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2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二上学期第二次月考数学(文)试题


高二文科月考试题
1.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则它的否定是( A.存在 x ? R,sin x ? 1 C.存在 x ? R,sin x ? 1 B.任意 x ? R,sin x ? 1 D.任意 x ? R,sin x ? 1 ) D. 51 )

2.用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是( A. 3 B. 9 C. 17

3.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划 采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在这三校分别抽取学生( A.20 人,30 人,10 人 B.30 人,30 人,30 人 C.30 人,45 人,15 人 D.30 人,50 人,10 人 4.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自 出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满七进一,根据图示可知,孩子已经出生的天数 是( ) )

A.336

B.510

C.1326

D.3603

5.过 P(?4,1) 的直线 l 与双曲线 A.1 B.2

x2 ? y 2 ? 1仅有一个公共点,则这样的直线 l 有( 4
C.3 D.4

)条

6.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ,执行该程序框图, 若输入的 a,b 分别为 16,28,则输出的 a=( )



1第

A.0
2

B.2

C.4 )

D.14

7.已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定点( A. (2,0) B. (1,0) C. (0,1) D. (0,-1)

8.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=( )

(A)7

(B)12

(C)17

(D)34

9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:

b d b?d * 和 ( a, b,c,d ? N ) ,则 是 x 的更为精确的不足近 a c a?c 16 31 49 ?? ? 似值或过剩近似值.我们知道 ? ? 3.14159? ,若令 ,则第一次用“调日法”后得 是? 的 5 10 15 31 16 ? ? ? ,若每次都取得最简分数,那么第四次用“调日法”后可得 ? 的 更为精确的过剩近似值,即 10 5
设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 近似数为( A.


) B.

22 7

63 20

C.

78 25

D.

109 35
2第

2 10. 在同意直角坐标系中, 函数 y ? ax ? x ?

a 与y ? a 2 x3 ? 2ax 2 ? x ? a (a ? R ) 的图像不可能的是 ( 2



??? ? ??? ? x2 y 2 b ? 0) 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 且 ?F ? 为双曲线上任一点, 1 ??F 2 a b
最小值的取值范围是 ? ? A. 1, 2 ?

? 3 2 1 2? c , ? c ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是( 2 ? ? 4
B. ? 2, 2 ?



?

?

?

?

C. ?1, 2?

D. ? 2, ?? ? )

π 12.定义在 (0, ) 上的函数 f ( x) , f ?( x) 是它的导函数,且恒有 f ( x) ? f ?( x) ? tan x 成立,则( 2

π A. 3 f ( ) > 4

π 2f( ) 3

π B. f (1) < 2 f ( )sin1 6 π π D. 3 f ( ) < f ( ) 6 3

π π C. 2 f ( ) > f ( ) 6 4

评卷人

得分 一、填空题(题型注释)

13.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 (1, 0) ,则准线方程为 14.已知 f ? x ? ? x ? 3xf
2
3

.

'

? 2? ,则 f ? 2? ?



15.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则 a ? 16.已知双曲线
?F1 PF2 =

?

?

.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 PF1 ? PF2 ? 32 ,则 9 16


评卷人


得分

二、解答题(题型注释)
3第

3 2 17.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间. 18.已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 (Ⅰ)当|PF|=2 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)求点 P 到直线 y=x﹣10 的距离的最小值. 19.已知函数 f ( x) ? a( x ?1) ? ln x .
2
2

(1)若 y ? f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,求 a 的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围;

20.已知椭圆 E :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的短轴长为 2,离心率为 ,直线 l 过点 ? ?1, 0? 交椭圆 E 于 2 a b 3

A、B 两点, O 为坐标原点.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)求 ?OAB 面积的最大值. 21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 2 a b 2

半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B , 设 P 为椭圆上一点, 且满足 OA ? OB ? tOP(其 中 O 为坐标原点) ,求整数 t 的最大值. 22.已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若方程 f ( x) ? a 有两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 2 .

??? ? ??? ?

??? ?

1 . x



4第

参考答案 1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B 11.B 12.D 13. x ? ?1 14. 15.1 16. -8

? 2
3 2

17.解: (1) ( f x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,可得 c ? 1 ,

f( ? x) ? 3ax2 ? 2bx,() f ? 1 ? 3a ? 2b ? 1 ①切点为 (1,1) ,说明函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? c 过点 (1,1) ,
代入得 a ? b ? 1 ? 1 ②,由①②,解得 a ? 1 ,b ? ?1 , ?( f x) ? x ? x ?1 ;
3 2

(2)由 f( 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间 ? x) ? 3x2 ? 2x>0 解得 x<0或x> ,

2 3

2 ( ? ?, 0),( , ? ?). 3
18.解: (Ⅰ)由抛物线 x =4y 的焦点为 F,P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点, 故设 P(a, ) , (a>0) , +1=2,
2

∵|PF|=2,结合抛物线的定义得, ∴a=2, ∴点 P 的坐标为(2,1) ;


5第

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 P(a,

) , (a>0) ,

则点 P 到直线 y=x﹣10 的距离 d 为 ∵ ﹣a+10= (a﹣2) +9, ﹣a+10 取得最小值 9, =
2

=



∴当 a=2 时,

故点 P 到直线 y=x﹣10 的距离的最小值=



19.解: (1)∵ f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x ) ? 2ax ? ∵ f ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值,∴ f '(2) ? 0 ,即 a ? 此时,经验证 x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点,故 a ? (2)∵ f '( x ) ? 2ax ?

1 , x

1 . 8

1 8

1 , x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾 ②当 a ? 0 时, f '( x) ?

2ax 2 ? 1 , x 1 1 ; f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? . 2a 2a

令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

(ⅰ)当

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, 2 2a

x ? (1,

1 ) 时, f '( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. 2a
1 1 ? 1 ,即 a ? 时, 2 2a

(ⅱ)当

x ? [1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 满足题意.
综上, a ? 20.解:

1 2



6第

? c 6 ? ?a ? 3 ? ? (1)由题意得 b ? 1 ,由 ? a , 3 得? c ? 2 2 2 ? ?a ? 1 ? c ? ?
∴椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1; 3

(2)依题决设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 由? 3 ,得 ? m ? 3? y ? 2my ? 2 ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
2m ? y1 ? y2 ? 2 ? ? m ?3 ? ? 4m 2 ? 8 ? m 2 ? 3? ? 0 ,设 A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? ,则 ? , ?y y ?? 2 ? 1 2 m2 ? 3 ?

1 1 S?OAB ? ?1? y1 ? y2 ? 2 2
2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ?

3m2 ? 6 , ? m 2 ? 3?
2 2

设 m ? 3 ? t ?t ? 3? ,则 S ?OAB ∵ t ? 3 ,∴ 0 ? t ? ∴当 ?

3t ? 3 ?1? 3 ?1 1 ? 3 ? ? ?3 ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? , 2 t ?t ? t ?t 2? 4

1 , 3

1 t

6 1 ,即 t ? 3 时, ?OAB 面积取得最大值为 ,此时 m ? 0 . 3 3
c2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? .即 a 2 ? 2b2 . ? , 所以 e ? 2 ? 2 a a 2 a 2

21.解: (Ⅰ)由题知 e ?

又因为 b ?

2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1. 1?1
x2 ? y2 ? 1. 2
5分

故椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2
页 7第

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??? ?

1 . 2
8分

x1 ? x2 ?

∵ OA ? OB ? tOP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ?

??? ? ??? ?

x1 ? x2 8k 2 , ? t t (1 ? 2k 2 )

y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴ ∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 )

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2
12 分

t2 ?

16k 2 16 16 ? ? ? 4,则-2 ? t ? 2 , 2 1 1 ? 2k 2 ? 2 ?2 k2
14 分.

∴ t 的最大整数值为 1. 22.解: (1) f ?( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 , ( x ? 0) , x x2 x

所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增,故 f ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 . (2)若方程 f ( x) ? a 有两个根 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) , 则 ln x1 ?

1 1 x ?x x ? ln x2 ? ,即 2 1 ? ln 2 ? 0 . x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x x x x ? 2 ln 2 ,即证 2 ? 1 ? 2 ln 2 , x1 x2 x1 x1 x2 x1

要证 x1 ? x2 ? 2 ,需证 ( x1 ? x2 ) ?



1 x2 x x x ? t (t ? 1) ,则 2 ? 1 ? 2 ln 2 等价于 t ? ? 2 ln t . t x1 x1 x2 x1 1 t

1 2 1 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , 2 t t t 1 所以 g (t ) 在 (1,??) 上单调递增, g (t ) ? g (1) ? 0 ,即 t ? ? 2 ln t ,故 x1 ? x2 ? 2 . t
令 g (t ) ? t ? ? 2 ln t ,则 g ?(t ) ? 1 ?



8第


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