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证明不等式----放缩法


不等式的证明——放缩法
学习目标: 1、感受在什么情况下,需要用放缩法证 明不等式。 2、探索用放缩法证明不等式的理论依据 和技巧。 学法指导: 用放缩法证明不等式注意掌握度,不能放 缩过量也不能不够。

复习回顾

D 1.用反证法证明时:其中的结论“a>b”,应假设为( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a≤b
2、学过的重要不等式有哪些?

3、放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的 某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达 到证明的目的。

自主学习教材28页例3、 4的内容, 解决下列问题

知识探究

1 1 1 1 1.若n是自然数,求证 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 1 2 3 n

a b c 2.若 a, b, c ? R,证明: ? 1 ? ? b?c a?c a?b
?

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k k (k ? 1) k ? 1 k

常见方法: 1、分式放缩;2、利用已知结论放缩; 3、裂项放缩;4、先放缩后求和。

理论迁移

例1、已知a, b, c, d ? R , 求证 a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

?

例2、若a, b ? R,证明:
a?b

a?b

1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

1 1 ? 1? ? 1? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b
a b a?b a b 1 ? ? 1? ? ? ? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1 ? a 1 ? b x 1 设函数f ( x) ? ? 1? , 易知当x ? (?1,??)时 1? x 1? x a?b a?b 其为增函数。而 ? a ? b ? a ? b , 故 0 ? . 1? a ? b 1? a ? b

点评:通常可以利用函数的单调性解决比较大 小的问题。

放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小 寻找一个 , 中间量, 如将A放大成C , 即A ? C , 后证C ? B.常用的 放缩技巧有: (1)舍掉(或加进)一些项; (2)在分式中放大或缩小分 子或分母; (3)应用基本不等式进行放 .如 缩 1 2 3 1 2 ① (a ? ) ? ? (a ? ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2? , 2 ? , ? , k k (k ? 1) k k (k ? 1) k k ? k ?1 1 2 ? (以上k ? 2且k ? N ? ) k k ? k ?1

达标检测

n(n ? 1) 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? 2 4x 2、已知 f ?x ? ? 求证:当 n ? N ? 时 1? 4x 1 1 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? 2 1 2 4n 1
证明:由 f (n) ?
1? 4
n

1、已知 n ? N ? ,求证: n(n ? 1) ? n 2 ? n

1? 4 2 ? 2n 1 1 1 ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? 1 ? ?1? ???1? 1 2 2?2 2?2 2 ? 2n 1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? 4 2 2 2 2
n

? 1?

? 1?

归纳延伸 1.放缩法证明不等式的理论依据主要有: (1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为不等量; (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较. 2.常用的放缩技巧: (1)对于分子分母均取正值的分式, (Ⅰ)如果分子不变,分母缩小(分母仍为正数),则 分式的值放大; (Ⅱ)如果分子不变,分母放大,则分式的值缩小。 (2) ①舍掉(或加进)一些项;②在分式中放大或缩小 分子或分母;③应用均值不等式进行放缩.

课后作业
1、教材29页 2,3

2、预习 柯西不等式与排序不等式(熟记这两 种不等式的形式,并能套用相关的形式证明不 等式或求最值。)


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