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【创新设计】2014年高考数学(理)二轮复习课件 简易通 常考问题8平面向量的线性运算及综合应用


常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用

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[真题感悟]

[考题分析]

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1.向量的概念 (1)零向量模的大小为

0,方向是任意的,它与任意非零向量都共 线,记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为 a ± . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

(4)如果直线 l 的斜率为 k, 则 a=(1, k)是直线 l 的一个方向向量. (5)|b|cos〈a,b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影.
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2.两非零向量平行、垂直的充要条件 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)若 a∥b?a=λb(λ≠0);a∥b?x1y2-x2y1=0. (2)若 a⊥b?a· b=0;a⊥b?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos θ= x1x2+y1y2 a· b 2 2 2. |a||b|= x2 1+y1 x2+y2
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4.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个 向量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进 → → → 行,特别是减法法则很容易使用错误,向量MN=ON-OM(其 中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减 去起点向量. 5.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b| 时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩 形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之也成 立.
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6.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要 特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况, 如已知两个向量 的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反 向共线.

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热点一 平面向量的线性运算 【例 1】 (2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的 1 2 → → → 点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数), 2 3 则 λ1+λ2 的值为________. → → → 1→ 2→ 1→ 2 → → 解析 如图,DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)= 2 3 2 3 1→ 2→ 1 2 1 -6AB+3AC,则 λ1=-6,λ2=3,λ1+λ2=2. 1 答案 2
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[规律方法] 在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字 母,其运算类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行 → 类比.本例中的第(1)题就是把向量DE用 → → AB,AC表示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等 关系式,可求相应的系数.

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【训练 1】 (2013· 天津卷)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD

→ → =60° ,E 为 CD 的中点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________. 解析 → → 在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F,则BE=FD,

→ → → 1→ → → → ∴BE=FD=AD-2AB,又AC=AD+AB, → → → → → 1→ →2 1→ → → → 1 ∴AC· BE=(AD+AB)· (AD-2AB)=AD -2AD· AB+AD· AB-2 1→2 1 1→ 1→2 →2 → 2 1 → → AB =|AD| + |AD||AB|· cos 60° - |AB| =1+ × |AB|- |AB| =1. 2 2 2 2 2
?1 →? → → 1 ? ? → ∴?2-|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|=2. ? ?

答案

1 2
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热点二 平面向量的数量积 【例 2】 若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|, 则向量 b 与 a+b 的夹角为 ( π A. 6 5π B. 6 π C. 3 2π D. 3 ).

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解析 法一 由已知|a+b|=|a-b|,两边平方,整理可得 a· b=0. ①由已知|a+b|=2|a|,两边平方,整理可得 a2+b2+2a· b=4a2.② 把①代入②,得 b2=3a2,即|b|= 3|a|.③ 而 b· (a+b)=b· a+b2=
2 2 b · ? a + b ? b 3 a 3 2 b ,故 cos〈b,a+b〉= = = = . |b|· |a+b| 3|a|· 2|a| 2 3a2 2

π 又〈b,a+b〉∈[0,π],所以〈b,a+b〉= . 6

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法二 如图,作OA=a, OB=b,以 OA,OB 为邻边作平行四边 形 OACB,则OC=a+b, BA=a-b. 由|a+b|=|a-b|,可知|OC|=|BA|,所以平行四边形 OACB 是矩 形.又|a+b|=|a-b|=2|a|,可得|OC|=|BA|=2|OA|,故在 → → 2 → 2,) Rt△AOB 中,|OB|=|BA | -|OA|



















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3 π = 3|O A |,故 tan∠OBA= = ,所以∠BOC=∠OBA=6. → 3 |O B |



|O A |



π 而〈b,a+b〉=∠BOC= . 6 答案 A

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[规律方法] 求解向量的夹角,关键是正确求出两向量的数量积 与模.本例中有两种解法,其一利用已知向量所满足的条 件和向量的几何意义求解,其二构造三角形,将所求夹角 转化为三角形的内角求解,更为直观形象.

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【训练 2】 (2013· 湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是 A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2] ( ).

解析 由 a,b 为单位向量且 a· b=0, 可设 a=(1,0),b=(0,1),又设 c=(x,y), 代入|c-a-b|=1 得(x-1)2+(y-1)2=1, 又|c|= x2+y2, 故由几何性质得 12+12-1≤|c|≤ 12+12+1, 即 2-1≤|c|≤ 2+1. 答案 A
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热点三

平面向量与三角函数的综合

【例 3】 已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B),函数 f(x)=(m+n)· m,求 围.
? π? f?B+8?的取值范 ? ?

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(1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x,

1 - +1 sin x+cos x tan x+1 3 1 2 于是 tan x=-3, ∴ = = =-9. ? ? 1 3sin x-2cos x 3tan x-2 3×?-3?-2 ? ? (2)在△ABC 中 A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理,得 3sin C=2sin Asin C, 3 π ∵sin C≠0,∴sin A= .又△ABC 为锐角三角形,∴A= ,于是 2 3 π π <B< .∵f(x)=(m+n)· m=(sin x+cos x,2)· (sin x,-1)= 6 2 1-cos 2x 1 π? 3 2 ? sin x+sin xcos x-2= + sin 2x-2= sin?2x-4?- , 2 2 2 ? ? 2
2
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? π? ∴ f ?B+8? = ? ?

? π? π? 2 ? 3 2 3 π π π ? ? ? sin ?2 B+8?-4? - = sin2B - . 由 <B< 得 2 2 2 2 6 2 3 ? ? ? ?

3 2 3 2 3 <2B<π,∴0<sin 2B≤1,-2< 2 sin 2B-2≤ 2 -2, π ? 2 3? ? 3 即 f(B+ )∈?- , - ? . 8 ? 2 2 2? ?

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[规律方法] 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用

平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平
行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量 模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角 函数的知识解决平面向量问题.在解决此类问题的过程 中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间

建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决
问题.

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【训练 3】 (2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β, sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. (1)证明 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin

β)2=2,整理得 cos αcos β+sin αsin β=0,即 a· b=0,因此 a⊥b.

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(2)解

? ?cos α+cos β=0, 由已知条件得? ? ?sin α+sin β=1,

cos β=-cos α=cos(π-α),由 0<α<π,得 0<π-α<π,又 0<β<π, 1 π 5π 故 β=π-α.则 sin α+sin (π-α)=1, 即 sin α=2, 故 α=6或 α= 6 . π 5π 当 α=6时,β= 6 (舍去) 5π π 当 α= 时,β= . 6 6

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审题示例(四) 突破有关平面向量问题的思维障碍

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解析 法一 设直角三角形 ABC 的两腰长 都为 4,如图 1 所示,以 C 为原点,CA, CB 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,建立平面 直角坐标系,则 A(4,0),B(0,4),因为 D 为 AB

图1 的中点,所以 D(2,2).因为 P 为 CD 的中点,所以 P(1,1).故|PC|2
=12+12=2, |PA|2=(4-1)2+(0-1)2=10, |PB|2=(0-1)2+(4-1)2 |PA|2+|PB|2 20 =10,所以 |PC|2 = 2 =

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法二

如图 2 所示,以 C 为坐标原点,CA,CB 所在的直线分别
?a b? ?a b? D?2,2?,P?4,4?, ? ? ? ?

作为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系. 设|CA|=a,|CB|=b,则 A(a,0),B(0,b),则
2 2 ?a? ? b? a b ∴|PC|2=?4?2+?4?2=16+16, ? ? ? ? 2 2 ?a? ?b ? a 9 b |PB|2=?4?2+?4-b?2=16+ 16 , ? ? ? ? 2 2 ?a ? ?b? 9 a b |PA|2=?4-a?2+?4?2= 16 +16, ? ? ? ? 2? ? a2 b 所以|PA|2+|PB|2=10?16+16?=10|PC|2, ? ?

|PA|2+|PB|2 ∴ =10. |PC|2
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图2
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法三 如图 3 所示,取相互垂直的两个向量CA=a, CB=b 作为 平面向量的基向量,显然 a· b=0.





图3 1 则在△ABC 中, BA=a-b,因为 D 为 AB 的中点,所以CD= (a 2





+b).
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1→ 1 1 1 因为 P 为 CD 的中点,所以PC=-2CD=-2×2(a+b)=-4(a+



1 1 3 b).在△CBP 中, PB=PC+CB=- (a+b)+b=- a+ b,在 4 4 4







1 3 1 → △CAP 中, PA=PC +CA=- (a+ b)+a= a- b.所以|PC |2 = 4 4 4







? 1 ? ? 1 3 ?2 1 2 1 2 → 2 2 2 2 ?- ?a+b?? = (a +b +2a· b)= (|a| +|b| ),|PB| =?-4a+4b? 4 16 16 ? ? ? ?

1 ?2 9 2 1 2 1 2 9 2 3 1 2 9 2 → 2 ?3 = a + b - a· b= |a| + |b| ,|PA| =?4a-4b? = a + b 16 16 8 16 16 16 16 ? ? 3 9 2 1 2 - a· b= |a| + |b| . 8 16 16
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|PA|2+|PB|2 故 |PC|2 =

?9 1 2? ? 1 2 9 2? 2 ? |a| + |b| ?+? |a| + |b| ? 16 ? ?16 16 ? ?16

1 2 ?|a| +|b|2? 16

=10.

答案 D

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方法点评 以上根据向量数与形的基本特征,结合题目中 的选项以及直角三角形的条件,从三个方面提出了不 同的解法,涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知

识,在寻找解题思路时,应牢牢地把握向量的这两个
基本特征.

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→ → [针对训练] 在△ABC 中,已知 BC=2,AB· AC=1,则△ABC 的面 积 S△ABC 最大值是________. 解析 以线段 BC 所在直线为 x 轴, 线段 BC 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 则 B(-1,0),C(1,0). → 设 A(x,y),则AB=(-1-x,-y), → AC=(1-x,-y),

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→ → 于是AB· AC=(-1-x)(1-x)+(-y)(-y)=x2-1+y2. → → 由条件AB· AC=1 知 x2+y2=2, 这表明点 A 在以原点为圆心, 2为半径的圆上. 当 OA⊥BC 时,△ABC 面积最大,即 1 S△ABC=2×2× 2= 2.

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广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测:平面向量

2012年高考新课标理科数学... 2012年高考全国卷(新...年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测:平面向量...( A.8 ) B.-8 C.8或-8 D.6 【答案】A ...