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2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案


2015 普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 A= x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 3 , 则A ? B ? A.(-1,3) (2)若 a 实数,且 B.(-1,0 ) C.(0,2) D.(2,3)

?

?

?

?

2 ? ai ? 3 ? i, 则a ? 1? i

A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013( 年 )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著; B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效; C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势; D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 (4)已知向量 a ? (0,?1),b ? (?1,2),则( 2a ? b ) ?a ? A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设 S n是等差数列 若 a1 ? a3 ? a5 ? 3, 则S5 ? ?an ?的前n项和, A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

(7)已知三点 A(1 , 0), B(0,3),C(2,3) ,则 ?ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为 A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

-1-

(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” 。执 行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a 为 开始 输入 a,b

a>b 是 a=a-b 否



a?b



输出 a

b=b-a

结束

A. 0

B. 2

C. 4

D.14

(9)已知等比数列 ?a n ?满足 a1 ? A. 2 B. 1

1 , a3 a5 ? 4(a 4 ? 1), 则a 2 ? C 4 1 1 C. D. 2 8

(10) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点, 若三棱锥 O-ABC ?AOB ? 90?, C为该球面上动点, 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动,记

?BOP ? x, 将动点P到A, B两点距离之和表示为函 数f ( x),则f ( x)的图像大致为

D x A
Y

P

C

O
Y

B

Y

Y

2

2

2

2

O

π 4 A

π 3π π 2 4

X O π 4 B

π 3π π 2 4

X

O

π π 2 4 C

3π π 4

X

O

π 4

D

π 3π 2 4

π

X

-2-

(12)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? A. ( ,1)

1 3

1 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1)成立的 x的范围是 1? x2 1 1 1 1 1 B. (?? , ) ? (1,?? ) C. (? , ) D. (?? ,? ) ? ( ,?? ) 3 3 3 3 3

第二卷 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分 (13)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x的图像过点( - 1,4),则a ? 。

? x ? y ? 5 ? 0, ? (14)若 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0, 则z ? 2 x ? y的最大值为 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?
(15)已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 y ? ? (4,,3) 。



1 x ,则该双曲线的标准方程为 2

(16) 已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1相切,则 a? 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

?ABC中,D是BC上的点,AD平分?BAC, BD ? 2DC.
(Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 ?BAC ? 60?, 求?B.

18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调 查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布 直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.
频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

O

40

50

60

70

80

90 100 满意度评分

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6

-3-

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)

频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

O

50

60

70

80

90 100 满意度评分
不低于 90 分 非常满意

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一 个正方形.

D1 A1 E D A

F

C1 B1 C B

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 C 上. 2 a b 2

?

?

(I)求 C 的方程; (II) 直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.

-4-

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ABC 的 底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I)证明 EF ∥ BC . (II)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 , 求四边形 EDCF 的面积. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方 程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

A G E O B M D N C F

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

-5-

2015 普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学答案 一、选择题 1、选 A 2、解:因为 2 ? ai ? (3 ? i)(1 ? i) ? 2 ? 4i, 所以a ? 4. 故选 D 3、选 D 4、选 B 5、解:在等差数列中,因为

a1 ? a3 ? a5 ? 3, 所以a3 ? 1, S 5 ?

(a1 ? a5 ) ? 5 ? 5a3 ? 5, 故选A. 2

6、解:如图所示,选 D. 7、解:根据题意,三角形 ABC 是等边三角形,设 外接圆的圆心为 D,则 D(1,

2 3 )所以, 3

OD ? 1 ?

4 7 21 ? ? . 故选 B. 3 3 3

8、解:18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2, 4-2=2,所以 a=b=2,故选 B. 9、解:因为 ?a n ?满足 a1 ?
2

1 , a3 a5 ? 4(a 4 ? 1), 所以, 4 1 1 ? 2 ? . 故选 C. 4 2

a 4 ? 4(a 4 ? 1), 解得 a 4 ? 2, 又a 4 ? a1 q 3,所以 q ? 2, 所以 a 2 ? a1 q ?

10、解:因为 A,B 都在球面上,又 ?AOB ? 90?, C为该球面上动点, 所以 三棱锥的体积的最大值为 ?

1 1 2 1 R ? R ? R 3 ? 36 ,所以 R=6,所以球的表面积为 3 2 6

π R ? 144 π ,故选 C. S= 4
2

11、解:如图,当点 P 在 BC 上时,

D
2

P x

C

? ?BOP ? x, PB ? tan x, PA ? 4 ? tan x , ? PA ? PB ? tan x ? 4 ? tan2 x ,
当x ?

?
4

时取得最大值 1 ? 5 ,

A

O

B

以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆, 显然, 当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 1 ? 5 . 又函数 f ( x) 不是一次函数,故选 B. 12、解:因为函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ?

1 , 是偶函数, x ? [0,?? )时函数是增函数 1? x2

-6-

? f ( x) ? f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ? 1 ,? x 2 ? (2 x ? 1) 2 , 解得
二、填空题 13、答:a=-2 14、解:当 x=3,y=2 时,z=2x+y 取得最大值 8.

1 ? x ? 1. 故选 A. 3

15、解:设双曲线的方程为 x 2 ? 4 y 2 ? k (k ? 0),点( 4,,3)代入方程,解得 k ? 4.

x2 ? 双曲线的标准方程为 ? y 2 ? 1 4
16、解: y ' ? 1 ?

1 ,? 切线的斜率为 2,切线方程为 y ? 2 x ? 1. x

将y ? 2 x ? 1与y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1联立得ax2 ? ax ? 2 ? 0, 由? ? a 2 ? 8a ? 0, 解得a ? 8或a ? 0.a ? 0时曲线为y ? 2 x ? 1与切线平行,不符。 所以a ? 8.
四、解答题

sin ?B AC ? , sin ?C AB AC DC 1 sin ?B 1 ? ? , ? ? . 再由三角形内角平分线定理得 AB BD 2 sin ?C 2
17、解: (Ⅰ)由正弦定理得 (Ⅱ)? ?BAC ? 60?,? ?B ? ?C ? 120?

由( 1 )得

sin ?B 1 ? . ? sin ?C ? 2 sin ?B,? sin(120? ? ?B) ? 2 sin B, 展开得 sin ?C 2 3 tan?B ? ,? ?B ? 30?. 3

18、解: (1)B 地区频率分布直方图如图所示
频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

O

50

60

70

80

90 100 满意度评分

比较 A,B 两个地区的用户,由频率分布直方图可知: A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分 B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分 A 地区用户评价意见较分散,B 地区用户评价意见相对集中。 (2)A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6,
-7-

B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25, 所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。 19、解: (I)在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N,使得 AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF, 即平面α 。 (II)两部分几何体都是高为 10 的四棱柱,所以体积之比 等于底面积之比,即

D1 A1 E D A

F

C1 B1 C B

V1 S AMEA1 4 ? 10 7 ? ? ? . V2 S EMBB1 6 ? 12 9

20、解、(I)如图所示,由题设得

c 2 ? , a 2

Y B M O A X C(2, 2 )

4 2 又点的坐标满足椭圆的方程,所以 2 ? 2 ? 1 , a b
联立解得:

x2 y2 a ? 8, b ? 4, 所以切线C的方程为: ? ? 1. 8 4
2 2

(II)设 A,B 两点的坐标为

(x1 , y1),( x 2 , y 2) , 点M的坐标为( m, n) , k om ?

n . m

则x1 ? 2 y1 ? 8, x2 ? 2 y2 ? 8,
上面两个式子相减得:

2

2

2

2

2( y 2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0.变形得

2

2

2

2

y 2 ? y1 1 x1 ? x2 1 2m m ?? ?? ? ?? ? . x2 ? x1 2 y1 ? y 2 2 2n 2n

? k l ? k om ?

y 2 ? y1 n m n 1 ? ? (? ) ? ? ? . (定值) x2 ? x1 m 2n m 2

21、解:已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? .

1 ? a. x 当a ? 0时,函数f ( x)在(0, ? ?)上是增函数; (1) ? f ' ( x) ? 1 1 当a ? 0时,函数f ( x)在(0, )上是增函数,在 ( ,??)上是减函数 . a a
(II)由(1)知,当 a ? 0时,函数 f ( x)在x ?

1 1 时取得最大值 f ( ) ? a ? 1 ? ln a. a a

由a ? 1 ? ln a ? 2a ? 2, 整理得ln a ? a ? 1 ? 0.
-8-

1 设g ( x) ? ln x ? x ? 1, 则g ( ' x) ? 1 ? ,? a ? 0 ? x ? 0,? g ' ( x) ? 0, g ( x)在(0, ? ?)是增 x 函数。又g (1) ? 0, 上述不等式即 g (a) ? g (1),? 0 ? a ? 1,即a ? (0,1 ) .
选做题: 22、(I)证明:由切线的性质得 AE=AF,所以△AEF 是等腰 三角形,又 AB=AC,

A G E O B M D N C F

AE AF ? ,? ?AEF ? ?ABC ,? EF ∥ BC . 所以 AB AC
(II)解:

连接OE, 则OE ? AE,? AG ? OE ? OG ? R,

?OA ? 2R,? 4R 2 ? R 2 ? (2 3) 2, ? R ? 2, ?OM ? 2
1 AD 10 MN ? 3,? OD ? 1? AD ? 2 R ? 1 ? 5,? AB ? ? . 2 cos30? 3 ? OE ? AB,? ?BAD ? 30?,?BAC ? 60? ? ?ABC, ?AEF都是等边三角形 . ? MD ?
? S四边形 EBCF
2 1 ? 10 ? 1 16 3 ? ?? ? ? sin 60 ? ? ? 2 3 ? sin 60? ? . ? ? 2 ? 3? 2 3 2

? ?

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ? ,

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 解:(I)曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . 的直角坐标方程是

C1 : x 2 ? y 2 ? y ? 0; C2 : x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 0.
? ? 3 ? ? x ? 0 , 3 3 ? ?x ? 2 , 联立解得? ? C1 , C 2 交点的直角坐标为( 0,0) 、( , ) . ? 2 2 ? y ? 0. ? y ? 3 . ? ? 2 ? ?

? ? ?(? ? R,? ? 0, 0 ? ? ? ?) . (II)曲线 C1的极坐标方程为

-9-

因此点A的极坐标为( 2 sin ? , ?) , 点B的极坐标为( 2 3 cos? , ?) , 所以 AB ? 2 sin ? ? 2 3 cos? ? 4 sin(? ? ) . 3 5? ?当? ? 时, AB 取得最大值,最大值为 4. 6
2 ( a ? b) ? a ? b ? 2 ab , 24、证明:(I)因为

?

?

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

由题设知 a ? b ? c ? d , ab ? cd.? a ? b ? c ? d . (II)(必要性)

若 a ? b ? c ? d , 则(a ? b) 2 ? (c ? d ) 2 , 变形得(a ? b) 2 ? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd.
? a ? b ? c ? d ,? ab ? cd,由( 1 )得 a ? b ? c ? d .
(充分性)若 a ? b ?

c ? d ,则 a ? b

?

? ??
2

c? d

?

2

? a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd ,? a ? b ? c ? d ,? ab ? cd.

?a ? b?2 ? ?a ? b?2 ? 4ab ? ?c ? d ?2 ? 4ab ? ?c ? d ?2 ? 4cd ? ?c ? d ?2 .
? a ?b ? c?d.

所以,a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 成立的充要条件。

- 10 -


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