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奥赛班专题:函数


函 数 【知识精要】 1.对于抽象函数,常见的处理途径包括: (1)赋值; (2)联想对应的具体函数; (3)模 拟画像,即数形结合。如练习 1。 2.若函数 f ( x) 为单调的奇函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 。若遇两个式子 结构相同, 不妨依此构造函数, 若刚好函数能满足上述性质, 则可解之。 如例 2 及练习

2。 3.对于一元二次方程的韦达定理,和一元二次函数的图象有关的对称、最值问题要了如 指掌。同时要弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间关系,如已知一 元 二 次 方 程 a 2 ? x 的c根 b ? 0x ? 为 x1 , x2 , 则 可 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 。如例 4 及练习 4。 4.若遇到条件是不等式,结论是等式,往往是利用两个模型解决: (1) A ? a ? A ,则 2 2 (2) ( x ? a) ? ( y ? b) ? 0 ,则 x ? a, y ? b 。 A ? a ,如例 5; 【例题精讲】+【习题精练】 例 1 : f ( x) 定义在实数集上,且对于一切实数 x 满足等式: f (2 ? x) ? f (2 ? x) 和 f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,设 x ? 0 是 f ( x) ? 0 的一个根,记 f ( x) ? 0 在区间 [?1000,1000] 中的根个数为 N ,求 N 的最小值。 解: f (10 ? x) ? f [7 ? (3 ? x)] ? f [7 ? (3 ? x)] ? f (4 ? x) ? f [2 ? (2 ? x)] ? f [2 ? (2 ? x)] ? f ( x) ,故 f ( x) 是以 10 为周期的函数。 有 f (2 ? 2) ? f (2 ? 2) ? 0 ,即 f (4) ? 0 ,在 [0,10) 内方程至少有两个根, 而 [?1000,1000] 计 200 个周期,所以至少有 200 ? 2 ? 1 =401 个根,即 N min ? 401。 练习 1:设函数 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) 且 在闭区间 ? 0, 7 ? 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。 (1)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ? ?2005, 2005? 上根的个数,并证明你的结论。 解: ( 1 ) 若 函 数 y ? f ( x) 有 奇 偶 性 , 则 无 论 奇 偶 , 由 f (1) ? 0 有 f (?1) ? 0 , 又 f ( 2? x ) ? f ( 2? x ,令 ) x ? 3 ,则 f (?1) ? f (2 ? 3) ? f (2 ? 3) ? f (5) ? 0 ,与在闭区 间 ? 0, 7 ? 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 矛盾,故函数 y ? f ( x) 无奇偶性。 第 1 页 共 4 页 (II)由 ? ? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ?

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