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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:阶段示范性金考卷6


阶段示范性金考卷六
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在某大学数学专业的 160 名学生中开展一项社会调查,先将 学生随机编号为 01,02,03,?,160,采用系统抽样的方法抽取样本, 已知抽取的学生中最小的两个编号为 07 号、23 号,那么抽取的最大 编号应该是( A.150 C.142

) B.151 D.143

解析:由最小的两个编号为 07,23 可知,抽样间距为 16,因此抽 1 取人数的比例为16,即抽取 10 名同学,其编号构成首项为 07,公差 为 16 的等差数列,故最大编号为 7+9×16=151. 答案:B 2.执行如图所示的程序框图,输出结果 S 等于( )

A.1006 B.1007

C.1008 D.1009 解析:根据程序框图,S=(-1+2)+(-3+4)+?+ (-2013+2014)=1007,输出的 S 为 1007. 答案:B 3.已知点 P 是圆 x2+y2+2x-3=0 上任意一点,则点 P 在第一 象限内的概率为( 1 A. 3 1 C. 6 ) 1 B. 4 1 D. 12

解析:将方程配方得(x+1)2+y2=4,如图,易知∠ACB=60° , 60° 1 圆上的点在第一象限内的概率 P=360° =6. 答案:C 4.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80
^

根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y =10.5x +a ,据此模型来预测当 x=20 时,y 的估计值为( A.210 C.211.5 B.210.5 D.212.5
^

)

解 析 : 由 数 据 可 知 x =

2+4+5+6+8 = 5 , y = 5

^ 20+40+60+70+80 =54,将( x , y )代入回归直线方程y =10.5x+ 5

a 可得a =54-52.5=1.5,即回归直线方程为y =10.5x+1.5,令 x =20,得y =10.5×20+1.5=211.5,故选 C. 答案:C 5.某商场在春节期间举行抽奖促销活动,规则是:从装有编号 为 0,1,2,3 四个完全相同的金蛇形小玩具抽奖箱中同时抽出两个小玩 具.两个小玩具的号码之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖.则中奖的概率是( 1 A. 3 1 C. 4 ) 2 B. 3 3 D. 4
^

^

^

^

解析:抽出两个小玩具,两个小玩具的号码可能为(0,1),(0,2), (0,3),(1,2),(1,3),(2,3),共 6 种情况,号码之和等于 5 的有(2,3), 号码之和等于 4 的有(1,3),号码之和等于 3 的有(0,3),(1,2),则中奖 2 的情况有 4 种,故中奖的概率为3. 答案:B 6.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,已 知样本数据落在区间[10,12)内的频数比样本数据落在区间[8,10)内的 频数少 40,则 m 的值等于( A.0.18 C.0.08 ) B.0.09 D.0.1

解析:依题意,样本数据落在区间[10,12)内的频率比样本数据落 40 在区间[8,10)内的频率小200=0.2,因此(n-m)· 2=0.2,所以 n-m= 0.1,而(m+n+0.02+0.05+0.15)· 2=1,于是 n+m=0.28,解得 m= 0.09. 答案:B 7. 在一盒子中有编号为 1,2 的红色球 2 个,编号为 1,2 的白色球 2 个,现从盒子中摸出 2 个球,每个球被摸到的概率相同,则摸出的 2 个球中既含有 2 种不同颜色又含有 2 个不同编号的概率为( 1 A. 3 1 C. 6 2 B. 3 1 D. 2 )

解析:从 4 个球中摸出 2 个球的情况有(红 1,红 2),(红 1,白 1),(红 1,白 2),(红 2,白 1),(红 2,白 2),(白 1,白 2),共 6 种, 其中 2 球颜色不同且编号不同的情况有(红 1,白 2),(红 2,白 1), 2 1 共 2 种,故所求概率 P=6=3.

答案:A 8.甲、乙两名学生的 6 次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图 所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平 均分比乙同学的平均分高;③甲同学的平均分比乙同学的平均分低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④ 解析:由茎叶图知甲同学的成绩分别为 72,76,80,82,86,90;乙同 学的成绩分别为 69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学 成绩的中位数,①错;计算得甲同学的平均分为 81,乙同学的平均 分为 85,故甲同学的平均分比乙同学的平均分低,②错,③对;计 算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差,故④对.所以说法正 确的是③④.故选 A 项. 答案:A 9.用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,这个数为恰 有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 ) )

解 析 : 用 1,2,3,4 这 四 个 数 字 组 成 无 重 复 数 字 的 四 位 数 有 1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3142, 3124,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共 24 个, 其 中 恰 有 一 个 偶 数 夹 在 两 个 奇 数 之 间 的 四 位 数 有 1234,1432,2143,2341,3214,3412,4123,4321,共 8 个,所以所求概率 P 8 1 =24=3,选 A. 答案:A 10.被戏称成“最牛违建”的北京“楼顶别墅”于 2013 年 8 月 15 日正式拆除.围绕此事件的种种纷争,某媒体通过随机询问 100 名性别不同的居民对此的看法,得到下表 认为就应依法拆除 男 女 45 30 认为太可惜了 10 15

附: P(K2≥k) k
2

0.10

0.05

0.025

2.706 3.841 5.024

n?ad-bc?2 K= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 参照附表,得到的正确结论是:( )

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“认为拆除太可 惜了与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“认为拆除太可 惜了与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”

D.有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关” n?ad-bc?2 解析: 因为 K = = 3.030>2.706 ,所以 ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2>2.706)=0.10, 故有 90%的把握认为“认为拆除太可惜了与性别 有关”. 答案:C 11. 某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量 x 在 1,2,3, ?, 24 这 24 个整数中等可能随机产生,则按程序框图正确编程运行时输 出 y 的值为 1 或 2 的概率为( )

1 A. 6 1 C. 2

1 B. 3 5 D. 6

解析:变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中随机产生的一个

数,共有 24 种可能.当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数 1 中产生时,输出 y 的值为 1,故输出 y 的值为 1 的概率 P1=2,当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故输出 1 1 1 5 y 的值为 2 的概率 P2=3, 所以输出 y 的值为 1 或 2 的概率为2+3=6. 答案:D 12.若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b, 2b 则方程 x=2 2a- x 有不等实数根的概率为( 1 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 5 )

2b 解析:方程 x=2 2a- x ,即 x2-2 2ax+2b=0,原方程有不等 实数根,则需满足 Δ=(2 2a)2-4×2b>0,即 a>b. 在如图所示的平面直角坐标系内,(a,b)的所有可能结果是边长 2b 为 1 的正方形(不包括边界),而事件 A“方程 x=2 2a- x 有不等实 数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界). 1 2×1×1 1 由几何概型公式可得 P(A)= =2. 1×1 答案:B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中的横线上) 13. 利用随机数表法对一个容量为 500, 编号为 000,001,002, ?, 499 的产品进行抽样检验,抽取一个容量为 10 的样本,若选定从第 12 行第 5 列的数开始向右读数(下图摘取了随机数表的第 11 行至第 15 行),根据下图,读出的第 3 个数是________. 18 18 07 92 45 55 23 64 05 05 26 62 38 97 75 10 93 72 88 71 23 42 40 64 74 93 85 79 10 75 52 36 28 19 95 86 60 42 04 53 37 85 94 35 12 35 85 29 48 39 解析:最先读到的 1 个编号是 389,向右读下一个数是 775,775 大于 499,故舍去;下一个数是 841,舍去;下一个数是 607,舍去; 下一个数是 449;下一个数是 983,舍去;下一个数是 114.读出的第 3 个数是 114. 答案:114 14. [2014· 安徽联考]已知 x 是 1,2,3, x,5,6,7 这七个数据的中位数, 1 且 1,3, x, -y 这四个数据的平均数为 1, 则x+y 的最小值为________. 1+3+x-y 1 1 解析:由已知得 3≤x≤5, = 1 ,∴ y = x ,∴ + y = 4 x x+ 1 x,又函数 y=x+x 在[3,5]上单调递增, 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 92 94 07 72 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10

10 ∴当 x=3 时取最小值 3 . 10 答案: 3 15.如图,运行程序框图后输出 S 的值是________.

解析:因为 a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,且 ai=ai+6,所以输出的 π 2π S=a1+a2+?+a2014=a1+a2+a3+a4=cos3+(-1)1+cos 3 +(-1)2 3π 4π 3 +cos 3 +(-1)3+cos 3 +(-1)4=-2. 3 答案:-2 π 16.如图,⊙C 内切于扇形 AOB,∠AOB=3.若在扇形内任取一 点,则该点在⊙C 内的概率为________.

解析:设⊙C 的半径为 1,试验发生包含的事件对应的是扇形 AOB,满足条件的事件是圆,⊙C 的面积等于 π.连接 OC 并延长交扇 π 形于 N.过 C 作 CM⊥OB,则∠COM=6,OC=2,ON=3,∴扇形 1 π 3π 2 AOB 的面积为2×3×32= 2 , ∴⊙C 的面积与扇形 AOB 的面积比是3, 2 ∴所求概率 P=3. 2 答案:3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、 f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽 取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后 还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖. (1)求 a 能获一等奖的概率; (2)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率. 解:(1)设“a 能获一等奖”为事件 A,事件 A 等价于事件“从 6 人中随机抽取两人,能抽到 a”.从 6 人中随机抽取两人的基本事件 有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、 (b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15 个,

5 1 包含 a 的有 5 个,所以,P(A)=15=3, 1 答:a 能获一等奖的概率为3. (2)设“若 a、b 已获一等奖,c 能获奖”为事件 B, a、b 已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c、c)、 (c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e、c)、(e、 d)、(e、e)、(e、f)、(f、c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16 个, 7 其中含有 c 的有 7 种,所以,P(B)=16, 7 答:若 a、b 已获一等奖,c 能获奖的概率为16. 18.(本小题满分 12 分)一般来说,一个人脚掌越长,他的身高 就越高.现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量.得到的数 据(单位均为 cm)作为一个样本如表所示. 脚掌长(x) 身高(y) 20 141 21 146 22 154 23 160 24 169 25 176 26 181 27 188 28 197 29 203

(1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标,“身高”为纵坐标, 作出散点图后,发现散点在一条直线附近,试求“身高”与“脚掌 ^x+a ; 长”之间的线性回归方程y =b (2)若某人的脚掌长为 26.5 cm,试估计此人的身高; (3)在样本中,从身高 180 cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一 步的分析, 求所抽取的 2 人中至少有 1 人身高在 190 cm 以上的概率.
^ ^ ^x+a ^= (参考公式及数据:线性回归方程y =b 中,b ^ ^

? ?xi- x ??yi- y ?
i=1 n

n

,a = y -b x ,其中 x , y 为样本平均值,? (xi
i =1

^

^

10

? ?x i - x ?2
i =1 10

-x)(yi-y)=577.5, ? (xi- x )2=82.5)
i=1

解:(1)记样本中 10 人的“脚掌长”为 xi(i=1,2,?,10), “身高”为 yi(i=1,2,?,10),

? ?xi- x ??yi- y ?
则b =
^ i=1 10

10

? ?x i - x ?2
i=1

577.5 = 82.5 =7.

x1+x2+?+x10 ∵x= =24.5, 10 y=
^

y1+y2+?+y10 =171.5, 10
^

∴a = y -b x =0, ∴y =7x. (2)由(1)知y =7x,当 x=26.5 时, y =7×26.5=185.5(cm), 故估计此人的身高为 185.5 cm. (3)将身高为 181 cm,188 cm,197 cm,203 cm 的 4 人分别记为 A, B, C,D. 记“从身高 180 cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析, 所抽取的 2 人中至少有 1 人身高在 190 cm 以上” 为事件 M,
^ ^ ^

则基本事件有(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),共 6 个, M 包含的基本事件有(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),共 5 个, 5 ∴P(M)=6. 19.(本小题满分 12 分)某市今年 10 月举办艺术节,现有 8 名艺 术节志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓英语,B1,B2,B3 通晓俄 语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解:(1)从 8 人中选出通晓英语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其 一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1, C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2, B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1), (A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2, C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共 18 个基本事件.由于每一个 基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示事件“A1 恰被选中”,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1, C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共 有 6 个基本事件. 6 1 因此 P(M)=18=3. (2)用 N 表示事件“B1 和 C1 不全被选中”, 则其对立事件 N 表示 事件“B1 和 C1 全被选中”,由于 N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1), (A3,B1,C1)},事件 N 包含 3 个基本事件,

3 1 所以 P( N )=18=6, 1 5 由对立事件的概率公式得 P(N)=1-P( N )=1-6=6. 20.(本小题满分 12 分)某市为增强市民的环境保护意识,面向 全市征召义务宣传志愿者. 现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名 按年龄分组:第 1 组[20,25),第 2 组[25,30),第 3 组[30,35),第 4 组 [35,40),第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场 的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志 愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率. 解:(1)第 3 组的人数为 0.06×5×100=30,第 4 组的人数为 0.04×5×100=20,第 5 组的人数为 0.02×5×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 30 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为, 第 3 组:60

20 10 ×6=3;第 4 组:60×6=2;第 5 组:60×6=1. 所以应从第 3,4,5 组各抽取 3 人,2 人,1 人. (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2, B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2), (B1,C1),(B2,C1),共 15 种情况. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有 1 名志愿者被抽中的情 况有: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1, B2),(B1,C1),(B2,C1),共 9 种. 9 3 所以第 4 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率为15=5. 21.(本小题满分 12 分)某工厂生产 A,B 两种元件,其质量按测 试指标划分为:大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次品.现从一批 产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下: A B 7 6 7 x 7.5 8.5 9 8.5 9.5 y

由于表格被污损,数据 x,y 看不清,统计员只记得 x<y,且 A, B 两种元件的检测数据的平均数相等,方差也相等. (1)求表格中 x 与 y 的值; (2)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的 概率. 1 解:(1)由题知 x A=5(7+7+7.5+9+9.5)=8, x B=

1 5(6+x+8.5+8.5+y), 由 x A= x B,得 x+y=17.① 1 1 2 2 因为 sA =5(1+1+0.25+1+2.25)=1.1,sB =5[4+(x-8)2+0.25 +0.25+(y-8)2],
2 2 2 由 s2 A=sB,得(x-8) +(y-8) =1.②

? ? ?x=8 ?x=9 ? 由①②解得 或? . ? ? ?y=9 ?y=8

因为 x<y,所以 x=8,y=9. (2)记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1,B2,B3,B4,B5,其中 B2,B3,B4,B5 为正品, 从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下: (B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2, B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5), 记“2 件都为正品”为事件 C, 则事件 C 包含以下 6 个基本事件: (B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5). 6 3 3 所以 P(C)=10=5,即 2 件都为正品的概率为5. 22.(本小题满分 12 分)某园艺师用两种不同的方法培育了一批 珍贵树苗,在树苗 3 个月大的时候,随机抽取甲、乙两种方式培育的 树苗各 20 株,测量其高度,得到的茎叶图如图(单位:cm):

(1)依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大? (2)现从用甲种方式培育的高度不低于 80 cm 的树苗中随机抽取 2 件,求高度为 86 cm 的树苗至少有一株被抽中的概率; (3)如果规定高度不低于 85 cm 的为生长优秀, 请填写下面的 2×2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为树 苗高度与培育方式有关?” 甲方式 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: P(K2≥k0) k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 10.82 8 乙方式 合计

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2

n?ad-bc?2 参考公式:K = ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 解: (1)用甲种方式培育的树苗的高度集中于 50~90 cm 之间, 而 用乙种方式培育的树苗的高度集中于 60~100 cm 之间,所以用乙种 方式培养的树苗的平均高度大. (2)记高度为 86 cm 的树苗为 A,B,其他不低于 80 cm 的树苗为

C,D,E,F.从用甲种方式培育的高度不低于 80 cm 的树苗中随机抽 取 2 株的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F), (B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D, E),(D,F),(E,F),共 15 个. 高度为 86 cm 的树苗至少有一株被抽中所组成的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B, E),(B,F),共 9 个. 9 3 故所求概率 P=15=5. (3)2×2 列联表如下: 甲方式 优秀 不优秀 合计
2

乙方式 10 10 20

合计 13 27 40

3 17 20

40×?3×10-10×17?2 K= ≈5.584>5.024,因此在犯错误的概率 13×27×20×20 不超过 0.025 的前提下,可以认为树苗高度与培育方式有关.


【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:阶段示范性金考卷6

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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:阶段示范性金考卷3

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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:阶段示范性金考卷2

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