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江苏省苏州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


江苏省苏州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题列出的四个选项中,只有一 项是符合要求的,请将符合要求的答案涂在答题卷上) 1. (4 分)若集合 M={x|2﹣x<0},N={x|x﹣3≤0},则 M∩N 为() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,3] B. (﹣∞,3] C. (2,3] D

.(1,3] 2. (4 分)“ ”是“A=30°”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也必要条件

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

3. (4 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)内单调递增的是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣x

4. (4 分)已知 sinα= A.

,α 是第二象限的角,则 cos(π﹣α)=() B. C. D.

5. (4 分)已知 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值为()

A.1 或 或

B .±

C.

D.1 或

6. (4 分)将函数 y=sin(2x+ 析式是() A.y=sin(2x+ )

)图象上的所有点向左平移

个单位,得到的图象的函数解

B.y=sin(2x+



C.y=sin(2x﹣



D.y=sin2x

7. (4 分)△ ABC 中,已知 a=2 ,b=2,A=60°,则 B=() A.60° B.30° C.60°或 120° 8. (4 分)若 x 满足不等式|2x﹣1|≤1,则函数 y=( ) 的值域为() A.[0, ) B.(﹣∞, ] C.(0,1]
x

D.120°

D.[ ,1]

9. (4 分)函数 围是() A.[6,+∞) 6)

在区间[5,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范 C.(﹣∞,6]

B.(6,+∞)

D.(﹣∞,

10. (4 分)设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β) ,其中 a,b,α,β 均为非零实数,若 f=﹣1, 则 f 等于() A.﹣1 B .1 C.0 D.2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请将答案填写在题中横线上) 11. (4 分)函数 的定义域是.

12. (4 分)若 sinα+2cosα=0,则 sin α﹣sinαcosα=. 13. (4 分)已知 f(x)是以 2 为周期的奇函数,在区间[0,1]上的解析式为 f(x)=2x,则 f (11.5)=. 14. (4 分)f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +1,若 f(m)=5,则 m 的值为. 15. (4 分)某项工程的流程图如图(单位:天) :根据图,可以看出完成这项工程的最短工期
x

2

是天.

三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (8 分)计算:log24+( ﹣1) ﹣( )
0

+cos



17. (10 分)设 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,S 是△ ABC 的面积, 已知 a=4,b=5,S=5 . (1)求角 C; (2)求 c 边的长度. 18. (12 分)已知函数 f(x)=a+b (b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16) . (1)求 f(x)的表达式;
x

(2)解不等式 f(x)>( )


2

(3)当 x∈(﹣3,4]时,求函数 g(x)=log2f(x)+x ﹣6 的值域. 19. (12 分)设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,当 a,b∈(0,+∞)时,均有 f(a?b) =f(a)+f(b) ,已知 f(2)=1.求: (1)f(1)和 f(4)的值; (2)不等式 f(x )<2f(4)的解集. 20. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值. .
2

21. (8 分)某项工程的横道图如下.

(1)求完成这项工程的最短工期; (2)画出该工程的网络图. 22. (14 分)已知函数 f(x)=x +(a+1)x﹣b ﹣2b,且 f(x﹣1)=f(2﹣x) ,又知 f(x)≥x 恒成立.求: (1)y=f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=log2[f(x)﹣x﹣1],求函数 g(x)的单调区间. 23. (14 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) .
2 2

江苏省苏州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,每小题列出的四个选项中,只有一 项是符合要求的,请将符合要求的答案涂在答题卷上) 1. (4 分)若集合 M={x|2﹣x<0},N={x|x﹣3≤0},则 M∩N 为() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,3] B.(﹣∞,3] C. (2,3] D. (1, 3] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求出 M 与 N 中不等式的解集,确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得:x>2,即 M=(2,+∞) , 由 N 中不等式变形得:x≤3,即 N=(﹣∞,3], 则 M∩N=(2,3], 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (4 分)“

”是“A=30°”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也必要条件

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 由正弦函数的周期性,满足 解答: 解:“A=30°”?“ 的 A 有无数多个.

”,反之不成立.

故选 B 点评: 本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题,属基本题. 3. (4 分)下列函数中,既是偶函数又在(0, +∞)内单调递增的是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣x

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据基本初等函数的单调性与奇偶性,对选项中的函数进行判断即可. 3 解答: 解:对于 A,y=x 是定义域 R 上的奇函数,∴不满足题意; 对于 B,y=|x|+1 是定义域 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,满足题意; 2 对于 C,y=﹣x +1 是定义域 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,∴不满足题意; ﹣x 对于 D,y=2 是定义域 R 上非奇非偶的函数,∴不满足题意. 故选:B.

点评: 本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判断问题,是基础题目.

4. (4 分)已知 sinα= A.

,α 是第二象限的角,则 cos(π﹣α)=() B. C. D.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由已知和同角三角函数基本关系可先求得 cosα 的值,由诱导公式化简所求后代入即 可求值. 解答: 解:∵sinα= ∴cosα=﹣ ,α 是第二象限的角, =﹣ )= =﹣ . ,

∴cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣(﹣

故选:A. 点评: 本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值,属于基础 题.

5. (4 分)已知 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值为()

A.1 或

B. ±

C.

D.1 或



考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的表达式分别进行求解即可. 解答: 解:若 x≤﹣1,由 f(x)=3 得 f(x)=x+2=3,解得 x=1,不满足条件, 2 若﹣1<x<2,由 f(x)=3 得 f(x)=x =3,解得 x= 或﹣ (舍) ,故 x= 满足条件, 若 x≥2,由 f(x)=3 得 f(x)=2x=3,解得 x= ,不满足条件, 综上 x= , 故选:C. 点评: 本题主要考查函数值的求解,根据分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关 键.

6. (4 分)将函数 y=sin(2x+ 析式是()

)图象上的所有点向左平移

个单位,得到的图象的函数解

A.y=sin(2x+

) B.y=sin(2x+



C.y=sin(2x﹣

) D.y=sin2x

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的平移关系即可得到结论. 解答: 解:将函数 y=sin(2x+ 得到 y=sin[2(x+ )+ )的图象向左平移 + )=sin(2x+ 个单位长度, ) ,

]=sin(2x+

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数解析式的求解,根据三角函数的图象变换关系是解决本题的 关键. 7. (4 分)△ ABC 中,已知 a=2 A.60° B.30° 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理可得:sinB= 180°,a=2 >b=2,即可求 B 的值. = = =sin30°. = ,B=30°+k360°或 B=150°+k360°,k∈Z,由 0<B< ,b=2,A=60°,则 B=() C.60°或 120°

D.120°

解答: 解:∵由正弦定理可得:sinB=

∴B=30°+k360°或 B=150°+k360°,k∈Z, 又∵0<B<180°,a=2 >b=2, ∴由大边对大角可得:0<B<60°, ∴B=30°. 故选:B. 点评: 本题主要考察了正弦定理,三角形中大边对大角等知识的应用,属于基础题.
x

8. (4 分)若 x 满足不等式|2x﹣1|≤1,则函数 y=( ) 的值域为() A.[0, ) B.(﹣∞, ] C.(0,1] D.[ ,1]

考点: 专题: 分析: 解答: 0≤x≤1; 则 ≤

函数的值域. 计算题;函数的性质及应用. 由不等式可得 0≤x≤1;从而化简求函数的值域. 解:由不等式|2x﹣1|≤1 解得, ≤1;

故函数 y=( ) 的值域为[ ,1]; 故选 D. 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调 性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择.

x

9. (4 分)函数 围是() A.[6,+∞)

在区间[5,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范 C.(﹣∞,6]

B.(6,+∞)

D.(﹣∞,6)

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 2 t 分析: 令 t=x ﹣2(a﹣1)x+1,则二次函数 t 的对称轴为 x=a﹣1,且 f(x)=g(t)=2 ,故 函数 t 在区间[5,+∞)上是增函数,故有 a﹣1≤5,由此求得 a 的范围. 解答: 解:令 t=x ﹣2(a﹣1)x+1, t 则二次函数 t 的对称轴为 x=a﹣1,且 f(x)=g(t)=2 , 根据 f(x)在区间[5,+∞)上是增函数, 故二次函数 t 在区间[5,+∞)上是增函数, 故有 a﹣1≤5, 解得 a≤6, 故选:C. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想, 属于中档题. 10. (4 分)设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β) ,其中 a,b,α,β 均为非零实数,若 f=﹣1, 则 f 等于() A.﹣1 B. 1 C. 0 D.2 考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把 x=2012,f=﹣1 代入已知等式求出 asinα+bcosβ 的值,再将 x=2013 及 asinα+bcosβ 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:由题意得:f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1, 则 f=asin+bcos=﹣(asinα+bcosβ)=1, 故选:B. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请将答案填写在题中横线上) 11. (4 分)函数 的定义域是(0,1].
2

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.

专题: 计算题. 分析: 令被开方数大于等于 0,然后利用对数函数的单调性及真数大于 0 求出 x 的范围,写 出集合区间形式即为函数的定义域. 解答: 解: ∴0<x≤1 ∴函数的定义域为(0,1] 故答案为: (0,1] 点评: 求解析式已知的函数的定义域应该考虑:开偶次方根的被开方数大于等于 0;对数函 数的真数大于 0 底数大于 0 小于 1;分母非 0. 12. (4 分)若 sinα+2cosα=0,则 sin α﹣sinαcosα= .
2

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由已知可解得 tanα=﹣2,由万能公式可得:sin2α,cos2α 的值,由倍角公式化简所求 代入即可求值. 解答: 解:∵sinα+2cosα=0, ∴移项后两边同除以 cosα 可得:tanα=﹣2, ∴由万能公式可得:sin2α= = =﹣ ,

cos2α=

=

=﹣ ,

∴sin α﹣sinαcosα= 故答案为: .

2

=



= .

点评: 本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用,万能公式,倍角公式的应用,属于 基础题. 13. (4 分)已知 f(x)是以 2 为周期的奇函数,在区间[0,1]上的解析式为 f(x)=2x,则 f (11.5)=﹣1. 考点: 函数的周期性. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)是以 2 为周期的奇函数知 f(11.5)=﹣f(0.5)=﹣1. 解答: 解:∵f(x)是以 2 为周期的奇函数, ∴f(11.5)=f(12﹣0.5) =f(﹣0.5)=﹣f(0.5)=﹣1; 故答案为:﹣1.

点评: 本题考查了函数的性质的应用,属于基础题. 14. (4 分)f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +1,若 f(m)=5,则 m 的值为±2. 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质进行求解即可. 解答: 解:若 m≥0,则由 f(m)=5 得 f(m)=2 +1=5, m 即 2 =4,解得 m=2, ∵f(x)是偶函数, ∴f(﹣2)=f(2)=5, 则 m=±2, 故答案为:±2 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,解方程即可,比较基础. 15. (4 分)某项工程的流程图如图(单位:天) :根据图,可以看出完成这项工程的最短工期
m x

是 7 天. 考点: 流程图的作用. 专题: 图表型. 分析: 本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题.在解答时,应结合所给表格分析 好可以合并的工序,注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的.进而问题即可获得解答. 解答: 解:由题意可知:工序①→工序②工时数为 2;工序②→工序③工时数为 2. 工序③→工序⑤工时数为 2,工序⑤→工序⑥工时数为 1, 所以所用工程总时数为:2+2+2+1=7 天. 故答案为:7. 点评: 本题考查的是工序流程图 (即统筹图) , 在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、 读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力,属于基础题. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (8 分)计算:log24+( ﹣1) ﹣( )
0

+cos



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据指数幂的运算性质进行计算即可. 解答: 解:原式=

= = =1. 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,是一道基础题. 17. (10 分)设 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,S 是△ ABC 的面积, 已知 a=4,b=5,S=5 . (1)求角 C; (2)求 c 边的长度. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由题意和三角形的面积公式求出 (2)由(1)和余弦定理求出 c 边的长度. 解答: 解: (1)由题知 由 S= absinC 得, 又 C 是△ ABC 的内角,所以 (2)当 = 当 时, . 时,由余弦定理得 =21,解得 ; 或 , ,解得 ; , ,由内角的范围求出角 C;

=16+25+2×4×5× =61,解得

综上得,c 边的长度是 或 . 点评: 本题考查余弦定理,三角形的面积公式的应用,注意内角的范围. 18. (12 分)已知函数 f(x)=a+b (b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16) . (1)求 f(x)的表达式; (2)解不等式 f(x)>( ) ;
2 x

(3)当 x∈(﹣3,4]时,求函数 g(x)=log2f(x)+x ﹣6 的值域. 考点: 指数函数的图像与性质;指数函数的图像变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)把点代入即可求出 f(x)的表达式, 2 (2)根据指数的单调性,原不等式转化为 2x>x ﹣3,解不等式即可;

(3)根据对数函数的图象和性质,函数 g(x)转化为 g(x)=(x+1) ﹣7,根据定义域即 可求出值域 解答: 解: (1)由题知

2

解得


x

(舍去)

∴数 f(x)=4 , (2)f(x)>( ) ∴4 >( ) ∴2 > ∴2x>x ﹣3 解得﹣1<x<3 ∴不等式的解集为(﹣1,3) , (3)∵g(x)=log2f(x)+x ﹣6=log24 +x ﹣6=2x+x ﹣6=(x+1) ﹣7, ∴x∈(﹣3,4], ∴g(x)min=﹣7, 当 x=4 时,g(x)max=18 ∴值域为[﹣7,18] 点评: 本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题 19. (12 分)设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,当 a,b∈(0,+∞)时,均有 f(a?b) =f(a)+f(b) ,已知 f(2)=1.求: (1)f(1)和 f(4)的值; (2)不等式 f(x )<2f(4)的解集. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(a?b)=f(a)+f(b) ,令 a=b=1 得,令 a=b=2,从而解得. 2 2 (2)化简 f(x )<2f(4)得 f(x )<f(16) ;从而由函数的单调性求解. 解答: 解: (1)∵f(a?b)=f(a)+f(b) , 令 a=b=1 得,f(1)=f(1)+f(1) , ∴f(1)=0; 令 a=b=2,则 f(4)=f(2)+f(2)=2; 2 (2)∵f(x )<2f(4) , 2 ∴f(x )<f(16) ; ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, 2 ∴0<x <16; 故﹣4<x<0 或 0<x<4; 2 故不等式 f(x )<2f(4)的解集为(﹣4,0)∪(0,4) . 点评: 本题考查了抽象函数的应用及单调性的应用,属于基础题.
2 2 x 2 2 2 2 2x x





20. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ)求 f(x)在区间



上的最大值和最小值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后,利用正弦函 数的性质求得函数的最小正周期. (Ⅱ)利用 x 的范围确定 2x+ 值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ =4cosx( = = sin2x+2cos x﹣1 sin2x+cos2x ) ,
2

的范围,进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小

, )﹣1

=2sin(2x+

所以函数的最小正周期为 π; (Ⅱ)∵﹣ ∴﹣ ≤2x+ = =﹣ ≤x≤ ≤ , , 时,f(x)取最大值 2, 时,f(x)取得最小值﹣1.

∴当 2x+ 当 2x+

,即 x=

时,即 x=﹣

点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值.解题的关键是对函 数解析式的化简整理. 21. (8 分)某项工程的横道图如下.

(1)求完成这项工程的最短工期; (2)画出该工程的网络图. 考点: 流程图的作用;绘制结构图. 专题: 图表型. 分析: 本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题.在解答时,应结合所给表格分析 好可以合并的工序,注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的.进而问题即可获得解答. 解答: ( 8 分) 解: (1)2+3+1+3=9,所以完成这项工程的最短工期为 9 天.…(3 分) (2)画出该工程的网络图如下:

…(5 分) 点评: 本题考查的是流程图,在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表 的能力以及问题的转化和分析能力,属于基础题. 22. (14 分)已知函数 f(x)=x +(a+1)x﹣b ﹣2b,且 f(x﹣1)=f(2﹣x) ,又知 f(x)≥x 恒成立.求: (1)y=f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=log2[f(x)﹣x﹣1],求函数 g(x)的单调区间. 考点: 对数函数的图像与性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x﹣1)=f(2﹣x) ,得出 f(x)的对称轴,求出 a 的值,再由 f(x)≥x 恒 成立,△ ≤0,求出 b 的值即可; (2)求出 g(x)的解析式,利用复合函数的单调性,判断 g(x)的单调性与单调区间. 解答: 解: (1)∵f(x﹣1)=f(2﹣x) , ∴f(x)的对称轴为 x= ; …(1 分)
2 2

又∵函数 f(x)=x +(a+1)x﹣b ﹣2b, ∴﹣ = ,

2

2

解得 a=﹣2, 2 2 ∴f(x)=x ﹣x﹣b ﹣2b; …(1 分) 又∵f(x)≥x 恒成立, 即 x ﹣x﹣b ﹣2b≥x 恒成立, 2 2 也即 x ﹣2x﹣b ﹣2b≥0 恒成立; 2 2 ∴△=(﹣2) ﹣4(﹣b ﹣2b)≤0,…(1 分) 2 整理得 b +2b+1≤0, 2 即(b+1) ≤0; ∴b=﹣1,…(2 分) ∴f(x)=x ﹣x+1; …(1 分) 2 2 (2)∵g(x)=log2[x ﹣x+1﹣x﹣1]=log2(x ﹣2x) ,…(1 分) 2 令 u=x ﹣2x,则 g(u)=log2u; 2 由 u=x ﹣2x>0,得 x>2 或 x<0,…(2 分) 2 当 x∈(﹣∞,0)时,u=x ﹣2x 是减函数, 2 当 x∈(2,+∞)时,u=x ﹣2x 是增函数; …(2 分) 又∵g(u)=log2u 在其定义域上是增函数,…(1 分) ∴g(x)的增区间为(2,+∞) ,减区间为(﹣∞,0) . …(2 分) 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式恒成立的应用问题,是 综合性题目. 23. (14 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 20≤x≤200 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (Ⅱ)先在区间(0,20]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f=1200,然后在区间[20,200] 上用基本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的 x 值,两 个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b
2 2 2

再由已知得

,解得

故函数 v(x)的表达式为



(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间在区间[0,200]上取得最大值为 ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 答: (Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 点评: 本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力, 属于中等题.


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