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数学:第一章《弧度制》课件(北师大版必修4)


目标:
?1、理解并掌握弧度制的定义, ?2、能进行角度与弧度之间的换算。 ?3、能用弧度制解决简单的问题

温故而知新
? 1、角度制的定义 ? 规定周角的1/360为1度的角这种用度做单位来 度量角的制度叫角度制。 n° 1°

l

R

2、弧长公式及扇形面积公式

nπR l= ——— 180

S= ———
360

2 nπR

讲授新课
1、弧度制
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。 B l=r 设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= =1 弧度 1弧度 r A O r

若l=2r,

若l=2 π r,
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度

则∠AOB=

B
2弧度

O r

A

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r

l = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B

r

A

-3弧度
l=3r

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱α︱=

l r

其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

2、弧度与角度的换算
若l=2 π r,
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°

l=2 π r

O

r

A(B)

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

由180°= 1°=

π 弧度 还可得

π 弧度 ≈ 0.01745弧度 ——
180

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

π

3、例题
例1. 把下列各角化成弧度
(1) 67 °30'

(3) 75 °
(5) 300 °

(1)3π (2) 120 ° 8 (3)5π (4) 135 ° 12 (6) - 210 °5)5 π ( 3

3 (4)3π 4 (6) ?7π 6

(2) 2π

例2: 把下列各弧度化成度.
3π (1) 5

(2) 12 (4)
? 5π 6

π

(1)108o (2)15o (3)-144o (4)-150o

4π (3) ? 5

1、对于一些特殊角的度数与弧度数 注:

之间的换算要熟记。
30 ° 45 ° 60 °

度 弧 度



90 °

180 °

270°

360°

0

π
6

π 4

π 3

π 2

π

3 π 2π 2

2、用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”二字 通常省略不写,但用“度”(°)为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时,通常写成“多少π”的形式。

例3、把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式: 16? 11? ? (1) ;(2)? 315 ;(3) ? .(4) ? 8 3 7 16? 4? (1): ? 4? ?
3
(2): ? 315 ? ?
0

3 7?
4

? ?2? ?

?
4

11? 3? (3): ? ? ?2? ? 7 7

(4) ? 8 ? ?4? ? (4? ? 8)

例4
(1)

?

试判断下列各角所在的 . 象限
( 2)
(5)

5

(4) 1

11? 5 4

2000 ( 3) ? ? 3 ( 6) ? 8

(1)

?
5 11? 5

?0 ?

?
5

?

?
2

?

?
5

是第一象限角 .

( 2)

11? ? 11? ? ? 2? ? ? 是第一象限角 . 5 5 5

2000 2000 4? ( 3) ? ? ?? ? ? ?668? ? 3 3 3 4? 3? 2000 又 ?? ? ? ?? ?是第三象限角 . 3 2 3

例4

试判断下列各角所在的 . 象限
?0 ? 1 ?

(4) 1

?
2

(?? ? 3.1 4 ?

?
2

? 1.57)

? 1是第一象限的角 . 3 ?? ? 4 ? ? (5) 4 2 ? 4是第三象限的角 . (6) ? 8 分析 : 由于? ? 3.14, 得 ? 2? ? ?6.28 , ? 4? ? ?12.56.而 ? 8介于两数之间. ? ?8 ? ?4? ? (4? ? 8) 3 又 ?? ? 4? ? 8 ? ? 2 ? ? 8是第三象限的角 .

解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , 2 一般是将其化成?? ? ? (? ? ? )的形式, 然 后再根据 所在象限予以判断 ? . 注意: 不能写成(2? ? 1)? ? ? (? ? ? ) 的形式. 10 ? 例 3 ?不能写成 3? ? 3 的形式, 4? 而应写成 2? ? 3

4、圆的弧长公式及扇形面积公式 由︱α︱=
l

l r


r
α

=︱α ︱r 1 S =—lr 2 1 = —︱α ︱r2 2

l

O

8 例5 已知扇形的周长为cm, 面积为4cm ,
2

求该扇形的圆心角的弧 . 度数
R 解 : 设扇形半径为 , 弧长为L, 则由 L 2R ? L ? 8
1 LR ? 4 2

?

R

解得 R ? 2 L ? 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为 ?
L 4 ?2 ?? ? R 2

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

练习、下列角的终边相同的是( B ).
? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3

k? ? 与 k? ? ,k ? Ζ C. 2 2
D.

?2k ?1?? 与 3k?,k ? Ζ

练习 如图,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

450
0 (1) y

x?

?? | 2?? ? ?

?
4

? ? ? 2?? ?

?
2

? (? ? ?)? ?

45
0 (2)

0

x

? ? ? ?? | ?? ? ? ? ? ?? ? 4 2 ?

? (? ? ?)? ?

练习 已知

则:

A ? B ? ?? | ?6 ? ? ? ? ?, 或0 ? ? ? ??

A ? ?? | 2?? ? ? ? (2k ? 1) ? ( ? ? ?)? B ? ?? | ?6 ? ? ? 6?

解 : 如图
? 2? ? 6

??

0

?

6 2?

当? ? ?2,?3,?时, 或当? ? 1,2,?时, 已超出 ( ?6,6)的范围 .

小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式:

l ? ? ?r

1 1 2 扇形面积公式: ? lr ? r ? S 2 2 ? ? (其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数) l

例3

写出满足下列条件的角的集合(用弧度制):

1、 终边与X轴正半轴重合;
2、 终边与X轴负半轴重合; 3、 终边与X轴重合;

?? | ? ? 2?? (? ? ? )? ?? | ? ? 2?? ? ? (? ? ? )?

? ? ?? | 2?? ? ? ? 2?? ? 2 7、第一象限内的角; ? ? ? ? | 2?? ? ? ? ? 2?? ? ? 8、第二象限内的角; ? 2 ? 3? ? ?? | 2?? ? ? ? ? ? 2?? ? 2 9、第三象限内的角; ? 3? ? ? | 2?? ? ? ? ? 2?? ? 2? 10、第四象限内的角; ? 2 ?

(? ? ? )? ? ? ? ? | ? ? 2?? ? (? ? ? )? ? 4、 终边与Y轴正半轴重合; 2 ? ? 3? ? ? ? | ? ? 2?? ? (? ? ? )? ? 5、 终边与Y轴负半轴重合; 2 ? ? ? ? ? (? ? ? )? ? ? | ? ? ?? ? 6、 终边与Y轴重合; 2 ? ?

?? | ? ? ? ? ?

? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ?
? (? ? ? )? ?


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