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1.3.1柱锥台表面积和体积


1、3

空间几何体的表面积与体积

1. 柱体、锥体、台体的表面积

正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。

探究

棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的 表面积?

棱柱的侧面展开图是由平行四边

形组成的平面图形,
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形, 棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边 形、三角形、梯形的面积问题。

例1、已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四 面体S ? ABC (如下图), 求它的表面积.
S

A B D C

圆柱的展开图是一个矩形:
如果圆柱的底面半径为 r ,母线为 l ,那么圆柱 ?r 2,侧面积为 2?rl 。因此圆柱的 的底面积为 表面积为

S ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

O`

O

圆锥的展开图是一个扇形:
如果圆柱的底面半径为 r ,母线为 l ,那么它 的表面积为

S ? ?r ? ?rl ? ?r (r ? l )
2

S

2?r

O

圆台的展开图是一个扇环,它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积,即

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'2 2 '

2?r
O`

'

2?r

O

例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 cm, 盆底 20 直径为 cm, 底部渗水圆孔直径为 .5cm, 盆壁长 15 1 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(?取 3.14, 结果精确到 cm) ? 1
20cm

15cm

15cm

柱体、锥体、台体的体积

1.柱体(正方体、长方体,以及圆柱) V = Sh(S为底面面积,h为高)

2.锥体(棱锥、圆锥)
1 V ? Sh (S为底面面积,h为高) 3

探究

圆锥与圆台体积的关系?
O`

S

O

O

1 圆锥是同底同高的圆柱体积的 3 。

圆台(棱台)的体积公式:

1 V ? ( S '? S ' S ? S )h 3
其中S',S分别为上底面面积,h为圆台(棱台)高。


R 球的表面积:

S ? 4? R

2

4 3 V ? ?R 3

知识小结:
柱体 V ? Sh

S ? S'

柱体、锥体、 台体的体积

1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 S '? 0 锥体 V ? 1 Sh 3

例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g / cm )
3

六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形, 边长为12 mm,内孔直径10 mm, 高为10 mm,问这堆螺帽 大约有多少个(?取3.14) ?


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