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山西省运城市2013届高三上学期期末调研考试数学理试题


山西省运城市 2013 届高三上学期期末调研考试 数学(理)试题
(本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。答案一律写在答题卡上) 一、选择题(本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题意的) 1. 设集合 A ?| x | 2 ? x ? 5|, B ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 |, 则A ? (CR B) = A. (2,3) 2. 若复数 B. (?1, 2) ? (3,5) C. (2,5) ( )

D. (3,5) ( D. ( )

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i 3 A. -6 B.13 C. 2

3


3.等差数列 {an } 的 n 项的和为 Sn ,且 a2013 ? S2013 ? 2013 ,则 a1= A.2012 B. -2012 C.2011 4.为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 5000 人作为样本, 右图是此次调查中的某一项流程图,若输出的结果是 3800, 则身高在 170cm 以下的频率为 ( ) A.0.24 B.0.38 C.0.62 D.0.76 5. 在 ( x ? ) 的展开式中,常数项为(
9

D.-2011

1 x



A. -36 C. -84

B.36 D. 84

6.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
3

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,


为了得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(

? 个单位长度 12 ? C. 向左平移 个单位长度 6
A. 向左平移

? 个单位长度 12 ? D.向右平移 个单位长度 6
B.向右平移

7.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A. 6? ? 14 B. 2 ? -6 C. 6 ? +8

D.6 ? +2

x2 y 2 8.设 F1、F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 的左右焦点,若双曲线上存在一点 P,∠1PF2=90°且 F a b

| PF1 |? 3| PF2 | ,则双曲线的离心率为
A.





5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5 ( )

2 x 9.已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 1 ? 2 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为

10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1,顶点 A、B、C、D 在半球的底面内,顶点 A1、 B1、C1、D1 在半球球面上,则此半球的体积是 ( ) A.

6 ? 2
2

B.

3 ? 2

C. 6?

D.

3 ? 3

11.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l ,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点, 交准线于 C 点, A 在 x 轴上方, l , 点 AK⊥ 垂足为 K, | B | ? B | 若 C 2| F 的面积是 ( ) 且|AF|=4, AKF 则△

A. 4

B. 3 3

C.4 3

D. 8

12.已知函数 f ( x) f ( x ? 6) ? f ( x), 且f ( x) ? ?

??( x ? 2)2 , ?3 ? x ? ?1 ,则 x, ?1 ? x ? 3 ?

f (1) ? f (2) ? ? f (2013) ? (
A.337 B.338

) C. 1677 D.2013

第Ⅱ (共 90 分) 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.由直线 x ? ?

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为



? x ? 4 y ? ?3 ? 14.设 z ? ax ? y , 式中变量 x、y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,若目标函数仅在点(5,2)处取 ?x ? 1 ?
到最大值,则 a 的取值范围是 。 15.如图,正方形 ABCD 的边长为 3,E 为 DC 的中点,AE 与 BD 相交于 F, 则 FD ·DE 的值是

??? ???? ?



16. ABC 中, A、 C 的对边分别为 a, c, 在△ 角 B、 b, 已知 A=

? , a=2,b cos c ? c cos B ? 2 2 , 4

则△ ABC 的面积为 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 1 , an?1 ? , n ? 1, 2,3, …令 bn ? ? 1 3 an ? 1 an

(1)证明:数列 {bn } 是等比数列,并求出数列 {bn } 的通项公式 bn; (2)令 cn ? 2n · n,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 b 18. (本小题满分 12 分) 某校为全面推进新课程改革, 在高一年级开设了研究性学习课程, 某班学生在一次研究 活动课程中,一个小组进行一种验证性实验,已知该种实验每次实验成功的概率为 (Ⅰ )求该小组做了 5 次这种实验至少有 2 次成功的概率;

1 。 2

(Ⅱ )如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验,否则将继续下次实验,但实验 的总次数不超过 5 次,求该小组所做实验的次数 ? 的概率分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥ 平面 ABCD,AF∥ DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°。 (Ⅰ )求证:AC⊥ 平面 BDE; (Ⅱ )求二面角 F-BE-D 的余弦值; (Ⅲ )设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥ 平面 BEF,并证明 你的结论。

20. (本小题满分 12 分) 在 平 面 直 角 坐 标 第 xOy 中 , 已 知 椭 圆 C 的 对 称 中 心 在 坐 标 原 点 , 焦 点

F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,点 P(1,
(1)求椭圆 C 的方程;

3 ) 是椭圆 C 上的一点。 2
1 ) ,点 A 关于 x 4

(2)设直线 L 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点为 M(1, 轴的对称点 A’。求△ A’的外接圆方程。 AB

21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 1nx ? (1)当 a=b=

1 2 ax ? bx 2

1 时,求 f ( x ) 的最大值; 2

(2)令 F ( x) ? f ( x) ? 线的斜率 k ?

1 2 a ax ? bx ? , (0 ? x ? 3), ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切 2 x

1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

(3)当 a=0,b=-1 时,方程 2mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答 时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑。

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线,切点 为 A、M 为 PA 的中点过 M 引圆的一条割线交圆于 B、C 两点且∠ BMP=100°,∠ BPC=40°, 试求 MPB 的大小。

23. (本小题满分 10 分) 极坐标与参数方程 已知直线 l 经过点 p ( ,1) ,倾斜角 a ?

1 2

?
6

,圆 C 的极坐标方程为 p ?

2 cos(? ? ) 4

?

(Ⅰ )写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ )设 l 与圆 C 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。 24. (本小题满分 10)不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 3x ? a | (Ⅰ )若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x | ?

2 4 ? x ? } ,求实数 a 的值。 3 3

(Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,令 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,若不等式 g ( x) ? tm ?11 对一切实 数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。


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