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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件(人教A必修4)


读教材·填要点

2.4

课前预习·巧设计

第 二 章 平 面 向 量

2.4.1

平 面 向 量 的 数 量 积

小问题·大思维

平面 向量 数量 积的 物理 背景 及其 含义

考点一
名师课堂·

一点通

考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

NO.2课下检测

[读教材·填要点]

1.平面向量数量积的定义
已知两非零向量a与b,它们的夹角为θ,则把数量 |a||b|· θ 叫做a与b的 数量积 (或内积 ),记作 a· ,即 cos b a· b=|a||b|cos θ . 规定零向量与任一向量的数量积为 0 . 2.向量的数量积的几何意义 (1)投影:|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 方向上)的投影. (2)几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向 |b|cos θ 上的投影 的乘积. a在b 方向上( b在a

3.向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, θ 为 a 与 b 的夹角.

b=0 . (1)a⊥b? a·
(2)当 a 与 b 同向时,a· |a||b| ; b= 当 a 与 b 反向时,a· b=- |a||b| .

|a|2 或|a|= a· a2 . (3)a· a= a=
a· b (4)cos θ= |a||b| .
(5)|a· ≤ |a||b|. b|

4.向量数量积的运算律 (1)a· b· (交换律). b= a (λb) b) (2)(λa)· λ(a· = a· (结合律). b= c (3)(a+b)· a· c= c+b· (分配律).

[小问题·大思维]

1.向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别?
提示:向量的数量积a· b是一个实数;数乘向量λa是一个 向量. 2.投影是向量还是数量? 提示:投影是数量而不是向量,它可正、可负、可为零.

3.对于向量a,b,c,等式(a· c=a· c)一定成立吗? b)· (b·
提示:不一定成立,∵若(a· c≠0,则它与c共线,而 b)· a· c)≠0时与a共线,而a与c不一定共线,故该等式不一定成 (b· 立.

4.若a,b是非零向量,则|a· b|=|a||b|一定成立吗? 提示:不一定.因为a· b=|a||b|cos θ,所以只有|cos θ| =1,即a,b共线时才成立. 5.若a,b,c是非零向量,且a· c=b· c,则a=b一定成 立吗? 提示:不一定.由a· c=b· c可得c· (a-b)=0?a-b=0

或c⊥(a-b).

[研一题] [例1] 已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下

列条件下求a· b. (1)θ=135°; (2)a∥b; (3)a⊥b.

[自主解答] (1)a· b=|a||b|cos θ=2×3×cos 135° =-3 2. (2)当 a∥b 时,θ=0° 180° 或 . 若 θ=0° ,则 a· b=|a||b|cos 0° =|a||b|=6; 若 θ=180° ,则 a· b=|a||b|cos 180° =-|a||b|=-6. (3)当 a⊥b 时,a· b=0.

若本例条件变为“θ=120°”,试求(2a-b)· (3a+2b).
解:∵(2a-b)· (3a+2b) =6a2+4a· b-3a· b-2b2 =6a2+a· b-2b2 =6×4+2×3×cos 120° -2×9 1 =24+6×(- )-18 2 =3.

[悟一法]

求平面向量数量积的步骤是:①求a与b的夹角θ,
θ∈[0,π];②分别求|a|和|b|;③求数量积,即a· b=

|a||b|· θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接, cos
而不能用“×”连接,也不能省去.

[通一类] ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AC BC 1.在等边△ABC 中,边长为 1,求 AB · , AB · . ??? ??? ? ?

解:根据两向量夹角的定义, AB 与 AC 的夹角是 60° , ??? ??? ? ? -60° =120° , AB 与 BC 的夹角是 180° 1 AC 则 AB · =| AB || AC |cos 60° , = 2 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? BC AB · =| AB || BC |cos 120° 1 =- . 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

[例2]

[研一题] 已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1

+e2,b=e2-2e1的夹角.
[自主解答] 由单位向量 e1,e2 的夹角为 60° , 1 得 e1·2=cos 60° , e = 2 所以 a· b=(e1+e2)· 2-2e1) (e =-2e1·1-e1·2+e2·2 e e e 1 3 =-2- +1=- . 2 2 ①

又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1·2+|e2|2=3, e |b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1·2+|e2|2=3, e 所以|a|=|b|= 3. 设 a 与 b 的夹角为 θ. 3 - 2 a· b 1 由①②可得 cos θ= = =- . |a||b| 2 3× 3 又 0° ≤θ≤180° ,所以 θ 为 120° . ②

[悟一法]
1.求向量夹角的方法: a· b (1)求出 a· b,|a|,|b|,代入公式 cos θ= 求解. |a||b| (2)用同一个量表示 a· b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. π 2.要注意夹角 θ 的范围 θ∈[0,π],当 cos θ>0 时,θ∈[0, ); 2 π π 当 cos θ<0 时,θ∈( ,π],当 cos θ=0 时,θ= . 2 2

[通一类]
2.已知a、b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求a与a-b

的夹角.
解:法一:设 a 与 a-b 的夹角为 θ. ∵|a|=|b|,∴|a|2=|b|2. 又∵|b|=|a+b|, ∴|b|2=|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a· b. 1 由①②,得 a· b=- |b|2, 2 ∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a· b=3|b|2, ∴|a-b|= 3|b|. ② ①

a· ?a-b? |a|2-a· b ∴cos θ= = |a||a-b| |a||a-b| 1 2 |b| -?- |b| ? 2 3 = = . 2 2 3|b|
2

又∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=30° .

??? ? ??? 法二:如图,作 OA =a, OB =b, ??? ? OC =a+b. ??? ??? ??? ? 则 BA = OA - OB =a-b,
由|a|=|b|=|a+b|, 可知 OA=OB=OC=AC=BC, ∴四边形 OACB 为菱形,△OAC 为等边三角形, ∴∠OBC=60° ,且 BA 平分∠OBC. ??? ??? ? 又 a 与 a-b 的夹角为 BC 与 BA 的夹角, 1 1 即∠ABC= ∠OBC= ×60° =30° , 2 2 从而 a 与 a-b 的夹角为 30° .

[研一题] [例3] 已知|a|=7,|b|=4,|a+b|=9,求|a-b|.
[自主解答] |a+b|=9,∴|a+b|2=a2+2a· 2=81, b+b ∴a· b=8. ∴|a-b|= ?a-b?2= a2-2a· 2 b+b = 49+16-2×8=7.

[悟一法] 1.处理模的计算问题时,一般是将模平方转化为向量 的运算进行处理. 2.由|a+b|2=a2+2a· 2,|a-b|2=a2-2a· 2相加 b+b b+b 可得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).其几何意义是平行四边形

两条对角线的平方和等于其四边的平方和.

[通一类] 3.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若 |a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________. 解析:法一:由a+b+c=0得c=-a-b. 又(a-b)· c=0,∴(a-b)· (-a-b)=0,即a2=b2. 则c2=(a+b)2=a2+b2+2a· 2+b2=2, b=a

∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

法二:如图,作 AB = BC =a, ??? ? ??? BC =b,则 CA =c. ∵a⊥b,∴AB⊥BC, ??? ??? ??? ? ? ? 又∵a-b= BD - BC = CD , (a-b)⊥c,∴CD⊥CA, 所以△ABC 是等腰直角三角形, ∵|a|=1,∴|b|=1,|c|= 2, ∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

??? ?

??? ?

答案:4

设两个向量 e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为 π ,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值 3 范围. [错解] 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,

?2te1+7e2?· 1+te2? ?e 得 <0, |2te1+7e2||e1+te2| 即(2te1+7e2)· 1+te2)<0, (e 化简得 2t2+15t+7<0, 1 解得-7<t<- . 2

[错因] 夹角为钝角,并不包括夹角为 π,而数量积小于零 却包含了夹角为 π.上面解法就是如此, 应该把反向的情况排除. [正解] 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角. ?2te1+7e2?· 1+te2? ?e 得 <0.即 |2te1+7e2|· 1+te2| |e (2te1+7e2)· 1+te2)<0,化简即得 (e 1 2t +15t+7<0,解得-7<t<- . 2
2

当夹角为 π 时,也有(2te1+7e2)· 1+te2)<0, (e 但此时夹角不是钝角, 设 2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,可得 ?2t=λ, ? ?7=λt, ?λ<0, ? ?λ=- 14, ? ?? 14 ?t=- 2 . ?

∴所求实数 t 的取值范围是
? ? ?-7,- ?

14? ? 14 1? ? ? ? ∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2? ?


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