下表:
1 1 (1,1) 2 (1,2) 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (1,5) 6 (1,6)

2
3 4 5 6

(2,1)
(3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(2,2)
(3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(2,3)
(3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(2,4)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5)
(3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(2,6)
(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

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共有36个不同的结果,其中至少有一个5点或6点的结 20 5 果有20个,∴至少有一个5点或6点的概率为P= = .
36 9

解法二:利用对立事件求概率. 至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点且没有

6点.
如上表,没有5点且没有6点的结果共有16个,没有5 16 4 点且没有6点的概率为P= . =
36 9

∴至少有一个5点或6点的概率为1-

4 5 = . 9 9

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解法三:利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 设事件A:含有点数为5的;事件B:含有点数为6的.

显然A,B不是互斥事件.
11 11 2 ∴P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= . 36 36 36

∴至少有一个5点或6点的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
11 11 2 20 5 = + = = . 36 36 36 36 9

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利用集合认识互斥事件、对立事件 1.如果A,B是两个互斥事件,反映在集合上,是表示 A,B两个事件所含结果组成的集合的交集为空集,即 A∩B= ?. 2.从集合的角度看,由事件A所含的结果组成的集合 是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集. 即:A∪A=U,A∩A=?.

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