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浙江省杭州地区7校2015届高三上学期期末模拟联考数学(理)


浙江省杭州地区 7 校 2015 届高三上学期期末模拟联考 数学(理)试题
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题

共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x |

x ? x 2 ? 2 , x ? R} , B ? {1, m} ,若 A ? B ,则 m 的值为(
B . ?1

)

A.

2

C . ? 1或 2

D. 2或 2

2. 是不等式 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 成立的一个充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 “x ? {a,3}” ( )

A.  (3,??)

1? ? B.? ? ?, ? ? ? ?3, ? ?? 2? ?

1? ? C.? ? ?,? ? 2? ?

1? ? D.? ? ?,? ? ? (3,??) 2? ?
3.已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ? 1,x ? 1 ,则函数 f ( x) 的零点为 ( 1 ? log x , x ? 1 2 ?



1 A. , 0 2

B. ? 2, 0

C.

1 2

D.0


4.已知 | a |?| b |? 1 向量 a与b 的夹角为 120°,且 (a ? b) ? (a ? t b) ,则实数 t 的值为(

A .-1
5. 已知 cos 2? ?

B .1

C.-2 )

D.2

2 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( 3
B ?

A

2 3
A . 24

2 3
B.

C

11 18

D

?

2 9


6. 设等差数列 {a n } 和等比数列 {bn } 首项都是 1, 公差和公比都是 2, 则 ab2 ? ab3 ? ab4 ? (

25

C . 26

D . 27

第 -1- 页 共 8 页

7.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存 a2 b2
3 | PF2 | ,则双曲线


在一点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF1 |? 的 ( 离 ) 心 率

A.

2 ?1 2

B . 2 ?1

C.

3 ?1 2

D . 3 ?1

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点(1,0)对称,若对任 意的 x , y ? R ,等式 f ( y ? 3) ? f ( 4 x ? x ? 3 ) ? 0 恒成立,则
2

y 的取值范围是( x



2 2 3 , 2? 3] 3 3 2 C . [2 ? 3 , 3] 3
A . [2 ?

B . [1 , 2 ? D . [1 , 3]

2 3] 3

非选择题部分(共 110 分)
注意事项: 1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分,共 36 分。 9. 已知 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? 合为

? ?

??

?? ? ? 。则 f ? ? = 3? ?6?

;若 f ( x) =-2,则满足条件的 x 的集

;则 f ( x) 的其中一个对称中心为

。 ;

10. 已知函数 f ( x) ? ( ) | x ?1|? a| x ? 2| 。当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递减区间为 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递增区间为 11. 已知 x ,y 为正实数, 且 x ? 2y ? 3。 则 的最大值为 。 。

1 2

3x ? y 的最小值为 xy

; 则 2 x( y ? 1)

12. 已知递增的等差数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a 2 、 a 4 成等比数列。则数列 {a n } 的通

第 -2- 页 共 8 页

项公式为 ______________。

; 则 a 2 ? a5 ? a8 ? ? ? a3n ?1 ? ? ? a3n ?8 的 表 达 式 为

P
C

13.如图,△ ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, P 是以 C 为圆心, 半径为 1 的圆上的任意一点,则 AP ? BP 的取值范围是 .

B

3? 的子集, 14.若不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集是区间 ? ?3,
2

则实数 a 的范围为

.

A
xy 的取值范围是 x? y?2
.

15.若实数 x,y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 ,则

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分) 已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 。
2 2

(1)求 m 的取值范围。 (2)当 m=4 时,若圆 C 与直线 x ? ay ? 4 ? 0 交于 M,N 两点,且 CM ? CN ,求 a 的值。 17. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2 cos x ,1) , n ? (cos x , 3 sin 2 x) , x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,已知 f ( A) ? 2 , b ? 1 ,

△ ABC 的面积为

3 b?c ,求 的值. 2 sin B ? sin C

19. (本题满分 15 分) 已知 M (? 3 , 0) , N ( 3 , 0) 是平面上的两个定点,动点 P 满足 | PM | ? | PN |? 2 6 .

第 -3- 页 共 8 页

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)已知圆方程为 x ? y ? 2 ,过圆上任意一点作圆的切线,切线与(1)中的轨迹交
2 2

于 A , B 两点, O 为坐标原点,设 Q 为 AB 的中点,求 | OQ | 长度的取值范围.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? a | .
2

(1)若 a ? ?1 ,解方程 f ( x) ? 1 ; (2)若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 1 且不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围

第 -4- 页 共 8 页

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 A D D A B B D C 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分,共 36 分。 9. ①

3

② {x | x ? k? ?

5 ? , k ? Z} 12
11. ①



(

k? ? ? , 0)(k ? Z ) 2 6


10. ① [1 , ? ?)



[?2 , 1]

7?2 6 3

5 2

12. ① an ? n 14.



3n 2 ? 19n ? 30 2
15.

13.

[1 , 13]

a?5

[1 ? 2 , 2) ? (2 , 1 ? 2 ]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分) 解: (1) D 2 ? E 2 ? 4 F ? 4 ? 16 ? 4m ? 0 ,∴ m ? 5 (2)∵ m ? 4 ,∴ ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ,
2 2

??5 分

圆心 C : (1 , 2) ,半径 r ? 1 ∵ CM ? CN ∴d ?

??6 分

2 | 1 ? 2a ? 4 | 2 r ,即 ? 2 2 2 1? a

??10 分

化简: 7 a 2 ? 24a ? 17 ? 0 ∴ a ? 1或 a ? 17. (本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 cos x ? 3 sin 2 x
2

??12 分 ??14 分

17 7

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 令

?
6

) ?1

??4 分 ??5 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? , k ? Z , 2
第 -5- 页 共 8 页

2? ?? 2

解得

?
6

? k? ? x ?

2? ? k? , k ? Z 3

∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ (2)由 f ( A) ? 2 ,得 2 sin( 2 A ?

?

?

6

? k? ,

2? ? k? ] , k ? Z 3

??7 分

6

) ? 1 ? 2 ,即 sin( 2 A ?

?

在△ ABC 中,∵ 0 ? A ? ? ,∴ 2 A ? 又∵ S ?ABC ?

?
6

?

5? ? ,得 A ? 6 3

6

)?

1 2
??9 分

1 1 3 3 ,∴ c ? 2 bc sin A ? ? 1 ? c ? ? 2 2 2 2

∴由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 ,∴ a ? 由

3

??12 分

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 3 2

,得 b ? 2 sin B , c ? 2 sin C



b?c ?2 sin B ? sin C

??14 分

(2)由(1)得: an ?

1 3 n ?1 3 1 ? ? 3 ,∴ an ? ? 3n ?1 ? 2 2 2 2 3 1 ∴代入得: S n ? ? 3n ? (2n ? 3) 4 4
∴ Tn ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n

??9 分 ??12 分

?

3 1 (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? (5 ? 7 ? 9 ? ?(2n ? 3)) 4 4

??14 分

3 3(1 ? 3n ) 1 n(5 ? 2n ? 3) 9 n n(n ? 4) ? ? ? ? (3 ? 1) ? ??15 分 4 1? 3 4 2 8 4
19. (本题满分 15 分) 解: (1)由题意知,点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆,
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??2 分

且a ?

6 ,c ? 3 ,b ? 3 ,
x2 y2 ? ?1 6 3
??5 分

∴动点 P 的轨迹方程为

(2)若直线 AB 斜率不存在,则直线 AB 方程为 x ? ? 2 , 此时, | OQ |?

2

??6 分

若直线 AB 斜率存在,设直线 AB 方程为 y ? kx ? b , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 联立 ?

? y ? kx ? b 2 2 2 ,得: (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 6 ? 0 2 2 x ? 2 y ? 6 ?
4kb 1 ? 2k 2

∴ x1 ? x 2 ? ?

x1 x 2 ?

2b 2 ? 6 1 ? 2k 2

??8 分

∴ y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2b ? ∵直线 AB 与圆 O 相切,∴

2b 2kb b ∴ Q(? , ) ?9 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

|b| 1? k

? 2 ,即 b 2 ? 2(1 ? k 2 ) ??11 分

∴ | OQ | ?
2

4k 2 b 2 ? b 2 2(4k 4 ? 5k 2 ? 1) k2 ? ? 2 ( 1 ? ) (1 ? 2k 2 ) 2 4k 4 ? 4k 2 ? 1 4k 4 ? 4k 2 ? 1
2

当 k ? 0 时, | OQ |?
2

当 k ? 0 时, | OQ | ? 2(1 ?

1 4k 2 ? 1 ?4 k2

)?

9 , 4

??14 分

当且仅当 4k 2 ? 20. (本题满分 16 分)

1 3 时,等号成立 ∴ | OQ |? [ 2 , ] 2 2 k

???15 分

?2 x 2 ? 1 , x ? ?1 解: (1)当 a ? ?1 时,有 f ( x) ? ? , x ? ?1 ? 1
当 x ? ?1 时, 2 x 2 ? 1 ? 1 ,解得: x ? 1 或 x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立 ∴方程的解集为: {x | x ? ?1 或 x ? 1}

???2 分

???4 分 ???5 分

第 -7- 页 共 8 页

(2) f ( x) ? ?

?2 x 2 ? (a ? 1) x ? a , x ? a ,x ? a ? (a ? 1) x ? a

???7 分

a ?1 ? 1 ? ?a 若 f ( x) 在 R 上单调递增,则有 ? 4 ,解得: a ? 3 ? ?a ?1 ? 0

???10 分

?2 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 3 , x ? a (3)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3) ,则 g ( x) ? ? x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3
即不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立 ∵a ?1 ∴当 x ? a 时, g ( x) 单调递减,其值域为: (a ? 2a ? 3 , ? ?)
2

???11 分

∵ a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 2 ,∴ g ( x) ? 0 恒成立
2 2

???13 分

当 x ? a 时,∵ a ? 1 ,∴ a ?

a?3 , 4

∴ g ( x) min

a?3 (a ? 3) 2 ? g( ) ? a ?3? ? 0 ,得 ? 3 ? a ? 5 4 8
???15 分 ???16 分

∵ a ? 1 ,∴ ? 3 ? a ? 1 综上: ? 3 ? a ? 1

第 -8- 页 共 8 页


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