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河北省冀州中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题A卷 Word版含答案


试卷类型:A 卷 河北冀州中学 2016-2017 学年度下学期期末 高二年级文科数学试题
( 考试时间:120 分钟 分值:150 分)

第Ⅰ卷(选择题

共 52 分)

一、选择题:本大题共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 2 1.复数 (1 ? i) 2 ? 的共轭复数是( ) 1? i A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i 2 2.已知集合 A ? ?x ? R || x |? 2? , B ? ? x ? R | x ? x ? 2 ? 0? ,则下列结论正确的是 ( ) A. A ? B ? R B. A ? B ? ? C. A ? B ? ? D. A ? B ? ? )

3.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ? , a =(2,0), b ? 1,则 a ? 2b ? ( A. 6 4.已知 cos ? ? sin ? ? B. 36 C. 2 3 D. 12
2 ,则 sin 2? 的值为( ) 4 1 1 7 7 A. B. ? C. D. ? 8 8 8 8 ? y≤3 ? y x 5.已知实数 , 满足 ?2 x ? y≥3 ,则 z ? x ? y 的取值范围为( ?2 x ? 3 y ? 1≤0 ? A. ?0,3? B. ? 2,7? C. ?3,7? D. ? 2,0?



6.已知 x ? ? 0, ? , p : sin x<x , q : sin x<x2 ,则 p 是 q 的( 2
?

? ?

π?

) D.既不充分也不必

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 要条件 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为( ) 36 ? 16? A. 36 ? 12? B. C. 40 ? 12? D. 40 ? 16? 8. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足
? ?log ? 8 ? x ? , x ? 0 f ? x? ? ? 2 ,则 f ? 3? ? ( ? ? f ? x ? 1? , x ? 0 A.3 B.2 C. log2 9

) D. log2 7

9.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : y ? x ,则圆 C 上任取一点 A 到直线 l 的距离小 于 1 的概率为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 3 10.已知三棱锥 A ? BCD 的四个顶点 A 、 B 、 C 、 D 都在球 O 的表面上,

BC ? CD , AC ? 平面 BCD ,且 AC ? 2 2 , BC ? CD ? 2 ,则球 O 的表面积为

( ) A. 4? B. 8? C. 16? D. 2 2? 2 11.已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点( A 在第一象限),过点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 E ,若 ?AFE ? 60? , 则 △ AFE 的面积为( ) A. 4 3 B. 2 3 C.
4 3 3

D.

12.已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? 的部分图象如图所示,点
B 、 C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象交

2 3 3

于 D 、 E 两点,则 BD ? BE ? BE ? CE 的值为( A. ?1 B. ?
1 2

?

??

?

) D.2

C.

13.已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上的偶函数,
? 2 x ?1 ? 1, 0 ? x ? 2 ? 当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 1 ,则函数 g ? x ? ? 2 f ? x ? ? 1 的零点个数为 ? f ? x ? 2? , x ? 2 ?2

1 2

( A.6

)个 B.2 C.4 D.8

第Ⅱ卷(非选择题,共 98 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案直接答在答题纸 上。 14.某校有男教师 80 人,女教师 100 人现按男、女比例采用分层抽样的方法从 该校教师中抽 取 x 人参加教师代表大会,若抽到男教师 12 人,则 x ? ______. 15.已知函数 f ? x ? 为偶函数,当 x>0 时, f ? x ? ? x ln x ? x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ? ?e, f ? ?e?? 处的切线方程为______. 16.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 an?1 ? ? ?1? an ? n ,则 S40 ? . 17.设函数 y ? f ( x) 图象上不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 |k ?k | k A , kB ,规定 ? ( A, B) ? A B ( | AB | 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ( x) | AB | 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,给出以下命题: ①函数 y ? x3 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 ?1 ,则 ? ( A, B) ? 0 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A , B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ; ④设曲线 y ? ex ( e 是自然对数的底数)上不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ( A, B) ? 1 . 其中真命题的序号为 .(将所有真命题的序号都填上)
n

三、解答题:本大题共 7 小题,共 82 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。18.在 △ ABC 中, 2 cos 2 A ? 3 ? 4 cos A . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 △ ABC 的周长 l 的取值范围.

? 1 1? an n ? N * .(1)求证: ? ? ? 是 an ? 3 ? an 2 ? n 等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ;(2)数列 ?bn ? 满足 bn ? ? 3n ? 1? ? n ? an ,求数 2 列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

19.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

?

?

20. 累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气 净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量,以克表示,根 据 GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量 (CCM)有如下等级划分: 5? 8? 12? ?3, ?5, ?8, 累积净化量 12 以上 (克) 等级 P1 P2 P3 P4 为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量,随机 抽取 n 台机器作为样本进行估计,已知这 n 台机器的累 积净化量分布在区间 ? 4,14? 中,按照 ? 4,6? , ? 6,8? , ?8,10? , ?10,12? , ?12,14? 均匀分组,其中累积净化量在

? 4,6? 的所有数据有: 4.5 , 4.6 , 5.2 , 5.3 , 5.7 和 5.9 ,
并绘制了如下频率分布直方图: (1)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值; (2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2 的空气净化器有多少台? (3)从累积净化量在 ? 4,6? 的样本中随机抽取 2 台,求 恰好有 1 台等级为 P2 的概率.

21. 已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD ? 2 , AB ? 1 , PA ? 平 面 ABCD , E , F 分别是线段 AB , BC 的中点. (1)证明: PF ? FD ; (2)若 PA ? 1 ,求点 E 到平面 PFD 的距离.

22. 已知动圆 M 恒过点 ? 0,1? ,且与直线 y ? ?1 相切. (1)求圆心 M 的轨迹方程; (2)动直线 l 过点 P ? 0, ?2? ,且与点 M 的轨迹交于 A、B 两点,点 C 与点 B 关 于 y 轴对称,求证:直线 AC 恒过定点.

23. 函数 f ( x) ? ln x ?
a ? R ).

1 1 1 1 ? , g ( x) ? e x ? x 2 ? ax ? a 2 ( e 是自然对数的底数, x 2 2 2

1 (Ⅰ)求证: | f ( x) |? ?( x ? 1) 2 ? ; 2 (Ⅱ)已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.9? ? 1 , ??2.1? ? ?3 ,若对任意

x1 ? 0 ,都存在 x2 ? 0 ,使得 g ( x1 ) ? ? f ( x2 )? 成立,求实数 a 的取值范围.

24.设函数 f ( x) ?| x ? a | ( a ? 0 ). 1 (Ⅰ)证明: f ( x ) ? f ( ? ) ? 2 ; x 1 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? 的解集非空,求 a 的取值范围. 2

河北冀州中学 2016-2017 学年度下学期期末 高二年级文科数学试题答案
一、选择题 A 卷:ADCCB BCADC ADA B 卷:CCBAD AACBA CBD 二、填空题 14.27 15.y=x-e 16.420 17.①②③④ 三、解答题 18.(1)因为 2 cos 2 A ? 3 ? 4 cos A ,所以 2cos2 A ? ? 2cos A ,
1 2

所以 4cos2 A ? 4cos A ? 1 ? 0 ,所以 cos A ? , 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? (2)因为
?
3

1 2

.

a b c ? , A? ,a ? 2, ? ? sin A sin B sin C 3 4 4 4 ? sin B , c ? sin C ,所以 l ? 2 ? b ? c ? 2 ? 所以 b ? ? sin B ? sin C ? , 3 3 3
4 ? ?? ?? 2? ?? ? ,所以 l ? 2 ? ?sin B ? sin ? ? B ? ? ? 2 ? sin ? B ? ? . ? 6? 3 3? ? 3 ?? ? 1 ?? 2? 又因为 0 ? B ? ,所以 ? sin ? ? B ? ? ? 1 ,所以 l ? ? 4,6? . 2 6? 3 ?

因为 B ? C ?

19.(1)证明:由 an?1 ?
?

an a ?3 3 1 ? n ? ?1, ? n ? N *? ,得 an ? 3 an ?1 an an

? 1 1? ? 1 1? ? 1 1? 3 1 1 ? ? 3 ? ? ? 所以数列 ? ? ? 是以 3 为公比,以 ? ? ? ? an ?1 2 ? a1 2 ? 2 ? an 2 ? ? an 2 ? 1 1 3 2 为首项的等比数列,从而 ? ? ? 3n?1 ? an ? n ; an 2 2 3 ?1 n 1 1 1 1 1 (2) bn ? n ?1 Tn ? 1? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ?2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 两式相减得: Tn 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ? Tn ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 20.(1)因为 ? 4,6? 之间的数据一共有 6 个,再由频率分布直方图可知:

落在 ? 4,6? 之间的频率为 0.03 ? 2 ? 0.06 .因此:
6 ? 100 . ? 0.03 ? x ? 0.12 ? 0.14 ? 0.15? ? 2 ? 1 ,∴ x ? 0.06 . 0.06 (2)由频率分布直方图可知:落在 ? 6,8? 之间共: 0.12 ? 2 ? 100 ? 24 台, n?

又因为在 ? 5,6? 之间共 4 台, ∴落在 ? 5,8? 之间共 28 台.故,这批空气净化器等级为 P2 的空气净化器共有 560 台. (3)设“恰好有 1 台等级为 P2“为事件 B , 依题意,落在 ? 4,6? 之间共有 6 台,记为: A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,属于国标 P2 级有 4 台, 我们记为: A3 , A4 , A5 , A6 ,则从 ? 4,6? 中随机抽取 2 个, 所有可能的结果有 15 种,它们是: ? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? ,

? A3 , A4 ? , ? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? , 而事件 B 的结果有 8 种,它们是: ? A1 , A3 ? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? ,

? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? ,因此事件 B 的概率为 P ? B ? ?
21 证明:(1)连接 AF ,则 AF ? 2 , DF ? 2 ,又 AD ? 2 ,∴ DF 2 ? AF 2 ? AD 2 ,∴ DF ? AF , 又 PA ? 平面 ABCD ,∴ DF ? PA ,又 PA ? AF ? A , ∴ DF ? 平面 PAF ,又 PF ? 平面 PAF ,∴ DF ? PF . (2) QS△EFD ? S平面ABCD ? S△ADE ? S△BEF ? S△CDF ? 2 ? ? , ∴ VP? EFD ? S△EFD ? PA ? ? ?1 ? ,
1 1 6 1 h? , QVE ? PFD ? VP ? EFD ,∴ VE ? PFD ? S△ PFD h ? 3 3 2 4 6 解得 h ? , 4 6 即点 E 到平面 PFD 的距离为 . 4

8 . 15

5 4

3 4

1 3

1 3 3 4

1 4

22 解:(1)∵动点 M 到直线 y ? ?1 的距离等于到定点 C ? 0,1? 的距离,∴动点
p ? 1 ,解得: p ? 2 , 2 ∴动点 M 的轨迹方程为 x2 ? 4 y ; (2)证明:由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 , ? y ? kx ? 2 ,化为 x2 ? 4kx ? 8 ? 0 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 C ? ?x2 , y2 ? .联立 ? 2 ? x ? 4y 2 ? ? 16k ? 32 ? 0 , 解得 k ? 2 或 k ? ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? 8 ; y ?y 直线 AC 的方程为 y ? y2 ? ? 2 1 ? x ? x2 ? , x2 ? x1 又∵ y1 ? kx1 ? 2, y2 ? kx2 ? 2 ,
M 的轨迹为抛物线,且
2 ∴ 4ky ? 4k ? kx2 ? 2? ? ? kx2 ? kx1 ? ? kx1x2 ? kx2 ,

化为 4 y ? ? x2 ? x1 ? x ? x2 ? 4k ? x2 ? ,∵ x1 ? 4k ? x2 , ∴ 4 y ? ? x2 ? x1 ? x ? 8 ,令 x ? 0 ,则 y ? 2 , ∴直线 AC 恒过一定点 ? 0, 2 ? . 23 解:(Ⅰ) f '( x) ?
1 1 x ?1 ? ? 2 ( x ? 0 ). x x2 x 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,

所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得最小值,最小值为 f (1) ? 所以 | f ( x) |? f ( x) ?
1 , 2

1 , 2

1 1 1 ? ,且当 x ? 1 时等号成立,所以, | f ( x) |? ?( x ? 1) 2 ? . 2 2 2 x ? 0 x ? 0 (Ⅱ)记当 时, g ( x) 的最小值为 g ( x)min ,当 时, ? f ( x)? 的最小值为

又 ?( x ? 1) 2 ?

依题意有 g ( x)min ? ? f ( x)?min ,
1 由(Ⅰ)知 f ( x ) ? ,所以 ? f ( x)?min ? 0 ,则有 g ( x)min ? 0 , 2 x g '( x) ? e ? x ? a . 令 h( x) ? ex ? x ? a , h '( x) ? ex ?1 , 而当 x ? 0 时, e x ? 1 ,所以 h '( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,所以 h( x)min ? h(0) ? 1 ? a . ①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, h( x) ? 0 恒成立,即 g '( x) ? 0 ,

? f ( x)?min ,

所以 g ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,所以 g ( x) min 依题意有 g ( x) min ? 1 ?

a2 ? g (0) ? 1 ? , 2

a2 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 2 , 2

所以 ? 2 ? a ? 1. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,因为 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,且 h(0) ? 1 ? a ? 0 , 若 a ? 2 ? e2 ,即 1 ? a ? e2 ? 2 ,则 h(ln(a ? 2)) ? a ? 2 ? ln(a ? 2) ? a ? 2 ? ln(a ? 2) ? 0 , 所以 ?x0 ? (0,ln(a ? 2)) ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 a ? ex0 ? x0 , 且当 x ? (0, x0 ) 时, h( x) ? 0 ,即 g '( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? 0 ,即
g '( x) ? 0 , 所以, g ( x) 在 (0, x0 ) 上是减函数,在 ( x0 , ??) 上是增函数, 1 1 所以 g ( x) min ? g ( x0 ) ? e x0 ? x0 ? ax0 ? a 2 ? 0 , 2 2 1 1 1 又 a ? ex0 ? x0 ,所以 g ( x) min ? e x0 ? ( x0 ? a) 2 ? e x0 ? e 2 x0 ? e x0 (2 ? e x0 ) ? 0 , 2 2 2 x0 所以 e ? 2 ,所以 0 ? x0 ? ln 2 .

由 a ? ex0 ? x0 ,可令 t ( x) ? e x ? x ,

t '( x) ? e x ? 1 , 当 x ? (0,ln 2] 时, e x ? 1 ,所以 t ( x) 在 (0,ln 2] 上是增函数, 所以昂 x ? (0,ln 2] 时, t (0) ? t ( x) ? t (ln 2) ,即 1 ? t ( x) ? 2 ? ln 2 , 所以 1 ? a ? 2 ? ln 2 . ? 综上,所求实数 a 的取值范围是 ? ? ? 2, 2 ? ln 2? . 24 解:(Ⅰ) 1 1 1 1 1 f ( x ) ? f ( ? ) ?| x ? a | ? | ? ? a | ?| x ? a | ? | ? a | ? | x ? | ?| x | ? | |? 2 . x x x x x

? ?2a ? 3x, x ? a, ? a ? (Ⅱ)函数 y ? f ( x) ? f (2 x) ?| x ? a | ? | 2 x ? a |? ?? x, a ? x ? , 2 ? a ? 3 x ? 2 a, x ? . ? ? 2 a a 在 (??, a ] 上单调递减,在 [a, ] 上单调递减,在 [ , ??) 上单调递增, 2 2 a ( f ( x) ? f (2 x)) min ? ? . 2 1 因为不等式 f ( x) ? f (2 x) ? 的解集非空, 2 a 1 所以 ? ? , ?1 ? a ? 0 2 2 所以 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 0 .


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