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1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积


1. 3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【教学目标】 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转 换关系。 【教学重难点】 教学重点:运用公式解决问题 教学难点:理解计算公式的由来. 【教学过程】 (一)情景导

入 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式? 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式? 那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节 主要学习的内容。 (二)展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容:
1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换 关系。 (三)检查预习 1.棱柱的侧面展开图是由 梭台的侧面展开图是由 面展开图是 求 、 、 3.几何体的体积是指 2 .几何体的表面积是指 、 ,圆台的侧面展开图是 ,棱锥的侧面展开图是由 , 圆柱的侧面展开图是 。 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 。 ,一个几何体的体积等于 、 , , 圆锥的侧

。 (四)合作探究 面积探究: 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和) 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)

体积探究:
讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 五)交流展示 略
1

(六)精讲精练 1. 教学表面积计算公式的推导: ① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积 和) ② 练习:1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积.(教材 P24 页例 1) 2. 一个三棱柱的底面是正三角形, 边长为 4, 侧棱与底面垂直, 侧棱长 10,求其表面积. ③ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→ 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的 线) , S 圆柱侧 =2 ? rl ,S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, 母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展 开图扇形中心角为 ? ? ? 3600 , S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) , 中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长, 于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为 ? ? 外弧长等 表) 高 (母

l



r l



R?r ? 3600 , l

S 圆台侧 = ? (r ? R )l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) . 例 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为 r ,圆柱侧面 积为 S,求圆锥的侧面积。 解: 设圆锥的母线长为 l , 因为圆柱的侧面积为 S, 圆柱的底面半径为 r , 即 S圆柱侧 ? S , 根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为

S S ,由题意得圆锥的高为 ,又 2?r 2?r
S 2 ) ,根据圆锥的侧面积 2?r

圆柱的底面半径为 r ,根据勾股定理,圆锥的母线长 l ? r 2 ? ( 公式得

S圆锥侧 ? ?rl ? ? ? r ? r 2 ? (

S 2 ) ? 2?r

4? 2 r 4 ? S 2 . 2

变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )

2

A. 18 3

B. 15 3

C. 24 ? 8 3

D. 24 ? 16 3

分析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为 2 3 ,正三棱柱的高 为 2,则底面等边三角形的边长为 4,所以该正三棱柱的表面积为

2. 教学柱锥台的体积计算公式: ① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿子)原理, 教材 P30) ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? →给出柱体体积计算公式:V柱 ? Sh (S 为底面面积, h 为柱体的高) → V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

③ 讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高的圆锥、棱锥之间的体 积关系? ④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? →给出锥体的体积计算公式: V锥 ? Sh

1 3

S 为底面面积,h 为高)

⑤ 讨论:台体的上底面积 S’,下底面积 S,高 h,由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积? ⑥ 给出台体的体积公式: V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 高) → V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径)

1 3

(S, S 分别上、下底面积,h 为

'

1 3

1 3

⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大 为与下底相同时, 台成为柱。 因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、 锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论: 侧面积公式是否也正确? 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?

3

公式记忆: V锥 ? Sh

1 3 1 ' V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3

例 2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形, 俯视图为一个半径 为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A.

3? 3

B.

2 3? 3

C. 3?

D.

?
3

分析:由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径 2, 则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为 3 ,所以这个几何体的体积为

V?

1 3? ? ? ? 12 ? 3 ? . 3 3

答案:A

变式训练: 如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、
俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边 长为 1,那么这个几何体的体积为( )

A.1

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

活动:让学生将三视图还原为实物图,讨论和交流该几 何体的结构特征。 分析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,图中所示 为 该 三 棱 锥 的 直 观 图 , 并 且 侧 棱 PA ? AB, PAVAC, AB ? AC. 则该三棱锥的高是 PA,底面三角 形 是 直 角 三 角 形 , 所 以 这 个 几 何 体 的 体 积 为

1 1 1 1 V ? S ?ABC PA ? ? ?1 ? . 3 3 2 6
答案:D (七)反馈测评 1.三棱锥 V ? ABC 的中截面是 ?A1 B1C1 ,则三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A ? A1 BC 的体 积之比是( ) A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8

分析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为 1:4,
4

将三棱锥 A ? A1 BC 转化为三棱锥 A1 ? ABC ,这样三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A1 ? ABC 的 高相等,底面积之比为 1:4,于是其体积之比为 1:4。 答案:B 【板书设计】 一、柱体、锥体、台体的表面积与体积 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
课前预习学案
一、预习目标 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 二、预习内容 1.棱柱的侧面展开图是由 梭台的侧面展开图是由 面展开图是 求 、 、 3.几何体的体积是指 。 三、提出疑惑 1.利用斜二测画法叙述正确的是( ) 1.一个长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 ,则这个长方体的体积为( ) A.6 A.2 B. 6 B. 2 2 C.3 C. 4 D. 2 3 D.8 。 。 2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是 32? ,则母线长为( ) 3.长、宽、高分别为 a , b, c 的长方体的表面积 S= 2 .几何体的表面积是指 、 ,圆台的侧面展开图是 ,棱锥的侧面展开图是由 , 圆柱的侧面展开图是 。 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 。 ,一个几何体的体积等于 、 , , 圆锥的侧

4.圆台的上、下底面半径分别为 2,4,母线长为 13 ,则这个圆台的体积 V=

课内探究学案
一、学习目标 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。
5

2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换 关系。 学习重点:运用公式解决问题 学习难点:理解计算公式的由来. 二、学习过程 (一)台体、柱体面积问题探究: 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)

讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)

(二)台体、柱体体积探究:
讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 方法:组内讨论,自我展示. (二)精讲点拨、有效训练 1. 教学表面积计算公式的推导: 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表) 圆柱: 侧面展开图是矩形, 长是圆柱底面圆周长, 宽是圆柱的高 (母线) , S 圆柱侧 =2 ? rl , S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展 开图扇形中心角为 ? ? ? 3600 , S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) , 中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长, 于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为 ? ? 外弧长等

r l



R?r ? 3600 , l

S 圆台侧 = ? (r ? R )l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) . 例 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为 r ,圆柱侧面 积为 S,求圆锥的侧面积。

变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )

6

A. 18 3

B. 15 3

C. 24 ? 8 3

D. 24 ? 16 3

2. 教学柱锥台的体积计算公式: 给出台体的体积公式: V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h

1 3

(S, S 分别上、下底面积,h 为高)

'

→ V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径)

1 3

1 3

探究:比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大 为与下底相同时, 台成为柱。 因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、 锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论: 侧面积公式是否也正确? 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?

公式记忆: V锥 ? Sh

1 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
例 2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形, 俯视图为一个半径 为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A.

3? 3

B.

2 3? 3

C. 3?

D.

?
3

7

变式训练: 如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视
图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直 角边长为 1,那么这个几何体的体积为( )

A.1 三、反思总结

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

S 圆柱侧 =2 ? rl ,S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 S 圆台侧 = ? (r ? R )l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) .

1 V锥 ? Sh 3 1 ' V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
四、当堂检测 1.三棱锥 V ? ABC 的中截面是 ?A1 B1C1 ,则三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A ? A1 BC 的体 积之比是( ) A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8

课后练习与提高
1.如图所示,圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的 表面积为( ) A. ? B. 2? C. 3? D. 4?

2.正三棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 2 3 ,则这个正三棱锥的体积是( ) A.

27 4 27 3 C. 4

9 4 9 3 D. 4
B.

3. 已知某个几何体的三视图如图, 根据图中标出的 尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )

A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3
8

C. 2000cm 3

D. 4000cm 3

4.若圆柱的高扩大为原来的 4 倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的 倍;若圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的 4 倍,则圆柱的体积扩大为原来的 倍。 5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,则圆锥的底面面积是 6.右图是一个正方体,H、G、F 分别是棱 AB、AD、 AA1 的 中点。现在沿 ?GFH 所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉部分 的体积是原正方体体积的几分之几? 参考答案:1.C 2.D 3.B 4. 4 16 5. S/2 。

6. 解:设正方体的棱长淡 a ,则正方体的体积为 a 3 . 三棱锥的底面是 Rt?AGF ,即 ?FAG 为 90 ? ,G、F 又分别为 AD、AA1 的中点,所以

1 1 1 1 1 a. 所以 ?AFG 的面积为 ? a ? a ? a 2 . 又因 AH 是三棱锥的高,H 又是 2 2 2 8 2 1 1 1 1 1 2 AB 的中点,所以 AH ? a. 所以锯掉的部分的体积为 ? a ? a 2 ? a . 3 2 8 48 2 1 3 1 1 又因 ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的 . a ? a3 ? 48 48 48 AF ? AG ?

9


高一数学教案:1.3.1_柱体、锥体、台体的表面积与体积(一)

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