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广东省百所高中2014届高三联考(文数)


广东省百所高中 2014 届高三 11 月联合考试 数学(文科)
一、选择题(50 分) 1、复数

2i 等于 1? i
D、-1-i

A、1+i B、1-i C、-1+i 2、已知集合 M={0,1,2,3,4},N={-2,0,2},则

A、N ? M   B、M N=M  C、M N=?2

?   D、M N=?0, 2?  
3、下列函数中,既是奇函数又是减函数的是 A、y= 2
x

B、y=-x2

C、y=x3

D、y=-3x

4、已知 ? ? ( ?? , 0), cos ? ? ? ,则 tan ? 等于 A、 2 B、2 2 C、3 D、3 2

1 3

5、若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线的斜率为 A、

1 2

B、-

1 2

C、2

D、-2

6、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于 A、2

2 3 4 C、 3
B、 D、4

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7、已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z=2x+4y 的最小值是 ?y ? 3 ?
A、-6 B、5 C、10 D、-10 8、执行如图所示的算法流程图,若输入 A 的值为 2,则输出 S 的值是

A、3

B、

23 12

C、

13 6

D、

25 12

1

9、如图,F1、F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,椭 a 2 b2

圆上一点 M 满足 ?MF1O ? 离心率为 A、 3 ? 1

?
3

,N 为 MF1 的中点且 ON⊥MF1,则椭圆的

B、

3 2

C、2- 2

D、 2 -1

10、定义两个平面向量的一种运算 下列结论错误的是

则对于两个平面向量 a,b,

11、在等差数列{ an }中, 2a9 ? a12 +6,则 a5 =____ 12、曲线 y ?

x ?1 ( x ? 0) 在点(1,2)处的切线方程为____ x2

13、某校开展“爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记 分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个 数字(茎叶图中的劝无法看清,若记分员计算无误,则数字 x=___

14、在极坐标系中,圆 C1 的方程为 ? ? 4 2 cos(? ? 的正半轴建立平面坐标系,圆 C2 的参数方程 ?

?
4

) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴

? x ? ?1 ? a cos ? ( ? 为参数) ,若圆 C1 与 C2 ? y ? ?1 ? a sin ?

相切,则实数 a=____ 15、如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72°,圆 E 过 A,B 两点且与 BC 相切于点 B,与 AC

2

交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 -1,则 AC=___

16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求 f ( (2)设

5? ) 的值; 4
,求 的值。

17、 (本小题满分 12 分) 为了更好地开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从“模拟联合国” , “街舞” , “动漫” , “话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数据见下表: (单位:人)

(1)求 a,b,c 的值; (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选 2 人担任指导小组组长,求这 2 人分别来 自这两个社团的概率.

3

18、 (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, BC∥AD, ∠ADC=90°, BC=CD= PA=PD,E,F 为 AD、PC 的中点。 (1)求证:PA∥平面 BEF; (2)求证:AD⊥PB。

1 AD, 2

19、 (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 (1)求数列{ an }的通项公式; (2) 设 正整数 n 的值。 , 求适合方程 的

4

20、 (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 K(-1,0)为直线 l 与抛物线 C 准线的交点. , 直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 FA ? FB ?

8 ,求直线 l 的方程. 9

21、 (本小题满分 14 分) 设函数

(1)求 (2)若对任意的

的值; ,函数 f(x)在 上的最小值恒大于 1,求 b 的取值范围.

5

参考答案
2i(1+i) 2(i-1) 2i = = =-1+i. 2 1-i (1-i)(1+i)

1.C

2.D M∩N={0,2}. 3.D 是奇函数的只有 C 和 D,是减函数的则只有 D. 1 2 2 4.B ∵cos α =- ,α∈(-π ,0),∴sin α =- ,∴tan α =2 2. 3 3 5.C 圆心为 A(3,0),因为点 P(1,1)为弦 MN 的中点,所以 AP⊥MN,AP 的斜率为 1-0 1 k= =- ,所以直线 MN 的斜率为 2. 2 1-3 6.D 还原直观图可得,该几何体是个三棱柱,如图, 根据数据得底面面积 S=2,高 h=2,所以体积 V=4. 7.A 画出可行域易知在点(3,-3)处有最小值-6. 1 3 3 1 11 8.D 程序运行过程为 p=1,S=1,p=2,S=1+ = ,p=3,S= + = ,p=4, 2 2 2 3 6 11 1 25 25 S= + = >A=2,∴输出 S= . 6 4 12 12 1 9.A 连接 MF2,则 ON 是△MF1F2 的中位线,所以|NF1|+|NO|= (|MF1|+|MF2|)=a, 2 π 1 3 1 3 c 2 又因为∠MF1O= , |OF1|=c, 所以|NF1|= c, |NO|= c, 所以 c+ c=a 得 e= = 3 2 2 2 2 a 1+ 3 = 3-1. 10.B A 显然成立;对于 B,λ(a?b)=λ|a|· |b|sin〈a,b〉,(λa)?b=|λa|· |b|sin〈a,b〉, 当 λ<0 时,λ(a?b)=(λa)?b 不成立;对于 C,由 a?b=|a|· |b|sin〈a,b〉,a· b=|a|· |b|cos〈a, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b〉,可知(a?b) +(a· b) =|a| ·|b| ;对于 D,(a?b) =|a| ·|b| -(a· b) =(x1+y1)(x2+y2 )-(x1x2 2 2 +y1y2) =(x1y2-x2y1) ,故 a?b=|x1y2-x2y1|恒成立. 11.6 由 2a9=a12+6,得 a6+a12=a12+6,所以 a6=6. x2-2x(x+1) -x2-2x 12.3x+y-5=0 ∵y′= = ,∴该切线的方程 k=-3,切线方 x4 x4 程为 y-2=-3(x-1),即 3x+y-5=0. 89+89+92+93+92+91+94 640 13.1 ∵当 x≥4 时, = ≠91, 7 7 89+89+92+93+92+91+x+90 ∴x<4,则 =91,∴x=1. 7 14.± 2 ⊙C1 的方程化为 ρ=4cos θ +4sin θ ,化简得 ρ2=4ρcos θ +4ρsin θ ,由 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,得 x2+y2-4x-4y=0,其圆心 C1 坐标为(2,2),半径
? ?x=-1+acos θ , r1=2 2;圆 C2 的参数方程是? 其普通方程是(x+1)2+(y+1)2=a2,所以 ? ?y=-1+asin θ

C2 的 坐 标 是 ( - 1 , - 1) , r2 = |a| , 因 为 两 圆 外 切 , 所 以 |a| + 2 2 = |C1C2| = (2+1)2+(2+1)2=3 2,所以 a=± 2. 15.2 由已知得 BD=AD=BC,BC2=CD· AC=(AC-BC)· AC,得 AC=2.
6

5π π 1 5π π 16.解:(1)f( )=2sin( × - )=2sin = 2.(5 分) 4 3 4 6 4 π 10 5 (2)由 f(3α+ )=2sin α = ,得 sin α = , 2 13 13 π 12 又 α∈[0, ],所以 cos α = , 2 13 π 6 3 由 f(3β+2π )=2sin(β+ )=2cos β = ,得 cos β = , 2 5 5 π 4 又 β∈[0, ],所以 sin β = , 2 5 12 3 5 4 16 所以 cos(α+β)=cos α cos β -sin α sin β = × - × = .(12 分) 13 5 13 5 65 1 17.解:(1)由表可知抽取比例为 ,故 a=4,b=24,c=2. (3 分) 6 (2)设“动漫”4 人分别为 A1,A2,A3,A4;“话剧”2 人分别为 B1,B2.则从中任选 2 人的所有基本事件为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4),(A1,B1), (A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共 15 个. 其中 2 人分别来自这两个社团的基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3, B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共 8 个. 8 所以这 2 人分别来自这两个社团的概率 P= .(12 分) 15 18.证明:(1)连结 AC 交 BE 于 O,并连结 EC,FO. 1 ∵BC∥AD,BC= AD,E 为 AD 中点, 2 ∴AE∥BC,且 AE=BC, ∴四边形 ABCE 为平行四边形, ∴O 为 AC 中点,又∵ F 为 PC 中点, ∴OF∥PA, ∵OF?平面 BEF,PA ? 平面 BEF, ∴PA∥平面 BEF.(7 分) (2)连结 PE. ∵PA=PD,E 为 AD 中点,∴AD⊥PE. 1 ∵BC∥AD,BC= AD,E 为 AD 中点, 2 ∴BCDE 为平行四边形, ∴BE∥CD,∵AD⊥CD,∴AD⊥BE,∵PE∩BE=E, ∴AD⊥平面 PBE, ∵PB?平面 PBE, ∴AD⊥PB.(14 分) 1 2 19.解:(1) 当 n=1 时,a1=S1,由 S1+ a1=1,得 a1= .(1 分) 2 3 1 1 当 n≥2 时,∵Sn=1- an, Sn-1=1- an-1,(2 分) 2 2

7

1 1 1 ∴Sn-Sn-1= (an-1-an),即 an= (an-1-an),∴an= an-1(n≥2),(3 分) 2 2 3 2 1 ∴{an}是以 为首项, 为公比的等比数列.(5 分) 3 3 2 1 n-1 1 故 an= · ( ) =2· ( )n (n∈N+).(7 分) 3 3 3 1 1 1 + (2)1-Sn= an=( )n,bn=log3(1-Sn+1)=log3( )n 1=-n-1,(9 分) 2 3 3 1 1 1 1 = = - .(11 分) bnbn+1 (n+1)(n+2) n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ =( - )+( - )+?+( - )= - , b1b2 b2b3 3 4 bnbn+1 2 3 n+1 n+2 2 n+2 1 1 25 解方程 - = ,得 n=100.(14 分) 2 n+2 51 p 20.解:(1)依题意知- =-1,解得 p=2, 2 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(4 分) (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 D(x1,-y1),且设直线 l 的方程为 x=my-1(m≠0). 将 x=my-1 代入 y2=4x,并整理得 y2-4my+4=0, 从而 y1+y2=4m,y1y2=4. 所以 x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1=1. 因为 FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), FA·FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2, 8 4 故 8-4m2= ,解得 m=± , 9 3 4 所以直线 l 的方程为 x=± y-1, 3 即 3x-4y+3=0 或 3x+4y+3=0.(14 分) 1 1 21.解:(1)∵f(x)= x3- (2a-1)x2+[a2-a-f′(a)]x+b, 3 2 ∴f′(x)=x2-(2a-1)x+a2-a-f′(a), ∴f′(a)=a2-(2a-1)a+a2-a-f′(a),(3 分) ∴f′(a)=0.(4 分) 1 1 (2)由(1)得 f(x)= x3- (2a-1)x2+(a2-a)x+b. 3 2 ∵f′(x)=x2-(2a-1)x+(a2-a)=[x-(a-1)]· (x-a), 令 f′(x)>0?x<a-1 或 x>a,令 f′(x)<0?a-1<x<a, ∴f(x)在(-∞,a-1]上单调递增,在[a-1,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. (6 分) 1 1 又∵0≤a≤1,∴f(x)在 x∈[0,1]上的最小值为 f(a)= a3- a2+b.(8 分) 3 2 1 1 ∴ a3- a2+b>1 在 a∈[0,1]上恒成立, 3 2

8

1 1 即 b>- a3+ a2+1 在 a∈[0,1]上恒成立. 3 2 1 1 令 g(x)=- x3+ x2+1(0≤x≤1), 3 2 则 g′(x)=-x2+x=-x(x-1)≥0,(13 分) 7 7 ∴g(x)在 x∈[0,1]上单调递增,∴1≤g(x)≤ ,∴b> .(14 分) 6 6

9


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