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武汉华英艺考生文化课百日冲刺:任意角的三角函数


武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 任意角的三角函数

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教学目标: 理解并掌握任意角三角函数的定义,理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号,理解三角函数是以实数为自 变量的函数,掌握正弦、余弦、正切函数的定义域;使学生通过任意角三角函数的定义,认识锐角三角函数是任意 角三角函数的一种

特例,加深特殊与一般关系的理解. 教学重点: 任意角三角函数的定义,正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学难点: 正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学过程: Ⅰ.课题导入 在初中我们学习了锐角三角函数,它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,前面我们对角的概念 进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三 角函数. Ⅱ.讲授新课 对于锐角三角函数,我们是在直角三角形中定义的,今天,对于任意角的三角函数,我们利用平面直角坐标系 来进行研究. 设α 是一个顶点在原点,始边在 x 轴正半轴上的任意角,α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y)(非顶点).它 与原点的距离是 r(r= x2+y2 >0) 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的正半轴重合. (2)OP 是角α 的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角α 是任意的. (3)角α 的终边只要不落在坐标轴上,就只能是象限角. (4)角α 的终边不是不能落在坐标轴上,而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形,我们将在研究问题的过程中 对其进行讨论. 那么,(1)比值 (2)比值 (3)比值 y y 叫做α 的正弦,记作 sinα ,即 sinα = . r r

x x 叫做α 的余弦,记作 cosα ,即 cosα = . r r y y 叫做α 的正切,记作 tanα ,即 tanα = . x x

以上三种函数统称为三角函数. 确定的角α ,它的终边上任意一点 P 的坐标都是变量,它与原点的距离 r 也是变量,这三个变量的三个比值究 竟是确定的还是变化的? 根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上确定的角α ,上述三个比值都不会随 P 点在α 的终边上的位置 π 的改变而改变.当角α 的终边在纵轴上时,即α =kπ + (k∈Z)时,终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0,所以 tan 2 α 无意义,除此之外,对于确定的角α ,上面的三个比值都是唯一确定的实数,这就是说,正弦、余弦、正切都是 以角为自变量,以比值为函数值的函数. 注意:(1)sinα 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余两个符号也是这样. (2)定义中只说怎样的比值叫做α 的什么函数,并没有说α 的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外),即函数 的定义与α 的终边位置无关. (3)比值只与角的大小有关. 我们已经给出了任意角三角函数的定义,请同学们考虑并比较一下,我们给出的任意角的三角函数的定义与锐 角三角函数的定义,有什么联系与区别? 正弦函数值是纵坐标比距离,余弦函数值是横坐标比距离,正切函数值是纵坐标比横坐标. 由于角的集合与实数集 R 之间是一一对应的,所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道,函
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数有三个要素,即定义域、值域、对应法则,下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域,值域问题待后再 作研究. y y y 对于正弦函数 sinα = ,因为 r>0,所以 恒有意义,即α 取任意实数, 恒有意义,也就是说 sinα 恒有意 r r r y y 义,所以正弦函数的定义域是 R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数 tanα = ,因为 x=0 时, 无 x x y 意义,即 tanα 无意义,又当且仅当角α 的终边落在纵轴上时,才有 x=0,所以当α 的终边不在纵轴上时, 恒有 x π 意义,即 tanα 恒有意义,所以正切函数的定义域是α ≠kπ + (k∈Z). 2

为了几何表示的需要,我们先来看单位圆的概念:以原点为圆心,单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如 1 cm、1 dm、1m、1 km 等等,都是 1 个单位长,它们的单位虽不同,但长度都是 1 个单位长.即单位圆的半径是 1(个 单位长). 在平面直角坐标系内,作单位圆,设任意角α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交 于点 P(x,y) 轴的正半轴与单位圆相交于 A(1,0) ,x ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M;过 A 作单位圆的切线,这 条切线必平行于 y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α 的终边或其反向延长线交于点 T. 显然,线段 OM 的长度为|x|,线段 MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值. 当角α 的终边不在坐标轴上时,我们可以把 OM、MP 都看作带有方向的线段。 如果 x>0,OM 与 x 轴同向,规定此时 OM 具有正值 x;如果 x<0,OM 与 x 轴正向相反(即反向),规定此时 OM 具有负值 x,所以不论哪一种情况,都有 OM=x. 如果 y>0,把 MP 看作与 y 轴同向,规定此时 MP 具有正值 y;如果 y<0,把 MP 看作与 y 轴反向,规定此时 MP 具有负值 y,所以不论哪一种情况,都有 MP=y,由上面所述,OM、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带 有方向的线段叫做有向线段(即规定了起点和终点) ,把它们的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫做有向线 段的数量,记为 AB 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有 sinα = cosα = y y = =y=MP r 1 x x = =x=OM r 1

这两条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 分别叫做角α 的正弦线、余弦线. 类似地,我们把 OA、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的 知识,就有 tanα = y AT = =AT x OA

这条与单位圆有关的有向线段 AT,叫做角α 的正切线. 注意:(1)当角α 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在. (2)当角α 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线都变成点. (3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆. (4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;
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或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与 x 轴的公共点为起点. (5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同. 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. Ⅲ.例题分析 [例 1]已知角α 的终边经过点 P(2,-3)(如图),求α 的三个三角函数值. 解:∵x=2,y=-3 ∴r= 22+(-3)2 = 13 -3 y 3 13 于是 sinα = = =- x 13 13 x 2 2 13 cosα = = = r 13 13 tanα = y 3 =- x 2 3π 2

[例 2]求下列各角的三个三角函数值. (1)0 (2)π (3)

解:(1)因为当α =0 时,x=r,y=0,所以 sin0=0 cos0=1 tan0=0 (2)因为当α =π 时,x=-r,y=0,所以 sinπ =0 cosπ =-1 tanπ =0 3π (3)因为当α = 时,x=0,y=-r,所以 2 sin 3π =-1 2 cos 3π =0 2 3π tan 不存在 2

Ⅳ.课堂练习 课本 P16 练习 1、2、3. Ⅴ.课时小结 任意角三角函数的定义,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,单位圆的概念,有向线段的定义,正弦线、 余弦线、 正切线的定义, 这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段, 其之所以特殊, 一是其与坐标轴平行(或重合), 二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示. Ⅵ.课后作业 课本 P23 习题 1、2、3.

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任意角的三角函数(一)
1.sin1、cos1、tan1 的大小关系是 ( A.tan1<cos1<sin1 B.sin1<cos1<tan1 C.sin1<tan1<cos1 D.cos1<sin1<tan1 2.已知角α 的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段,则α 的终边在( A.第一象限角平分线上 B.第二象限角平分线上 C.第二或第四象限角平分线上 D.第一或第三象限角平分线上 π π 3.如果 <θ < ,那么下列各式中正确的是 4 2 A.cosθ <tanθ <sinθ C.tanθ <sinθ <cosθ B.sinθ <cosθ <tanθ D.cosθ <sinθ <tanθ ( )





2 4.若点 P(-3,y)是角α 终边上一点,且 sinα =- ,则 y 的值是________. 3 5.已知角α 终边上一点 P 的坐标是(4a,3a)(a<0),则 sinα =_________,cosα =_________,tanα =_________. 6. 如果角α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的正半轴重合.终边在函数 y=-3x(x≤0)的图象上, sinα =_________, 则 cosα =_________,tanα =_________. x 7.已知角θ 的终边上一点 P 的坐标是(x,-2)(x≠0) ,且 cosθ = ,求 sinθ 和 tanθ 的值. 3

1 8.已知角α 终边上有一点 P(x,1)(x≠0),且 cosα = x,求 sinα 的值. 2

9.已知θ 是第一象限角,试利用三角函数线证明:sinα +cosα >1.
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任意角的三角函数(一)答案
1.D 2.C 3.D 4.- 6 5 5 3 5.- 5 4 - 5 3 4 6. 3 10 10 - -3 10 10

x 7.已知角θ 的终边上一点 P 的坐标是(x,-2)(x≠0) ,且 cosθ = ,求 sinθ 和 tanθ 的值. 3 x x 分析:r= x2+4 ,又 cosθ = = ,即 rx=3x 3 r 由于 x≠0,∴r=3 ∴x2+4=9 x2=5,x=± 5 . 当 x= 5 时,P 点的坐标是( 5 ,-2). y -2 2 y -2 2 5 sinθ = = =- ,tanθ = = =- . r 3 3 x 5 5 当 x=- 5 时,P 点的坐标是(- 5 ,-2) -2 y -2 2 y 2 5 sinθ = = =- ,tanθ = = = . r 3 3 x - 5 5 答案:当 x= 5 时,sinθ =- 2 2 5 ,tanθ =?- ? 3 5

2 2 5 当 x=- 5 时,sinθ =- ,tanθ = 3 5 1 8.已知角α 终边上有一点 P(x,1)(x≠0),且 cosα = x,求 sinα 的值. 2 分析:由任意角的三角函数的定义 x 1 cosα = = x,∴r=2 r 2 1 1 ∴sinα = = . r 2

另:用 x、1 表示出 r,即 r= x2+1 1 再由 cosα = x,求出 x. 2 进一步求得 sinα 也可. 9.已知θ 是第一象限角,试利用三角函数线证明:sinα +cosα >1. 提示:作出单位圆以及正弦线、余弦线,利用三角形两边和大于第三边可证得.

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