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河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学(文)试题


2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (文科试卷)
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.做答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时

。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 4} ,则 A ? B ? ( A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 1 ? x ? 2} ) D.

C. {x | 0 ? x ? 4}

{x | 1 ? x ? 4}
2.命题“对 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是(
3 2


3 2

A.不存在 x∈R,x -x +1≤0 C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

3

2

B. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x ? x ? 1 0 >
3 2

3.如果复数

(m 2 ? i) 是实数,则实数 m ? ( 1? mi
B. 1 C. ?



A. ? 1 4.若

2

D. 2

为第三象限角,则

cos? 1 ? sin ?
2

?

2 sin ? 1 ? cos ?
2

的值为





A.-3 5.已知双曲线

B.

-1

C.

1

D. 3

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为F,若过点F且斜率为 的直线与双曲 2 3 a b

第 1 页 共 11 页

线的渐近线平行,则此双曲线的离心率为( ) A.

2 3 3

B.

3

C. 2

D. 2 3

6.利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点,则打印的点落在坐标轴上 的个数是( ) A.0 B. 1 C. 3 D. 4

x2 y 2 7. 设椭圆 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 m n
相同,离心率为

1 ,则此椭圆的方程为( 2
B.



A.

x2 y 2 ? ?1 12 16 x2 y 2 ? ?1 48 64

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 64 48

C.

D.

8.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1 BD 的垂线,垂足为

H .则以下命题中,错误的命题是( ..
A.点 H 是 ?A1 BD 的垂心 C. AH 的延长线经过点 C1

) B. AH 垂直平面 CB1 D1

D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45

0

9.函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( x ? R), ( w ? 0, | ? |? 示,如果 x1 , x 2 ? (? ( A. )

?
2

) 的部分图像如图所

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? 6 3

y
1

? O ???? ? ? 6 10. ?ABC 中, AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 ,点 P 在 AM 上 在
且满足 AP ? 2PM ,则 PA ? ( PB ? PC) 等于( A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

?
3

x

??? ??? ??? ? ? ?
4 3

) D. ?

4 9

B.

C. ?

4 3

4 9

11.如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形

第 2 页 共 11 页

的顶点为圆心,半径为

a 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 2


上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是 ( A. 1 ?

? 4

B.

? 4

C. 1 ?

? 8

D.与 a 的取值有关

12. 数 列 {an } 满 足 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? a1 ? 1 ? 1(n ? N * ) , 当 x ? ?an , an?1 ? 时 ,

f ( x) ? an ? 2 ,则 方程 2 f ( x ) ? x 的根的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
[来源:Z§xx§k.Com]

13.曲线 f ( x) ? x ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为________________.

?x ? 2 y ? 2 ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4 ,则目标函数 Z ? 3x ? y ?4 x ? y ? ?1 ?
的取值范围是________________. 15. 已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角 形,则该三棱锥的外接球的体积为_______________. 16 . 设 m ? 3 , 对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 ?an ? , 令 bk 为 .例如数列 3,5,4,7 a1 , a2 ,?, ak (k ? m) 中最大值,称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的“创新数列” 的创新数列为 3,5,5,7.考查自然数 1, 2 ,?, m (m ? 3) 的所有排列,将每种排列都视为 一个有穷数列 ?cn ? . m ? 4 , 若 则创新数列为 3, 4, 的所有数列 ?cn ? 为______________. 4, 4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分)
[来源:学#科#网]

第 3 页 共 11 页

在 ?ABC 中, a , b , c 分别是三内角 A,B,C 所对的三边,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 2 sin
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2

(18)(本小题满分 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽查了 50 人,他们月收入的 频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4

[25,35 ) 10 8

[35,45 ) 15 12

[45,55 ) 10 5

[55,65 ) 5 2

[65,75 ) 5 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为 分界点对“楼市限购令” 的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若对月收入在[15,25) ,[25,35)的被调查人中各随机选取 1 人进行追踪调查, 求选中的 2 人中不赞成“楼市限购令”人数至多 1 人的概率。 参考数据: 月收入低于 55 百元的人数 合计

a?
b?

c?
d?

(19)(本小题满分 12 分)
第 4 页 共 11 页

已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为直角梯形, 且满足 AD⊥AB, BC∥AD, AD=16,AB=8,BB1=8,E,F 分别是线段 A1A,BC 上的 点. (1) 若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD. (2) 若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1-AB1F 的体积.

(20)(本小题满分 12 分)

? 1 2 ???? ? ? ???? ??? ? ? ???? ??? ??? ? ? 满足 2OC ? OA ? OB ,点 M 满足 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 .
(1)试求动点 M 的轨迹 E 的方程;

在平面直角坐标系中,已知点 A( ,0) ,向量 e ? (0,1) ,点 B 为直线 x ? ? 上的动点,点 C

1 2

(2)设点 P 是轨迹 E 上的动点, R、 在 y 轴上, ? x ? 1? ? y 2 ? 1 内切于 ?PRN , ?PRN 点 N 圆 求
2

的面积的最小值.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.

( ( 1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程;
(2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值 范围.

第 5 页 共 11 页

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清楚题号。(本小题满 分 12 分) (22) 如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于 点 C,点 G 为弧 B D 中点,连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F 连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; A (2)求证:

GF EF ? . AG CE 2
C

2

O ·

E B

M · F G D

(23) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ,曲线 P 在以该直 (t 为参数) ? y ? t ?1

角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为

? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 .
(1)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|.

(24)设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;
2 (2) ?x ? R ,使 f ( x ) ? t ?

11 t ,求实数的取值范围. 2

第 6 页 共 11 页

2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (文科试卷答案)
一、填空题:ACBAA BBDCD AC 14. 【答案】 [?

二.填空题:13.【答案】 y ? x ? 1 16. 【答案】3,4,2,1 或 3,4,1,2 三、解答题:

3 ,6 ] 2

15.【答案】 4 3?

2 2 2 (17) 解 析 】 b ? c ? a ? bc , 【 (1) 所以 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? , A ? (0, ? ) 又 2bc 2bc 2

得到 A ?

? ????4 分 3
2

(2)∵ 2 sin

B C ? 2 sin 2 ? 1 2 2

∵ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1

∴ cos B ? cos C ? 1 ,????6 分 即 cos B ? cos(

2? ? ? B) ? 1 ,得到 sin( B ? ) ? 1 ,????8 分 3 6
?

?0 ? B ?

2? 3

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?B ?

?
6

?

?
2

?B ?

?
3

? ?ABC 为等边三角形????12 分
(18) 解 析 】 【 (Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计
2

月收入低 于 55 百元人数

合计 32 18 50

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 K ? ? 6.27 ? 6.635 . (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)
所 以 没 有 99% 的 把 握 认 为 月 收 入 以 5500 为 分 界 点 对 “ 楼 市 限 购 令 ” 的 态 度 有 差 异. ????6 分

第 7 页 共 11 页

(Ⅱ)从月收入在[15,25) ,[25,35)的被调查人中各随机选取 1 人,共有 50 种取法, 其中恰有两人都不赞成“楼市限购令”共有 2 种取法, 所以至多 1 人不赞成“楼市限购令” 共有 48 种方法,所以 P ?

48 24 ? ????12 分 50 25

(19) 解 析 】 (1) 过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G,连接 GF. 【 A1E 5 EG 5 ∵ = ,∴ = ,∴EG=10=BF. A1A 8 AD 8 ∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG. ∴四边形 BFGE 是平行四边形. ∴BE∥FG 又 FG? 平面 A1FD,BE?平面 A1FD, ∴BE∥平面 A1FD. ????4 分 (2) ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, 1A⊥平面 ABCD, A BD? 平面 ABCD, 1A⊥BD. ∴A 由已知,BD⊥A1F,AA1∩A1F=A1, ∴BD⊥平面 A1AF.∴BD⊥AF ∵梯形 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥A B,BC∥AD, AD ∴在 Rt△BAD 中,tan∠ABD= =2. AB 在 Rt△ABF 中,tan∠BAF= FB BF = . AB 8 π , 2

∵BD⊥AF,∴∠ABD+∠BAF= BF 1 ∴ = ,BF=4 ????7 分 8 2

∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,∴平面 AA1B1B⊥平面 ABCD, 又平面 ABCD∩平面 AA1B1B=AB,∠ABF=90°, ∴FB⊥平面 AA1B1B,即 BF 为三棱锥 FA1B1A 的高.????10 分 ∵∠AA1B1=90°,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8, ∴S△AA1B1=32.
[来源:Z+xx+k.Com]

1 128 ∴V 三棱锥 A1AB1F=V 三棱锥 FA1B1A= ×S△AA1B1×BF= .????12 分 3 3

(20) 【解析】 (1)设 M ( x, y), B(? , m) ,则 BM ? ( x ? , y ? m), e ? (0,1), CM ? ( x, y ?
第 8 页 共 11 页

1 2

???? ?

1 2

?

???? ?

? m ??? ), AB ? (?1, m) , 2

?y ? m ???? ? ? ???? ??? ? ? ? 2 由 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 得 ? m 2 ,所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 y ? 2 x ;????4 x? ? 2 ?
分 (2)设 P( x0 , y0 ), R(0, b), N (0, c) ,且 b ? c ,? lPR : y ?

y0 ? b x?b , x0

即 lPR : ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 ,由相切得

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b)2 ? x02

? 1 ,注意到 x0 ? 2 ,化简得

( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
同理得 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 , 所以 b, c 是方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,????8 分 所以 b ? c ?

4 y0 2 ? 4 x0 ( x0 ? 2) x0 ? 2

?

2 x0 , x0 ? 2

有 S?PRN ? 12 分

1 2 x0 4 ? ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 8 , x0 ? 4 时 ?PRN 的面积的最小值为 8. ? 当 2 x0 ? 2 x0 ? 2

2 (21) 解 析 】 【 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 . x

因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 .

所以切线方程是 y ? ?2.

??????2 分

( ? (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?) .
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x

令 f ' ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 即 当0 ?

1 1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0 , 所以 x ? 或 x ? . 2 a x x

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增,所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 a

f (1) ? ?2 ;?????4 分
当1 ? 6分
第 9 页 共 11 页

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意;????? a a



1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意 综上 a ? 1 ??????8 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x ,

( ? 只要 g (x) 在 0, ?) 上单调递增即可.??????9 分

1 2ax2 ? ax ? 1 而 g ' ( x) ? 2ax ? a ? ? x x
当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 ( ? ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) 上单调递增; x

2 ( ? 当 a ? 0 时, 只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) 上恒成立, 因为 x ? (0,??) , 只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 ,

则需要 a ? 0 ,对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ?

1 ? 0 ,只需 4

? ? a 2 ? 8a ? 0 ,
即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 . ????????12 分

22. 【 解 析 】 证明:(1)连结 AB , AC , ∵ AD 为 ?M 的直 径,∴?ABD ? 90 ,
0

∴ AC 为 ?O 的直径, ∴?CEF ? ?AGD , ∵?DFG ? ?CFE ,∴?ECF ? ?GDF , ∵G 为弧 BD 中点,∴?DAG ? ?GDF , ∵?ECB ? ?BAG ,∴?DAG ? ?ECF , ∴?CEF ∽?AGD ,∴

CE AG ? , EF GD
??????5 分

? AG ? EF ? CE ? GD

(2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G ,

GF , ∴?DFG ∽?AGD ,∴DG ? AG?
2

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? 由(1)知 ,∴ . ??????10 分 CE 2 AG 2 AG CE 2
23.【 解 析 】

[来源:学.科.网]

(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,曲线 P 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

第 10 页 共 11 页

????5 分 (Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ,表示圆心在 ( 2,0) ,半径 r ? 1 的圆, 则圆心到直线 C 的距离为 d ? 24. 【解析】

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .??10 分 2

1 ? ?? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x ) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 ,????2 分 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ?
当x? ? 当?

1 ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2

1 ? x ? 2,3 x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2

当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综上所述

?x | x ? 1或x ? ?5?

??????5 分

(2)易得 f ( x ) min ? ? 则只需 f ( x) min

5 11 2 ,若 ?x ? R 都有 f ( x ) ? t ? t 恒成立, 2 2 5 11t 1 ? ? ? t2 ? 解得 ? t ? 5 ??????10 分 2 2 2

第 11 页 共 11 页


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