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解析几何公式


解 析 几 何 公 式
一,直线:
1, 2, 4, 6, 沙尔定理 直线上两点距离公式: 点 P 分 AB 成的定比λ= 中点坐标公式: 3, 平面上两点距离公式: 5, 定比分点公式: 7, 三角形的重心坐标公式:

8, 倾斜角的范围:α∈ 9 斜率与倾斜角的关系 10, 由直线上两点(x1,y1),(x2,y2)求直线的斜率 k=

11, 直线的方程:⑴点斜式: ⑵斜截式: ⑶两点式: ⑷截距式: ⑸一般式: 12, 两条直线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则此二直线 ⑴平行的条件为: ⑵垂直的条件为: 13, 两条直线 l1,l2 的方程为 A1x+B1y+c1=0 与 A2x+B2y+c2=0, 则此二直线 ⑴重合的条件为: ⑵平行的条件为: ⑶相交的条件为: ⑷垂直的条件为: 14, 两条直线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 由 l1 到 l2 的角θ的范围为: tgθ= 此二直线所成的角(夹角)θ的范围为: tgθ= 15, 点线距离公式: 16, 两条平行线的距离公式: 16,对称:⑴点 P(x0,y0)关于点(h,k)的中心对称的点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于原点(0,0)的中心对称的点为( , ) ; ⑵点 P(x0,y0)关于 x 轴的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于 y 轴的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于直线 y=b 的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于直线 y=x 的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于直线 y=-x 的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于直线 x+y=a 的对称点为( , ) ; 点 P(x0,y0)关于直线 x-y=a 的对称点为( , ) ; ⑶点 P(x0,y0)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点,可先设对称点为(x,y),列 出方程组 y-y0/x-x0=B/A, A(x+x0)/2+B(y+y0)/2+C=0;解此方程组即可得对称点坐标。
1

二,圆:
1, 圆的标准方程: ,其圆心为( , ),半径 r= 2, 圆的一般方程: ,其圆心为( , ),半径 r= 3, 以(x1,y1),(x2,y2)为直径端点的圆的方程: 4, 圆上一点 P(x0,y0)处的切线方程:⑴圆方程为 x2+y2=r2: ⑵圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2: 5, 从圆外一点 P(x0,y0)向圆引切线,切点弦所在直线方程: ⑴圆方程为 x2+y2=r2: ⑵圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2: 2 2 6, 从圆 x +y +Dx+Ey+F=0 外一点 P(x0,y0)向圆引切线的切线长 l= 7, 两圆的公共弦所在直线的方程: 8, 经过两条曲线 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0 的交点的曲线的方程可写为:

三,椭圆:
1, 椭圆的第一定义: 2, 椭圆的第二定义: 3, 焦点在 x 轴上的椭圆 标 准 方 程 焦点在 y 轴上的椭圆





a,b,c 的关系 焦 点 坐 标 顶 点 坐 标 离心率 e=,(范围) 准 线 方 程 焦 参 数 p= 4, 椭圆上点的焦半径 r,点到相应准线的距离 d 与离心率 e 的关系: 5, 椭圆的两条焦半径 r1,r2 的和 r1+r2= 6, 与焦点轴成角为θ时的焦半径公式:r= ,焦点弦长公式:l= 7, 平行弦的斜率为 k,其中点轨迹的图形为 .中点轨迹的斜率为 k’,则 kk’= 8, 椭圆的过定点的弦的中点轨迹为 . 9, 与圆或椭圆的最值有关的问题常用的换元公式是: 10,弦长公式:l=
2

四,双曲线:
1,双曲线的第一定义: 2,双曲线的第二定义: 3, 焦点在 x 轴上的双曲线 标 准 方 程 焦点在 y 轴上的双曲线





a,b,c 的关系 焦 点 坐 标 顶 点 坐 标 离心率 e=,(范围) 准 线 方 程 渐 近 线 方 程 焦 参 数 p= 4, 双曲线上点的焦半径 r,点到相应准线的距离 d 与离心率 e 的关系: 5, 双曲线上一点的两条焦半径 r1,r2 的差的绝对值|r1-r2|= 6, 倾斜角为θ时的焦半径公式:r= ,焦点弦长公式:l= 7, 平行弦的斜率为 k,其中点轨迹的图形为 .中点轨迹的斜率为 k’,则 kk’= 8, 双曲线的过定点的弦的中点轨迹为 . 9, 与双曲线的最值有关的问题常用的换元公式是: 10,共轭双曲线的方程: 11,共渐近线的双曲线系方程: 12, 等轴双曲线的离心率 e= ,渐近线的夹角为 ; 13,与双曲线只有唯一公共点的直线可能是: ⑴ ⑵

五,抛物线:
1,抛物线的定义: 2,抛物线上点的焦半径 r,点到相应准线的距离 d 与的关系: 3,倾斜角为θ时的焦半径公式:r= ,焦点弦长公式:l= 2 4,抛物线 y =2px 的平行弦的斜率为 k,其中点轨迹的图形为 ,轨迹方程 2 为 ; 抛物线 x =2py 的平行弦的斜率为 k, 其中点轨迹的图形为 , 轨迹方程为 ;
3

5, 标准方程 图 形

y2=2px

y2=-2px

x2=2py

x2=-2py

焦点坐标 准线方程 顶点坐标 对 称 轴 离 心 率 6, 抛物线的过定点的弦的中点轨迹为 7,与抛物线只有唯一公共点的直线可能是: ⑴ ⑵



六,坐标平移:
1、设原点移至 O'(h,k) ,则坐标变换公式为: x=x'+h; x'=x-h; y=y'+k. Y'=y-k.

七,参数方程:
1、直线的参数方程: ⑴ x=x0+at; y=y0+bt. (t 为参数) ⑵ x=x0+tcosθ; y=y0+tsinθ. (t 为参数)。其中 t 表示点(x0 ,y0)到点(x,y)的有向线 段的数量。θ为直线的倾斜角,0≤θ<π。 ①弦长公式: ②中点对应的 t 值: ③参数方程⑴与⑵的联系: ④参数方程⑴中,点(x0 ,y0)到点(x,y)的距离= 2、圆的参数方程: x=x0+rcosθ; y=y0+rsinθ. (θ为参数)。其中点(x0 ,y0)是圆心,r 是半径。 3、椭圆的参数方程: x=x0+acosθ; y=y0+bsinθ. (θ为参数)。其中点(x0 ,y0)是椭圆的中心,a,b 分别为椭 圆的半长轴与半短轴。

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4、双曲线的参数方程: x=x0+asecθ; y=y0+btgθ. (θ为参数)。其中点(x0 ,y0)是双曲线的中心,a,b 分别为 双曲线的半实轴与半虚轴。 5、抛物线的参数方程: x=x0+2pt2, y=y0+2pt;(t 为参数),

八,极坐标
1、极坐标中点的坐标不唯一:(ρ,θ)→(ρ,θ+2kπ)→(-ρ,2kπ+π+θ); 2、点(ρ,θ)关于极轴的对称点为(ρ,-θ);关于极点的对称点为(ρ,π+θ);关 于过极点且与极轴垂直的直线的对称点为(ρ,π-θ)。 3、极坐标与直角坐标的互化: x=ρcosθ, y=ρsinθ; ρ2=x2+y2, tgθ=y/x;(θ所在象限视 x,y 的符号而定 )。 4、极坐标中两点的距离:d=√ρ12+ρ22-2ρ1ρ2cosθ ; 5、极坐标中的直线方程:ρcos(θ-φ)=р;(其中φ为法线角,р为法线长); ⑴ 过极点的直线:θ=φ0, (φ0 为直线与极轴的夹角) ; ⑵ 过点(a,0)且与极轴垂直的直线:ρcosθ=a; ⑶ 过点(a,π/2)且与极轴平行的直线:ρsinθ=a; 6、极坐标中的圆的方程:ρ2+ρ02-2ρρ0cos(θ-φ0)=r2; (其中(ρ0,φ0)为圆心坐 标,r 为圆的半径); ⑴ 以极点为圆心,r 为半径的圆:ρ=r; ⑵ 以(a,0)与极点连线为直径的圆:ρ=acosθ; ⑶ 以(a, π/2)与极点连线为直径的圆:ρ=asinθ. 7、极坐标中的圆锥曲线的方程:ρ=ep/(1-ecosθ). ⑴ p 为焦参数,等于焦点到相应准线的距离,椭圆、双曲线的 p=b2/c; ⑵ e>1,ρ∈R 时为双曲线, (ρ∈R+时为双曲线的右支) ,极点为右焦点,准线 为右准线;e=1 时为抛物线;0<e<1 时为椭圆,极点为左焦点,准线为左准线; ⑶ θ=0 时,|ρ|=a+c; θ=π时,ρ=|a-c|; ⑷ 椭圆、双曲线的焦半径长ρ1=b2/(a-ccosθ); ⑸ 焦点弦长 l=2ep/(1-e2cos2θ); 抛物线的焦点弦长 l=2p/sin2θ; 椭圆、双曲线的焦点弦长 l=2ab2/(a2-c2cos2θ).

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