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2013版高考数学一轮复习精品学案:2.11导数及其应用


2013 高考数学一轮复习精品学案:函数、导数及其应用
2.11 导数及其应用
【高考新动向】
一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击 (1)了解导数概念的实际背景 (2)理解导数的几何意义; (3)能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=

1 , y ? x 的导数; x

(4)

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的 复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数。 2、热点提示 (1) 导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不单独命题,而在考查导数应用的同时进行 考查; (2)导数的几何意义是高考重点考查的内容,常与解析几何知识交汇命题,多以选择题和填空题的形式 出现,有时也出现在解答题中关键的一步。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多 项式函数一般不超过三次) ; (2)了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中 多项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 。 (3)会利用导数解决某些实际问题。 2、热点提示 (1)对多项式函数的导数一般要求原函数中 x 的最高次数不超过二次。 (2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题,已成为近几年高考炙手 可热的考点。 (3)选择题、填空题,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值;解答题,侧重于导数与函数、解 析几何、不等式、数列的综合应用,一般难度较大,属于中高档题目。

【考纲全景透析】

一、变化率与导数、导数的计算 1、函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) , ?x ? x2 ? x1 ,?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 则平均变 若 x2 ? x1

化率可表示为

?y 。 ?x

2、函数 y=f(x)在 x=x0 处导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 为 y=f(x)在 x=x0 处导数,记作 ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 )或y? |x ? x0 , 即f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim
(2)几何意义[来源:学_科_网] 函数 f(x)在点 x 处的导数 f ?( x0 ) 的几何意义是在曲线 y=f(x)上点( x0 , f ?( x0 ) )处的切线的斜率。相 应地,切线方程为 y-y0= f ?( x0 ) (x=x0).[来源:学科网] 3、函数 f(x)的导函数 称函数 f ?( x) ? lim
?x0

f ( x ? ?x) ? f ( x) 为函数 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y? ?x

注:求函数 f(x)在 x=x0 处的导数的方法:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) 方法二:先求导函数 f ?( x) ? lim ,再令 x=x0 求 f ?( x0 ) ?x0 ?x
方法一:直接使用定义; f ?( x0 ) ? lim
?x0

4、基本初等函数的导数公式

5、导数运算法则

6、复合函数的导数

? x 即 复合函数 y ? f g ? x ? 的导数和函数 y ? f ?u ? ,u ? g ? x ? 的导数间的关系为 y? ? yu ? u? , y 对 x x
的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。 方法提示: 1. f ?( x0 ) 与 ( f ( x0 ))? 的区别: 在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f ?( x0 ) 与 ( f ( x0 ))? 是不一样的, f ?( x0 ) 代表函数 f ( x ) 在

?

?

x ? x0 处的导数值,不一定为 0;而 ( f ( x0 ))? 是函数值 f ( x0 ) 的导数,而函数值 f ( x0 ) 是一个常量,其导
数一定为 0,即 ( f ( x0 ))? =0。 2.函数求导的原则: 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且 要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算 失误。 3.复合函数的求导技巧 (1)复合函数的求导问题是个难点,要分清中间变量与复合关系; (2)必须正确分析复合函数是由 哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系; (3)复合函数求导法则,像链条一样,

必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的任一环。要防止漏掉一部分或漏掉符号造成错误。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ?( x) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减。 如果 f ?( x) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间上是常数函数。 即如图所示:

注:函数 y ? f ( x) 在(a,b)内单调递增,则 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 是 y ? f ( x) 在(a,b)内单调递增 的充分不必要条件。 2、函数的极值与导数 (1)曲线在极值点处切线的斜率为 0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 f(x) 在点 x0 处连续时,判断 f(x0) 是极大(小)值的方法是: (1)如果在 x0 附近的左侧 f’(x)>0 ,右侧 f’(x) <0 ,那么 f(x0) 是极大值. (1)如果在 x0 附近的左侧 f’(x) <0 ,右侧 f’(x) >0 ,那么 f(x0) 是极小值. 注:导数为 0 的点不一定是极值点 3、函数的最值与导数 函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数 y ? f ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。 4、生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是:

方法提示:

1.导数的应用 (1)导数的应用主要包括以下几个方面:①利用导数研究函数的单调性和单调区间;②利用导数研 究函数极值与最值;③利用导数研究曲线的切线问题;④利用导数研究不等式的证明问题;⑤利用导数研 究函数的零点;⑥利用导数求参数的取值范围等。 (2)在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具 有明显的特征,例如:高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解 决。 2.应用导数求解实际问题的最值 在解决实际问题的最值时,一般情况下,其函数是定义域内的单峰函数,即函数在定义域内只有一个 极值点,此时极大值 好为最大值,极小值即为最小值。

【热点难点全析】
一、变化率与导数、导数的运算 (一)利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接 (1)根据导数的定义求函数 y ? f ( x) 在点 x0 处导数的方法: ①求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x ?y ③得导数 f ?( x0 ) ? lim ,简记作:一差、二比、三极限。 ?x ?0 ?x
②求平均变化率 (2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的 函数值,导数值是常数。 2、例题解析 〖例 1〗求函数 y=

1 的在 x=1 处的导数。 x

解析: ?y

?

1 1 1 ? 1 ? ?x ? ? 1 ? ?x 1 1 ? ?x

?

1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x

?

??x

?

,

?y 1 ?? , ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x

?

?

?y 1 1 ? lim[? ?? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x lim

?

?

1 ? y? |x ?1 ? ? . 2
〖例 2〗一质点运动的方程为 s ? 8 ? 3t 。
2

(1) 求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度; (2) 求质点在 t=1 时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法) 分析(1)平均速度为

?s ; ?t
2

(2)t=1 时的瞬时速度即 s ? 8 ? 3t 在 t=1 处的导数值。 解答: (1)∵ s ? 8 ? 3t
2

∴Δ s=8-3(1+Δ t)2-(8-3×12)=-6Δ t-3(Δ t)2,

v?

?

?s ? ?6 ? 3?t . ?t
?t ?0

(2)定义法:质点在 t=1 时的瞬时速度 v ? lim 求导法:质点在 t 时刻的瞬时速 度

?s ? lim(?6 ? 3?t ) ? ?6 ?t ?t ?0

v ? s?(t ) ? (8 ? 3t 2 )? ? 6t ,当 t=1 时,v=-6×1=-6.
注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移 s 与时间 t 的关系式求导 可得瞬时速度与时间 t 的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,请按照“一差、二比、三极 限”的求导步骤来求。 (二)导数的运算 1、相关链接 (1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数 y ? f ( x) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: ①分析函数 y ? f ( x) 的结构和特征; ②选择恰当的求导法则和导数公式求导; ③整理得结果。

(2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数 的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。 (3)复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合 函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决。 ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量; ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量; ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函 数; ④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程。 2、例题解析 〖例〗求下列函数的导数。

?1? y ? ? 2x 2 ? 1? (3x ? 1)
x2 ? x ?1 x2 ? x ?1 ? 3 ? y ? 3x e x ? 2 x ? e

? 2? y ? ? 4? y ?

[来源:学*科*网]

lnx x2 ?1
5

? 5 ? y ? ? 3 ? 2x ?
得.

思路分析:本题考查导数的有关计算,借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数,可以容易求

解答:(1)方法一:由题可以先展开解析式然后 再求导:y=(2x -1)(3x+1)=6x +2x -3x-1, ∴y′=(6x +2x -3x-1)′ =(6x )′+(2x )′-(3x)′=18x +4x-3. 方法二:由题可以利用乘积的求导法则进行求导: y′=(2x -1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x -1)=12x +4x+6x -3 =18x +4x-3. (2)根据题意把函数的解析式整理变形可得:
2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

x 2 ? x ? 1 x 2 ? x ? 1 ? 2x 2x y? 2 ? ? 1? 2 , 2 x ? x ?1 x ? x ?1 x ? x ?1 2 ? x 2 ? x ? 1? ? 2x ? 2x ? 1? 2x 2 ? 2 ? y? ? ? ? 2 2 x 2 ? x ? 1? ? ? x 2 ? x ? 1?
(3)根据求导法则进行求导可得: y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2 (4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得:

y? ?

(lnx)? ? x 2 ? 1? ? lnx ?? x 2 ? 1? ?

?x

2

? 1?

2

1 2 ? x ? 1? ? lnx ?2x x 2 ?1 ? 2lnx ? ? 1 ? x ? . 2 2 x ? x 2 ? 1? ? x 2 ? 1?
(5)设μ =3-2x,则 y=(3-2x)5 是由 y=μ 5 与μ =3-2x 复合而成,所以 y′=f′μ ·μ ′x=(μ 5)′·(3-2x)′=5μ 4·(-2)=-10μ 4=-10(3-2x)4. 规律总结:一般说来,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式 函数;对数函数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先利用三角函数公式转化为和或差的 形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层,直到求到最里层 为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.

(三)导数的几何意义 【例】已知曲线 y ?

1 3 4 x ? , 3 3

(1) 求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2) 求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3) 求斜率为 4 的曲线的切线方程。 思路分析: “该曲线过点 P(2,4)的切线方程”与“该曲线在点 P(2,4)处的切线方程”是有区别的: 过点 P(2,4)的切线中,点 P(2,4)不一定是切点;在点 P(2,4)处的切线,点 P(2,4)是切点. 解答: (1)? P(2, 4)在曲线 y ?

1 3 4 x ? 上,且 y? ? x 2 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y? |x ? 2 =4; ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y ?

1 3 4 1 4 x ? 与 过 点 P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点 A (x0 , x0 3 ? ) 则 切 线 的 斜率 , 3 3 3 3

1 4 2 3 4 2 2 ,即 y ? x0 ?x ? x0 ? k ? y? |x?x0 ? x02 ,∴切线方 程为 y ? ( x0 3 ? )= x0 ( x - x0 ) 3 3 3 3 2 3 4 3 2 3 2 2 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2 x0 2 ? x0 ? ,即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0 ,∴ x0 ? x0 ? 4x0 ? 4 ? 0 , 3 3
∴(x0+1)(x0-2)2=0 解得 x0=-1 或 x0=2 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0) 则切线的斜率为 k=x02=4, x0=±2.切点为(2,4)(-2,-4/3) , ∴切线方程为 y-4=4(x-2)和 y+4/3=4(x+2) 即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0 注: (1)求函数 f(x)图象上点 P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 k, 由导数 的几何意义知 k=f′(x0),故当 f′(x0)存在时,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)要深入体会切线定义中的运动变化思想:①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重 合(切点);②割线→切线. (3)可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数表示曲线在点 P(x0,f(x0)) 处切线的斜率,因此,曲线 y=f(x )在点 P(x0,f(x0))处的切线方程,可按如下方式求得: 第一,求出函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; 第二,在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程 y=y0+f′(x0)(x-x0);如果曲线 y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)时,由切线的定义 可知,切线的方程为 x=x0.

二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例 (一)利用导数研究函数的单调性 1、相关链接 (1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法,如下图:

即: ①确定函数 f(x)的定义域;[来源:Zxxk.Com] ②求 f’(x) ,令 f’(x)=0,求出它们在定义域内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间。 ④确定 f’(x)在各个开区间内的符号,根据 f’(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 [来源:学科网] 注:当 f(x)不含参数时,也可通过解不等式 f’(x)>0(或 f’(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间。 (2)证明可导函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 ①求 f’(x); ②确认 f’(x)在(a,b)内的符号; ③作出结论:f’(x)>0 时为增函数;f’(x)<0 时为减函数。 (3)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应注意函数 f(x)在(a,b)上递增(或递减)的 充要条 件应是 f’(x)≥0(或 f’(x)≤0) ,x∈(a,b)恒成立,且 f’(x) 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0,这就 是说,函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f’(x) =0,甚至可以在无穷多个点处 f’(x0) =0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析

1 〖例〗 】(2011·北京模拟)若函数 f(x)=lnxax -2x 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. 2
2

思路解析:函数 f(x)存在单调减区间,就是不等式 f′(x)≤0 有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+ ∞),所以本题就是要求 f′(x)≤0 在(0,+∞)上有实数解. 解答: f′(x)=

1 -ax-2= ax 2 ? 2x ? 1 .因为函数 f(x)存在单调递减区间,所以 f′(x)≤0 有解.又因 ? x x

为函数的定义域为(0,+∞),则 ax2+2x-1≥0 在 x∈(0,+∞)内有解.

(1)当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0,总可以找到 x>0 的解;[来源:Zxxk.Com] (2)当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,要使 ax2+2x-1≥0 总有大于 0 的解,则Δ =4+4a≥0 且方程 ax2+2x-1=0 至少有一个正根,此时-1≤a<0. (3)当 a=0 时,显然符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是[-1,+∞).

(二)利用导数研究函数的极值与最值 1、相关链接 (1)求函数 f(x)极值的步骤

即: ①确定函数 f(x)的定义域; ②求导数 f’(x); ③求方程 f’(x)=0 的根。 ④检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点(最好通过列表法) 。如果左正右负,那么 f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果 f’(x)在点 x0 的左右两侧符号 不变,则 f(x0)不是函数极值。 (2)可导函数极值存在的条件 ①可导函数的极值点 x0 一定满足 f’(x0)=0,但当 f’(x0)=0 时,x0 不一定是极值点。如 f(x)=x3,f’(0)=0,但 x=0 不是极值点。 ②可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f’(x)=0,且在 x0 左侧与右侧 f’(x0)的符号不同。 (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是

最小值。 ③根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b),内可导的函数的最值时,可将过程简化, 即不用判断使 f’(x)=0 成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可 判定最大(小)值。 ④定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点。 2、例题解析 〖例 1〗已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+5,记 f(x)的导数为 f′(x). (1)若曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x=

2 时,y=f(x)有极值,求函数 f(x)的解析式. 3

(2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值. 思路解析:在求解(1)时,可以通过切线斜率和极值点求得 a,b 的值,从而求得函数的解析式.在求 解(2)时只需要列出极值变化表,对比区间端点值求得最值即可. 解答:

(1)由题意,得

解得

,所以

(2)由(1)知,

令 当 x 变化时,

,得 的变化情况如表:





上的最大值为 13,最小值为-11.

〖例 2〗已知函数

f ? x ? ? x | x2 ? a |,a ? R.

(1)当 a ? 0 时,求证函数 (2)当 a=3 时,求函数 解答:(1) a ? 0 时,

f ? x ? 在? ??, ???

上是增函数;

f ? x?

在区间[0,b]上的最大值。 故
f ? x?

f ? x ? ? x ? x2 ? a ? ? x3 ? ax,因f ? ? x ? ? 3x2 ? a ? 0

在 R 上是增函数。(4 分)

? x3 ? 3x x ? 3 ? f ? x ? ? x | x ? 3 |? ? ?3x ? x3 0 ? x ? 3 ? (2) a ? 3 时,
2

? ?

?

?

f x ? 3x ? x3 ,由f ? ? x ? ? 3 ? 3x2 ? 0 ①若 0 ? b ? 3 时, ? ? 得: x ? 1

(Ⅰ)若 0 ? b ? 1 时,

f ? ? x ? ? 0, f ? x ?

在[0,b]上单增,故

f ? x ?max ? f ?b ? ? 3b ? b3 ,

f ? x ?max ? f ?1? ? 2 0 ? x ? 1, f ? ? x ? ? 0;1 ? x ? b, f ? ? x ? ? 0. (Ⅱ)若 1 ? b ? 3 时,因 故 .
f ? x ? ?0, 3 ? ? 上的最大值为 2,下求 f ? x ? 在 ②若 b ? 3 时,由①知 在?

?

3,b? ?

上的最大值,因

f ? ? x ? ? 3x 2 ? 3 ? 0

,故

f ? x ?max

?b3 ? 3b ? b ? 2 ? 2 ? b3 ? 3b ? 2 ? ? b ? 1? ? b ? 2 ? ? ? ? f ?b ? ? b3 ? 3b. ? 0 ? b ? 2? ?2 ? 又

f ? x ?max

综合①、② 知:

?b3 ? 3b ? b ? 2 ? ? ? ?2 ?1 ? b ? 2 ? ? 3 ?3b ? b ? 0 ? b ? 1?

(12 分)

(四)利用导数解决实际生活中的优化问题 1、相关链接 利用导数解决生活中的优化问题时: (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还要注意确定函数关系式中自变量的定义区 间. (2)一定要注意求得函数结果的实际意义,不符合实际的值应舍去. (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点. 2、例题解析 〖例〗某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区. 已知 AB⊥BC,OA∥BC,且 AB=BC=2AO=4 km,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使 矩形的相邻两边分别落在 AB,BC 上,且一个顶点落在曲线段 OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用 地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km ).
2

思路解析:矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段 OC 上的具体位置有关,因此应设法将落在 OC 上的点用一个变量表示出来,然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积,而要设出相应的变量,则应首 先建立直角坐标系. 解答:以 O 点为坐标原点,OA 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系(如图所示),

依题意可设抛物线为 y2=2px(p>0)且 C(4,2). ∴22=2p·4,∴p= 1 ,故所设抛物线方程为 y2=x(0≤x≤4).

2
设 P(x,
x )(0≤x≤4)是曲线段 OC 上的任意一点,则在矩形 PQBN 中,|PQ|=2+ x ,|PN|=4-x,所以

工业区的面积为 S=|PQ|·|PN|=(2+ x )(4-x)

= ? x 2 -2x+4 x 2 +8,

3

1

∴S′=

3 ? x 2

1 2 -2+2

x

?

1 2



令 S′=0,得 3x+4 x 2 -4=0,( x 2 +2)(3 x 2 -2)=0,∴x= 4 .

1

1

1

9
故当 x∈[0,

4 )时,S′>0,S 是关于 x 的增函数; 9

当 x∈[ 4 ,4]时,S′<0,S 是关于 x 的减函数,

9
∴x= 4 时,S 取得最大值,

9

8 ,|PN|=4-x= 32 , 3 9 8 32 256 ≈9.5,∴S ≈9.5(km2). ∴S= ? ? max 3 9 27 8 ∴把工业园规划成长为 32 km,宽为 km 的矩形,工业园的面积最大,最大面积约为 9.5 3 9
此时|PQ|=2+ x =

km2.

注:①生活中的优化问题,往往涉及到函数的最值,求最值可利用单调性,也可直接利用导数求最 值,要掌握求最值的方法和技巧。 ②在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定 义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大(小) 值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点也就是最值点。

【高考零距离】
1、 (2012·辽宁高考文科·T12) 已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两 切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C)

?4

(D)

?8

【解题指南】由已知求出切点 P,Q 的坐标,进而求出斜率,利用点斜式写出两条切线方程,求出交点 A 的纵坐标 【解析】 C.由于 P,Q 为抛物线 x 2 ? 2 y(即 y ? 选
1 2 8 ,) , 上的点, 且横坐标分别为 4, 则 P4 ( 2 Q ? -2, () 2 x ) 2



从而在点 P 处的切线斜率 k1 ? y? x ?4 ? 4 ,据点斜式,得曲线在点 P 处的切线方程为 y ? 8 ? 4( x ? 4) ;同理, 曲线在点 Q 处的切线方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 2) ;上述两方程联立,解得交点 A 的纵坐标 ?4 2、 (2012·新课标全国高考文科·T13)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 【解题指南】 通过求导得切线斜率,一点一斜率可确定切线方程,最后将方程化为一般式。

y? |x ?1 ? 4 ,所以曲线在点 ?1,1? 处的切线方程为 y ?1 ? 4 ? x ?1? ,化为一 ? 【解析】 y ? 3ln x ? 4 ,故
般式方程为 4 x ? y ? 3 ? 0 . 答案: 4 x ? y ? 3 ? 0

3、 (2012·山东高考文科·T22)已知函数 f ( x) ? 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828?是自然对数的底数), ex

(Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 【解题指南】 (1)由曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行可知 f ??1? ? 0 即可求出 k 的 值.(2)可由 1 的结论求解判断单调区间.(3)构造函数法求解 g ( x) ? xf ?( x) 的最值.
1 ? ln x ? k 【解析】)(I) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .[来源:学&科&网] (III)由(II)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . 4、 (2012·广东高考文科·T21) 设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? {x ? R | x ? 0}, B ? {x ? R | 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0}, D ? A ? B . (1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 【解题指南】 (1)解本题的关键是确定集合 B,构造 g ( x) ? 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ,

因为 ? ? 9(1 ? a)2 ? 4 ? 2 ? 6a ? (3a ? 9)(3a ?1) ,因为 a ? 1 ,所以 3a-9<0,方了便于比较 g(x)=0 的根与 0 的大小关系,按 a ? 0, a ? 0, 0 ? a ?

1 1 , ? a ? 1 分四类进行讨论。 3 3

(2)因为 f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) , a ? 1 , 所以由(1)知, a ? 0 时, f ( x ) 在 D 内无极值点。 然后分别 0 ? a ?

1 1 和 ? a ? 1 时, f ( x ) 的极值即可. 3 3

【解析】(1)令 g ( x) ? 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a

? ? 9(1 ? a)2 ? 4 ? 2 ? 6a ? 9a2 ? 30a ? 9
a ? 0 时, ? ? 0 ,方程 g ( x) ? 0 有两个不等实根,又 g (0) ? 6a ? 0

g (1) ? 3a ? 1 ? 0,

? x1 ?

3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? 0 , x2 ? ?1 4 4 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 或x ? } 4 4 [来源:Zxxk.Com]

? B ? {x | x ?

3 a ? 0 时,? B ? {x | x ? 0或x ? } 2 1 0 ? a ? 时, ? ? 0, g (0) ? 6a ? 0, g (1) ? 3a ? 1 ? 0, g (a) ? a(3 ? a) ? 0 3

? x1 ? (a,1), x2 ? (1, ??)

? B ? {x | x ?

3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 或x ? } 4 4

1 a ? 时, ? ? 0, B ? {x | x ? 1} . 3 1 ? a ? 1 时, ? ? 0, B ? R 3

? A ? {x ? R | x ? 0}, D ? A ? B ,
综上得 a ? 0 时, D ? {x | x ?

3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 } 4

1 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 0 ? a ? 时, D ? {x | 0 ? x ? 或x ? } 3 4 4

1 a ? 时, D ? {x | x ? 0且x ? 1} 3 1 ? a ? 1 时, D ? {x | x ? 0}. 3
(2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a)

?a ?1

? f ( x) 在 (??, a),(1, ??) 上是增函数,在 (a,1) 是减函数,
由(1)知, a ? 0 时, f ( x ) 在 D 内无极值点。

0?a?

1 时, f ( x ) 在 D 内有极大值点 x=1,无极小值点。 3

1 ? a ? 1 时, f ( x) 在 D 内有极大值点 x ? a ,极小值点 x ? 1 。 3
3 2 5、 (2011·广东高考理科·T12)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ?

处取得极小值.

【思路点拨】先求导函数的零点,然后通过导数的正负分析函数的增减情况,从而得出取得极值的 时刻. 【精讲精析】答案:2
2 由 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 0 解得 x ? 0 或 x ? 2 ,列表如下:

x

??? ,0 ?
0

?0,2 ?
2

?2,?? ?

f ?(x )

+
f (x)

极 极 减 小值

+

增 大值
? 当 x ? 2 时, y 取得极小值.



f ( x) ?
6、 (2011·安徽高考理科·T16)设

ex 1 ? ax 2 ,其中 a 为正实数

(Ⅰ)当 a

?

4 3 时,求 f ( x) 的极值点;

(Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 【思路点拨】 (Ⅰ)直接利用导数公式求导,求极值. (Ⅱ)求导之后转化为恒成立问题.

【精讲精析】对 f (x) 求导得,

f ?( x) ? e x

1 ? ax2 ? 2ax . (1 ? ax2 ) 2

4 3 1 a ? 时, x ? ,x ? f ?( x) ? 0 ,则 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 .解得 1 2 2 2 , 3 (Ⅰ)当 令
列表得

x

1 (?? , ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2


3 2
0 极小值

?3 ? ? ,?? ? ?2 ?
+ ↗

f ?(x) f (x)
x1 ?

所以,

3 1 x2 ? 2 是极小值点, 2 是极大值点.

? (Ⅱ) f (x) 为 R 上的单调函数, f (x ) 在 R 上不变号, 若 则 结合
2

f ?( x) ? e x

1 ? ax2 ? 2ax (1 ? ax2 ) 2 与条件 a>0,

2 知 ax ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0. 由此并结合 a>0,知 0 ? a ? 1 .
1 ? ? ? a, a 2 ? ? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面 7、 (2010 全国卷 2 理数) (10)若曲线 y ? x 在点 ?

1 ? 2

积为 18,则 a ? (A)64 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求 导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考 生的计算能力.
1 ? 1 ?3 1 ?3 1 ?3 3 ?1 y ' ? ? x 2 ,? k ? ? a 2 y ? a 2 ? ? a 2 ( x ? a) y? a 2 2 2 2 2 【解析】 ,切线方程是 ,令 x ? 0 , ,

(B)32

(C)16

(D)8

1 3 ?1 s ? ? 3a ? a 2 ? 18 2 2 令 y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是 ,解得 a ? 64 .故选 A.

【考点提升训练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.曲线 y=

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x?2

)

(A)y=2x+1 (C)y=-2x-3

(B)y=2x-1 (D)y=-2x-2
2

2.(2012·宿州模拟)若 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(0)等于( (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4

)

3.y=sinx+tcosx 在 x=0 处的切线方程为 y=x+1,则 t 等于( (A)1 (B)2
3

)

(C)-1
2

(D)0 )

4.已知函数 f(x)=x +bx +cx+d 在区 间[-1,2]上是减函数,那么 b+c(

15 15 (B)有最大值2 2 15 15 (C)有最小值 (D)有最小值2 2 1 x ? 5.函数 f(x)= e (sinx+cosx)在区间[0, ]上的值域为( 2 2
(A)有最大值 (A)[

)

1 1 ? , e2 ] 2 2
?

(B)(

1 1 ? , e2 ) 2 2
?

(C)[1, e 2 ]

(D)(1, e 2 ) )

6.(易错题)已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解集为(

1 1 )∪( ,2) 2 2 1 (B)(-∞,0)∪( ,2) 2 1 1 (C)(-∞, ) ∪( ,+∞) 2 2 1 (D)(-∞, )∪(2,+∞) 2
(A)(-∞, 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·哈尔滨模拟)等比数列{an}中,a1=1,a2 012=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a2 012),则函数 f(x) 在点(0,0)处的切线方程为________. 8.已知函数 f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数 a 的取值范围是________.

9.(2012·龙岩模拟)已知α 、β 是三次函数 f(x)= x ?
3

1 3

1 2 ax ? 2bx (a,b∈R)的两个极值点,且α 2

∈(0,1),β ∈(1,2),则

b?2 的取值范围是______. a ?1

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知函数 f(x)满足如下条件:当 x∈(-1,1]时,f(x)=ln(x+1),且对任意 x∈R,都有 f(x+2)=2f(x)+1. (1)求函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求当 x∈(2k-1,2k+1],k∈N 时,函数 f(x)的解析式. 11.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千 克)满足关系式 y= 该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【探究创新】[来源:学科网 ZXXK] (16 分)某造船公司年最大造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)= 3 700x+45x -10x (单位:万元),成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元),又在经济学中,函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
2 3 *

a 2 +10(x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出 x ?3

答案解析 1.【解析】选 A.因为 y′=

2

? x ? 2?

2

,所以,在点(-1,-1)处的切线斜率

k=y′|x=-1=

2

? ?1 ? 2?

2

=2,所以,切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1,故选 A.

2.【解题指南】对 f(x)求导时要注意到 f′(1)为常数,先求出 f′(1),再求 f′(0). 【解析】选 D.f′(x)=2f′(1)+2x,∴令 x=1,得 f′(1)=-2,∴f′(0)=2f′(1)=-4. 3.【解析】选 A.∵y′=cosx-tsinx,当 x=0 时,y= t,y′=1, ∴切线方程为 y=x+t,比较可得 t=1. 4.【解析】选 B.由 f(x)在[-1,2]上是减函数,知 2 f′(x)=3x +2bx+c≤0,x∈[-1,2],

则?

?f ? ? ?1? ? 3 ? 2b ? c ? 0 ? ? ?f ? ? 2 ? ? 12 ? 4b ? c ? 0 ?

15 . 2 1 x 1 x x 5.【解析】选 A.f′(x)= e (sinx+cosx)+ e (cosx-sinx)=e cosx,[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 2 2 ? 当 0<x< 时,f′(x)>0, 2 ? ∴f(x)是[0, ]上的增函数. 2
15+2b+2c≤0?b+c≤-

? 1 ? ∴f(x)的最大值为 f( )= e 2 , 2 2
f(x)的最小值为 f(0)=

1 . 2

∴f(x)的值域为[

1 1 ? , e 2 ]. 2 2
1 1 )和(2,+∞)上大于 0,在( ,2)上小 2 2

6.【解析】选 B.由 f(x)图象的单调性可得 f′(x)在(-∞, 于 0, ∴xf′(x)<0 的解集为(-∞,0)∪(

1 ,2). 2

7.【解析】f′(x)=(x-a1)(x-a2)?(x-a2 012)+x·(x-a2)(x-a3)? (x-a2 012)+x(x-a1)(x-a3)?(x-a2 012)+?+x(x-a1)(x-a2)?(x-a2 011), 1 006 2 012 ∴f′(0)=(-a1)·(-a2)? (-a2 012)=(a1a2 012) =2 , 2 012 ∴切线方程为 y=2 x. 2 012 答案:y=2 x 【变式备选】已知函数 f(x)= x ,g(x)=alnx,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有 相同的切线,求 a 的值及该 切线的方程. 【解析】f′(x)=

1 2 x

,g′(x)=

a (x>0), x

? x ? alnx 1 ? 2 由已知得: ? 1 解得 a , a= e,x=e . 2 ? ? ?2 x x
∴两条曲线交点的坐标为(e ,e),
2

1 , 2e 1 2 所以切线的方程为 y-e= (x-e ), 2e
切线的斜率为 k=f′(e )=
2

即 x-2ey+e =0.

2

8.【解析】∵f(x)=alnx+x,∴f′(x)= 又∵f(x)在[2,3]上单调递增, ∴

a +1. x

a +1≥0 在 x∈[2,3]上恒成立, x

∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞). 答案:[-2,+∞) 9.【解析】f′(x)=x +ax+2b,由题意知,方程 f′(x)=0 有两根α 、β ,一根 α ∈(0,1),另一根β ∈(1,2),
2

?f ? ?1? ? 0 ?1 ? a ? 2b ? 0 ? ? ∴ ?f ? ? 0 ? ? 0 ? ?2b ? 0 , ? ?2a ? 2b ? 4 ? 0 ?f ? ? 2 ? ? 0 ? b?2 1 , 结合线性规划得 z 的取值范围为( ,1). 设z ? a ?1 4 1 答案:( ,1) 4
10.【解析】(1)x∈(-1,1]时,f(x)=ln(x+1),f′(x)=

1 , x ?1

所以,函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为 y-f(0)=f′(0)(x-0),即 y=x. (2)因为 f(x+2)=2f(x)+1, * 所以,当 x∈(2k-1,2k+1],k∈N 时,x-2k∈(-1,1], 2 f(x)=2f(x-2)+1=2 f(x-4)+2+1 3 2 =2 f(x-6)+2 +2+1=? k k-1 k-2 =2 f(x-2k)+2 +2 +?+2+1 k k =2 ln(x-2k+1)+2 -1. 11.【解析】(1)因为 x=5 时 y=11, 所以

a +10=11,所以 a=2; 2 2 2 +10(x-6) , x ?3

(2)由(1)知该商品每日的销售量 y=

所以商场每日销售该商品所获得的利润: f(x)=(x-3)[

2 2 2 +10(x-6) ]=2+10(x-3)(x-6) ,3<x<6; x ?3
2

从而 f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),令 f′(x)=0 得 x=4, 函数 f(x)在(3,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【探究创新】 3 2 * 【解析】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3 240x-5 000(x∈N ,且 1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x) 2 * =-30x +60x+3 275 (x∈N ,且 1≤x≤19). 2 (2)P′(x)=-30x +90x+3 240 =-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴P′(x)=0 时,x=12, 当 0<x<12 时,P′(x)>0,

当 x>12 时,P′(x)<0, ∴x=12 时,P(x)有极大值,也是最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. 2 2 (3)MP(x)=-30x +60x+3 275=-30(x-1) +3 305. 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减, * 所以单调减区间为[1,19] ,且 x∈N . MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少.


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