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浙江省淳安中学2013届高三上学期第二次月考数学理试卷


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2012 学年第一学期淳安中学高三第二次月考试卷 数学(理科)学科
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {0,1, 2} ,集合 B ? {2,3} ,则 (CU A) ? B 等于( ▲ ) A. ? B. {1, 2,3, 4} C. {0,1, 2,3, 4} D. {2,3, 4} ▲ ) D. y ? 2
?x

2.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是( A. y ? x 3 3. 设函数 f ( x) ? ? A. ? 4或 - 2 B. y ? x ? 1 C. y ? ? x 3 ? 1

?? x x ? 0 ,若 f (a) ? 4 ,则实数 a =( ▲ ) 2 x?0 ?x
B. ? 4或 2 C. ? 2或 4 D. ? 2或 2

4.设 f (x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? A. ?

2013 )?( ▲ ) 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

5. 函数 y ?

2 x2 ? 4 的值域是( ▲ ) x2 ? 3
B. [? , 2]
log4 3.6

A. (??, ? ] ? (2, ?? ) 6. 已知 a ? 5
log 2 3.4

4 3

4 3

C. (??, ? ] ? [2, ??)
log 3 4

4 3

D. [? ,2)

4 3

,b ? 5

,c ? ( )

1 5

,则( ▲ ) D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

7. 已知 p :| x ? 1 |? 2, q : x ? a, 且?p是?q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围可以是( ▲ ) A. a ? 1 8.函数 y ? B. a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? ?3

( x ? a) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图像可以是( ▲ ) x?a

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A. [ ?5,?2] B. [?2,0] C. [0,2]

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▲ ) D. [2,4]

9.已知函数 f ( x) ? ln | x | ?2 sin x ,则函数在下列区间上不存在零点的是( ...

10.若函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (?
9 A. ( , ?? ) 4

1 , 0) 内单调递增,则 a 的取值范围是( ▲ ) 2
D. [
1 ,1) 4

B. (1,

9 ) 4

C. [

3 ,1) 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填写在答卷相应位置。 11.已知 a 2 ?
1

4 (a ? 0 且 a ? 1) ,则 log 2 a ? 9 3



12. 命题“若 ? ?

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是



命题(横线上填写“真”或“假” ) ▲ ▲

13.过点 (?1,1) 作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则切线方程为

14. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [0,1] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 15.若对任意的实数 x 都有 loga (2 ? e x?1 ) ? ?1 ,则 a 的取值范围是 ▲

16.设二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 , x 2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则实数 a 的取 值范围是 ▲ ▲

17. 设 f ( x) ? (ax ? b) ln x ? 4ax ,对于任意的 a ? (1,2) , f (x) 均单调递增,则 b 的取值范围为

2012 学年第一学期淳安中学高三第二次月考答卷 数学(理科)学科
座位号

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填写在答卷相应位置。 11.______________ 15.______________ 12.______________ 16.______________ 13.______________ 17.______________
2

1

2

3

4

5

6

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9

10

14.______________

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2 18.(本小题满分 14 分)设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

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三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

a ) 的定义域为 R ;命题 q : 3x ? 9 x ? a 对 16 一切的实数 x 均成立,如果命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围。

x 。 (1) 证明: 对任意的实数 x , 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ; 2? x (2)解不等式: f ( x2 ? 2 x) ? f (4 ? 2 x) ? 1 。
19. (本小题满分 14 分) 设函数 f (log 4 x) ?

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ? 3 。 (1)当 a ? 4 , 2 ? x ? 5 时,求函数 f ( x ) 的 最大值和最小值; (2)当 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。

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21.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x( x ? 1)2 。 (1)求 f ( x ) 在区间 [ , 2] 上的最大值和最小值; (2) 当 a ? 0 时,讨论方程
f ( x) 1 ? x ? ? a ln x ? 0 的解的个数,并说明理由。 2x 2

1 2

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1? a (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) , (a ? R) 。 x 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;(3)若在区间 1,e ( e ? 2.718... )上存

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?

? ?

在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围。

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2012 学年第一学期淳安中学高三第二次月考答案 数学(理科)学科
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 A 7 A 8 C 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填写在答卷相应位置。 11. 4 12. 真 13. x ? y ? 0 14. [1, 2] 15. [ ,1)

1 2

16. (0,3 ? 2 2)

17. [2e2 , ??)

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

a ) 的定义域为 R ;命题 q : 3x ? 9 x ? a 对 16 一切的实数 x 均成立,如果命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围。
2 18.(本小题满分 14 分)设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

?a ? 0 ? 解: p : ? ? a ? 2 ?????? 5 ? a2 ? ? 1? ? 0 ? ? 4 1 1 1 1 q : g ( x) ? 3x ? 9 x ? ?(3x ? ) 2 ? ? ?a? ?????? 5 ? 2 4 4 4
∵“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题 ∴ ∴ p, q 一真一假

1 ?a?2 4

?????? 4 ?

x 。 (1) 证明: 对任意的实数 x , 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ; 2? x (2)解不等式: f ( x2 ? 2 x) ? f (4 ? 2 x) ? 1 。
19. (本小题满分 14 分) 设函数 f (log 4 x) ? 解: (1)令 t ? log4 x (t ? R) ,则 x ? 4 ∴ f ( x) ? f (1 ? x) ?

4x 41? x ? 2 ? 4 x 2 ? 41? x 4x 2 ? 1? (2)∵ f ( x) ? 在 (??, ??) 上是单调递增函数(判断即可,无需证明)? 2 ? x 2?4 2 ? 4x ∴ f ( x2 ? 2 x) ? 1 ? f (4 ? 2 x) ? f (2 x ? 3) ? x2 ? 2 x ? 2 x ? 3 ?????? 3? 解得: x ? (1,3) ?????? 2 ?

4t 4x 即 f ( x) ? ?????? 3? 2 ? 4t 2 ? 4x 4x 4 4x ? 2 ? ? ? ? 1 ?????? 4 ? 2 ? 4 x 2?4 x ? 4 2 ? 4 x
t

∴ f (t ) ?

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20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ? 3 。 (1)当 a ? 4 , 2 ? x ? 5 时,求函数 f ( x ) 的 最大值和最小值; (2)当 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解: (1) f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 3 (4 ? x ? 5) ?( x ? 1) 2 ? 4 (4 ? x ? 5) ? ? ?????? 2 ? ?? 2 2 ?? x ? 6 x ? 3 (2 ? x ? 4) ??( x ? 3) ? 6 (2 ? x ? 4) ? ? 当 4 ? x ? 5 时, f min ? 5, f max ? 12 ?????? 2 ?
当 2 ? x ? 4 时, f min ? 5, f max ? 6 ?????? 2 ? 综上: f min ? 5, f max ? 12 ?????? 1?

(2) f ( x) ? 2 x ? 2 ?| x ? a |?

1 1 1 1 1 ? ? ? x ? a ? ? x ? ? a ? x ? ?????? 4 ? x x x x x 1 1 3 3 ∵ 当 x ? [1, 2] 时, x ? ? 2 , x ? ? ∴ ? a ? 2 ?????? 3? x x 2 2 1 2

21.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x( x ? 1)2 。 (1)求 f ( x ) 在区间 [ , 2] 上的最大值和最小值; (2)
f ( x) 1 ? x ? ? a ln x ? 0 的解的个数,并说明理由。 2x 2 2 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1?????? 2 ?

当 a ? 0 时,讨论方程

∵ f ?( x) ? 0 ? x ? 1 或 x ?

1 3

∴ f ( x ) 在 [ ,1] 上递减,在 (1, 2] 上递增????? 2 ?

1 2

∴ f min ? f (1) ? 0 , f max ? max{ f ( ), f (2)} ? f (2) ? 2 ????? 2 ? (2)

1 2

1 2 1 2 f ( x) 1 ? x ? ? a ln x ? 0 ? x ? a ln x ? 0 ,令 g ( x) ? x ? a ln x 2x 2 2 2

( x ? a )( x ? a ) ????? 2 ? x 1 2 ①当 a ? 0 时, g ( x) ? x ,则 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 无解????? 1? 2 ②当 a ? 0 时,则 g ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a , ??) 上递增 a a ∴ g min ? g ( a ) ? ? ln a 2 2 又∵当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ;当 x ??? 时, g ( x) ? ?? ????? 2 ? a a (ⅰ)当 ? ln a ? 0 即 0 ? a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 无解????? 1? 2 2 a a (ⅱ)当 ? ln a ? 0 即 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 有一解????? 1? 2 2 a a (ⅲ)当 ? ln a ? 0 即 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 有两解????? 1? 2 2 综上:当 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 有两解;当 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 有一解; 当 0 ? a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 无解 ????? 1?
则 g ?( x) ? 22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?
1? a (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) , (a ? R) 。 x

的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;(3)若在区间 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存 在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围。

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解: (1) f ( x) ? x ? ln x ? f ?( x ) ?

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x ?1 ? 0 ? x ?1 x ∴ f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ?????? 3? 1? a ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] (2) h( x) ? x ? a ln x ? ∴ h?( x) ? ?????? 1? x x2 ①当 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, ??) 上递增 ?????? 2 ? ②当 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 ? x ? 1 ? a ,∴ h( x) 在 (0,1 ? a) 上递减,在 (1 ? a, ??) 上递增 ?????? 2 ? (3)区间 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立
? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 在 [1, e] 上有解 ? 当 x ? [1, e] 时, h( x)min ? 0 ?????? 2 ?
由(2)知

? ?1 时, h( x) 在 [1, e] 上递增,∴ hmin ? h(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ∴ a ? ?2 ?????? 1? ②当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0,1 ? a) 上递减,在 (1 ? a, ??) 上递增 (ⅰ)当 ?1 ? a ? 0 时, h( x) 在 [1, e] 上递增 ∴ hmin ? h(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ∴ a 无解?????? 1? 1? a e2 ? 1 ?0?a ? (ⅱ)当 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上递减 ∴ hmin ? h(e) ? e ? a ? e e ?1 2 e ?1 ∴a ? ?????? 1? e ?1 (ⅲ)当 0 ? a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1,1 ? a] 上递减,在 (1 ? a, e] 上递增 ∴ hmin ? h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) 2 ? a ? a ln(1 ? a ) 2 2 1 ? ? 1 ? ln(1 ? a) ,则 F ?(a) ? ? 2 ? ?0 令 F (a) ? a a a 1? a 2 ? 0 ∴ F (a) ? 0 无解 ∴ F ( a ) 在 (0, e ? 1) 递减 ∴ F ( a ) ? F (e ? 1) ? e ?1 即 hmin ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 0 无解?????? 2 ?
①当 a

e2 ? 1 综上: a ? ?2 或 a ? e ?1

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