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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(高中数学人教A版必修三)


第二章
2.2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征

数字特征之一: ? 众数、中位数、平均数

1.众数 (1)定义:一组数据中出现次数最多 的数称为这组数据的 众数. (2)特征:一组数据中的众数可能 不止一 个,也可能没有, 集中趋势. 反映了该组数据的 众数体现了样本数据的最大集中点, 但它对其他数据信息的忽 视

使其无法客观地反映总体特征.

2.中位数 (1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于

中间 位置的数称为这组数据的中位数.
(2)特征:一组数据中的中位数是 唯一的,反映了该组数 据的 集中趋势. 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 直方图的面积 相等. 中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点, 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点. [规律] n 个数据按大小依次排列,当 n 为奇数时,则中 间位置仅有一个数,这个数就是中位数;当 n 为偶数时,则 中间位置有两个数,取这两个数的平均数为中位数.

3.平均数 (1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据
x1+x2+?+xn x1,x2,?,xn 的平均数为 x n= n

.

(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数 据的 平均水平. 任何一个数据的改变都会引起平均数的变 化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位 数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的
信息 ,但平均数受数据中 极端值 的影响较大,使平均数在估

计总体时可靠性降低.

[规律]

一般地,若取值为x1,x2,?,xn的频率分别为

p1,p2,?,pn,则其平均数为 x =x1p1+x2p2+x3p3+?+ xnpn(其中p1+p2+?+pn=1). 像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数.

二 、众数、中位数、平均数与频率分 布直方图的关系
频率

组距

1、众数在样本数据的频率分布直方图中, 一般认为是最高矩形的中点的横坐标。
例如,在上一节调查的100位居民的月均用水量的 问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看 出,月均用水量的众数是2.25t.如图所示:

0.5 0.4 0.3

0.2
0.1 月平均用水量(t)

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

2、在样本中,有50%的个体小于或等于中 位数,也有50%的个体大于或等于中位数,因 此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的 频率 值应该在哪一个矩形框内及这个矩形框内的大约 组距 位置。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数 的估计值,此数据值为2.03t.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)

说明:

2.03这是中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.

3、平均数是频率分布直方图的“重心”.
频率 组距

是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均数 由公式: X= 1 ( x ? x ? ? ? x ) 给出
n
1 2 n

下图显示了居民月均用 水量的平均数:
x=1.973

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

4.5

月平均用水量(t)

三 、三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数据的最大集中 点,但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少.

2、中位数是样本数据所占频率 的等分线,它不受少数几个极端值的 影响,这在某些情况下是优点,但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。 如上例中假设有某一用户月均用水量 为10t,那么它所占频率为0.01,几乎 不影响中位数,但显然这一极端值是不 能忽视的。

3、由于平均数与每一个样本的 数据有关,所以任何一个样本数据的 改变都会引起平均数的改变,这是众 数、中位数都不具有的性质。也正因 如此 ,与众数、中位数比较起来,平 均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息,但平均数受数据中的极 端值的影响较大,使平均数在估计时 可靠性降低。

四、众数、中位数、平均数的简单应用
例2 某校高一级的甲、乙两个班级 ?均为10人?的语文成绩如 下 ?总分 :150分? , 试确定这次考试中, 哪个班的语文成绩更好些 .

甲班 :112 86 106 84 100 105 98 102 94 107

乙班 :116 95 109 86 106 88 108 99 94 98
分析 我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水 平,因此, 分别求出甲、乙两个班级的平均分即可.
解 分别求出甲班的平均分为99.4,乙班的 平均分为99.9, 故这次考试乙班成绩要好于甲班.

例3 某工厂人员及工资构成如下:
人员

周工资 人数 合计

经理 2200 1 2200

管理人员 250 6 1500

高级技工 220 5 1100

工人 200 10 2000

学徒 100 1 100

合计 23 6900

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗?为什么? 解:众数为200,中位数为220,平均数为300。 因平均数为300,由表格中所列出的数据可见, 只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下, 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。

数字特征之二: ? 方差 标准差

4.标准差 (1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离, 一般用s表示,通常用以下公式来计算
1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2] n .

s=

可以用计算器或计算机计算标准差.
(2)特征:标准差描述一组数据围绕 平均数波动的大小, 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较 大,数据的离散程度较 大;标准差较小,数据的离散程度较
小.

5.方差 (1)定义:标准差的平方,
- - - 1 2 2 即s2= n[(x1-x ) +(x2-x) +?+(xn-x )]



(2)特征:与 标准差 的作用相同,描述一组数据围绕平 均数波动程度的大小. (3)取值范围: [0,+∞).

求平均-再求差-然后平方-最后再平均
[知识拓展] 数据组x1,x2,?,xn的平均数为 x ,方差 为s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,?,axn+b(a, b为常数)的平均数为a x +b,方差为a2s2,标准差为as.

6.用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均 数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的,因此,通常 用 样本 的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计.这 与上一节用 样本 的频率分布来近似地代替总体分布是类似 的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接 受的.

[归纳总结] 用样本的数字特征估计总体的数字特征分 两类:用样本平均数估计总体平均数;用样本标准差估计总 体标准差,样本容量越大,估计就越精确.

(1)下列判断正确的是(

)

A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数 D.样本容量越大,样本平均数越接近总体平均数

[答案] D

随堂应用练习

2.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体数据 的( ) A.平均状态 C.离散程度 B.分布规律 D.最大值和最小值

[答案] C

3.如图,是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得 分的茎叶图,则得分的中位数与众数分别为( )

A.3与3 C.3与23

B.23与3 D.23与23

[答案] D

[解析]

中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的

顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的 平均数),从茎叶图中可知中位数为23;众数是指一组数据中 出现次数最多的数,从茎叶图中可知23出现了3次,次数最 多,因此众数也是23,所以选D.

4.(2012· 山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据 都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同 的是( ) B.平均数 D.标准差

A.众数 C.中位数

[答案] D

[解析]

样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生

改变,所以标准差不变,故选D.

5.抛硬币20次,正面12次,反面8次.如果抛到正面得 3分,抛到反面得1分,则平均得分是________,得分的方差 是________.

[答案] 2.2

0.96

[解析]
2

44 总得分为12×3+8×1=44,则平均分是 = 20

1 2.2,方差s =20[(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.

7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所 示.

(1)求这次测试数学成绩的众数; (2)求这次测试数学成绩的中位数; (3)求这次测试数学成绩的平均分. [分析] 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数

的定义可解此题.

[解析]

70+80 (1)由图知众数为 =75. 2

(2)由图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为 0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第 四个矩形内,0.1=0.03(x-70),∴x=73.3.

40+50 (3)由图知这次数学成绩的平均分为: ×0.005×10 2 50+60 60+70 70+80 + ×0.015×10+ ×0.02×10+ 2 2 2 80+90 90+100 ×0.03×10+ ×0.025×10+ ×0.05×10=72. 2 2


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