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高二数学选修2-2第一章 导数及其应用


第一章 导数及其应用
1.1.1 变化率与导数─1.1.2 导数的概念
一. 1、 2、 3、 4、 5、 6、 二. 自主学习,明确目标 会求函数的平均变化率; 知道平均变化率的几何意义; 会求函数在某点处附近的平均变化率 知道瞬时速度、瞬时变化率的概念,能够区分平均速度和瞬 时速度; 理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 会求函

数在某点的导数 研讨互动,问题生成

2 例 3. (1)求函数 y=3x 在 x=1 处的导数.

分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1)再求 解:

?f ?f 再求 y ? lim ?x ?0 ?x ?x

问题 平均变化率

(2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
2

已知函数 f ?x ? , 则变化率可用式子_____________,此式称之为函数 f ?x ? 从 x1 到 x2 的 _______ ____.习惯上用 ?x 表示 x2 ? x1 ,即 ?x =___________,可把 ?x 看做是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1 ? ?x 代替 x2 ,类似有 ?f ( x) ? __________________,于是, 平均变化率可以表示为_______________________
思考:观察函数 f(x)的图象 平均变化率

解:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f 表示什么? ? x2 ? x1 ?x
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: lim
?x ?0

导数的概念

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim 。 ? x ? 0 ?x ?x

' 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的__________,记作 f ( x0 ) 或________________,

即________________________________ 说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim 三.合作探究,问题解决 例 1.已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则
2
?x ?0

四、要点归纳,反思总结 1.平均变化率的概念 2.如何求函数在某点附近的平均变化率 3.瞬时速度、瞬时变化率的概念 4.导数的概念 附注: ①导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率;与上一节的平均变化率不同 ②定义的变化形式: f
'

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

?x ? = ? lim x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?y ; ? lim (?x) ?x?0 ?x

f ' ? x ? = lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y ' ; f ? x ? = lim ; ? lim ? ?x ?0 x ? x0 (?x) x ? x0 ? ?x x ? x0

?y ? ?x



A 、 3

B、 3Δ x-(Δ x)2

C 、 3-(Δ x)2

D 、3-Δ x

?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

2. 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率。

③求函数 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的导数步骤: “一差;二比;三极限” 。
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1.1.3 导数的几何意义
一、自主学习,明确目标 1..知道平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 二、研讨互动,问题生成

四、经典示例,巩固提高 1.求曲线 y=f (x)=x3 在点 (1,1) 处的切线; 2.求曲线 y ?

x 在点 (4, 2) 处的切线.

1.曲线的切线及切线的斜率 P7 (1)如图,当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时, 即 ?x ? 0 时 , 割 线 PPn 趋 近 于 确 定 的 位 置 , 这 个 确 定 位 置 的 直 线 PT 称 为 (2)割线 PPn 的斜率是 kn ? 切线 PT 的斜率 k ,即 k = .

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时, k n 无限趋近于 xn ? x0
?

四.要点归纳,反思总结 求曲线 在一点处的切线的一般步骤 ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

2.导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) = . 3.导函数:由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y ? , 即: f ?( x) ? y? ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k 得到曲线在 点 ?x

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程 习题设计:1. 已知曲线 y ? x ? 1 上的两点 A(2,3) , B(2 ? ?x,3 ? ?y ) ,当 ?x ? 1 时,割线
2

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 4.函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限,它是一个常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数 (3)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求
'

AB 的斜率是__________,当 ?x ? 0.1 时,割线 AB 的斜率是____,曲线在点 A 处的切线方程是 _______。 (知识点 1,易) 2 2.曲线 y ? 2 x ? 1 在点 P (?1,3) 处的切线方程为( ) (知识点 2,易) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1 D. y ? 4 x ? 7 3.已知曲线 y ? A C

4 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 17 ,则直线 l 的方程为 x
B

4 x ? y ? 9 ? 0 或 4 x ? y ? 25 ? 0

4x ? y ? 9 ? 0
(知识点 3,中) (知识点 3,难)

4 x ? y ? 9 ? 0 或 4 x ? y ? 25 ? 0 D 以上都不对 f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? 3h) / 4 若 f ( x0 ) ? ?3 ,则 lim =( ) h ?0 h
A -3 B -6 C -9 D -12

函数在点 x0 处的导数的方法之一。 三、合作探究,问题解决 2 例 1:求曲线 y=f (x)=x +1 在点 P(1,2)处的切线方程.

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1.2 导数的计算 §1.2.1
一、学习目标: 1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 重点:公式的应用. 难点:公式的应用. 二、新课导学,预习完成(阅读课本 12-14 页) 。 (1)利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极限. (2)常见函数的导数公式 函数 导数

5. 过曲线

y?

1 x 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是



几个常用函数的导数

三、解答题
y? 1 x 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线方程.

6. 画出函数

y ?c

y? ? 0

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

y?x
y ? x2

y?

1 x
变式 2:求过曲线上点
(1,1)

y? x
三、课堂反馈及作业 一、选择题 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 2 f ?(3) ? 2.已知 f ( x) ? x ,则 ( ) A.0 B.2 x C.6
2

且与过这点的切线垂直的直线方程.

D.不确定 D.9 小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的.

3. 在曲线 y ? x 上的切线的倾斜角为 4 的点为( ) 1 1 1 1 ( , ) ( , ) (0, 0) (2, 4) A. B. C. 4 16 D. 2 4 二、填空题
2 4. 求曲线 y ? 2 x ? 1 的斜率等于 4 的切线方程是

?

.
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§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则( 1)
教学目标: 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重难点: 能利用导数公式求简单函数的导数,基本初等函数的导数公式的应用:

? ? f ?x ?? 3. ? ? ? ? g ?x ? ?
注意:① 求导数是在定义域内实行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细 心、耐心.积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导;但积法则中间是加号, 商法则中间是 减号。

二、新课导学,预习完成(阅读课本 14-16 页)。 ① 常见函数的导数公式 函数 导数

)? ? c' f( ,即常数与函数的积的导数,等于: x ) 推论: ? c f ( x
'



1、求下列函数的导数

(1) y=2x5-3x2+5x-4;

(2) y=log2x;

(3) y=3cosx-4sinx

y ?c y?x
y ? x2

2、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.

(1) y=2ex;

(2) y ? x ? sin x ;

(3) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ;
2 x

(4) y ?

x 4x

y?
② 基本初等函数的导数公式

1 x
导数

3、曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x



函数

4. 已知函数 f(x)=2x+x2-x, 求 fˊ(1)= ;fˊ(2)= 。 5.(选做)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已 知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 6、(选做)设函数 y ? x
n ?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x

(n ? N ? ) 在 点 ( 1,1 ) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 x n , 则

y ? cos x
y ? f ( x) ? a x y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x
③ 导数运算法则

) x1 ? x2 ????? xn ? ( l l n A. B. C. D. 1 n n ?1 n ?1 2 7、函数 y ? ax ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a ? ( ) 1 1 1 A. B. C. D. 1 8 4 2 3 2 8、已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图像过点 P(0,2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程 为 6 x ? y ? 7 ? 0 ,求函数的解析式。

? 1. ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? 2. ? f ? x ? ? g ? x ?? ?
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§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则( 2)
一、学习目标: 1.了解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数的导数. 教学重点: 掌握复合函数导数的求法 教学难点: 准确识别一个复合函数的复合过程,以便准确应用求导法则进行求导. 二、新课导学,预习完成(阅读课本 16-17 页) 。 (一)复习回顾 1.基本函数的导数公式 (1) ( x )? ? _______(a 为常数) , (2) (sin x)? ? ________, (cos x)? ? ___________ ;
a

例 1、 求 y =(3x-2)2 的导数.

变式练习: (1) 求 y ?

1 的导数. 1 ? 3x

(2)求 y ? lg 1 ? x 2 的导数.

(3) (a x )? ? ________(a ? 0 且 a ? 1 ) , (4) (loga x)? ? ________(a ? 0且a ? 1), 2.导数的运算法则: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? __________ ;

(ex )? ? ________ ; (ln x)? ? ________ 。

(2) [ f ( x) ? g ( x)]? ? ____________ ; [cf ( x)]? ? ________ .

(3) 求 y ? ln(2 x ? 3 x ? 1) 的导数.
2

(3)

[

f ( x) ]? ? ____________ . . g ( x)
.

3. 复合函数: (二) 复合函数的导数

一般地,设函数 u=?(x)在点 x 处有导数 u'x=?'(x),函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导 数 y'u=f '(u) ,则复合函数 y=f(?(x)) 在点 x 处也有导数,且 y'x =y'u·u'x. 或写作 f 'x (?(x))=f '(u) ?'(x). 复合函数对自变量的求导法则, 即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变量的函 数,乘中间变量对自变量的导数. 练习:指出下列复合函数的导数.

1 ? 例 2、 求y ? ? . ? ? 的导数 ? 1 ? 3x ?

4

例 3、 求函数 y ? ( 2 x ? 3) 1 ? x
2

2

的导数.

(1) y ? ( x 2 ? 1) 3 ;

1 (2) y ? sin2 (1 ? ); x

(3) y ? (1 ? cos3 x ) 3 ; (4) y ?

tan x . (2 x ? 1) 3

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1.3.1 函数的单调性与导数(一)
一、教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性. 1.增函数、减函数的定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I:如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量

若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为
2

函数.

例 1.确定函数 f(x)=x -2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.

x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是
当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f (x) 在这个区间上是 2.函数的单调性 如果函数 y=f(x) 在某个区间是 具有(严格 的)单调性,这一区间叫做 y=f(x) 的 在单调区间上增函数的图象是 3. 利用导数的符号来判断函数单调性. 一般地,设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f(x)'>0,则 f(x)为 如果 f(x)'<0,则 f(x)为 4. 利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; .

. .

,那么就说函 数 y=f(x) 在这一区间 区间. 的. 例 2.确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区 间内是增函数,哪个区间内是减函数.
3 2

的,减函数的图象是



(3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递 减区间. 我们把点 d 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (d ) 叫做函数 y ? f ( x) 的 函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (e) 叫做函数 y ? f ( x) 的 . 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ,刻画的是函数的 5. 利用导数的符号来判断函数单调性:设函数 y=f(x)在某个区间内可导 (1)如果 f '(x)>0 ,则 f(x)为严格增函数; (2)如果 f '(x)<0 ,则 f(x)为严格减函数. 4. 若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的 条件.
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; 点 e 叫做

(三)课 堂小结 1.判断函数的单调性的方法;

.

2.导数与单调性的关系; 3.证明单调性的方法. (四)作业

§1.3.2 函数的极值与导数
一、教学目标
知识与技能:理解极大值、极小值的概念; 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极 值; 掌握求可导函数的极值的步骤; 过程与方法:结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 情感态度与价值观:感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是 函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。



设 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ,在 x ? 1 和 x ? ?1 处有极值,且 f ( ?1) =-1,求 a , b , c 的值,并求

出函数的极值。

二、教学重点与难点
教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 1、函数极值概念的形成 1、极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 a 附近有定义,如果对 a 附近的所有的点,都有 f(x)<f(a),
, 右侧 f ( x) ? 0 就说 f(a)是函数 f(x)的一个极大值, f , (a) ? 0 且在点 x=a 附近的左侧 f , ( x) ? 0 ,

已知函数 f(x)=x -3x -9x+11.(1)写出函数 f(x)的递减区间;(2)讨论函数 f(x)的极大 值或极小值,如有试写出极值

3

2

记作 y 极大值=f(a),a 是极大值点 2、极小值:仿照极大值的定义让学生自己写出来。 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值 注:概念讲解完,在分析概念的时候分别从 f(a)和他附近函数值的大小,以及 x=a 处的导数 值和附近导数符号的正负加以分析。 结论: (1)函数的极值不是唯一的; (2)极大值未必大于极小值; (3)区间的端点不能成为极值点 1.求下列函数的极值
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(1) f ( x) = 6 x2 - x - 2;

(2) f ( x) = x3 - 27 x;

2、归纳总结: 1.极值 (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或 小;并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一 个 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。 2. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:
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(3)函数 y ? x 3 的极值点为 x=0
3. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 点(一阶导数为 0 的 x 的值) (3)列表,并通过表格求出函数的极值。 3、课后作业:书本 P32 4 . 5
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§ 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤. 学习新知: 1. 一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 注:1 .函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函 数值得出的. 2. 函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的 条件 3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,可 能一个没有. 2. 求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; (2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值为最小值. 2 3 6 例 1、设 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 ? ,求 3 2 2 函数的解析式.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、 最小值分别为 M、 N, 则 M ? N 的值为 ( A.2 B .4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 15 3. 已知函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为



5. 已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? m ( m 为常数)在 [ ?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [ ?2, 2] 上的最小值 是

小结:本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法,从逆向思维出发,实现由 已知向未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点值大小上, 从而解决问题.

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列两个条 x 件: (1) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.
2 已知 f ( x) ? log 3

※ 学习小结 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如 下:⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;
⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值.

※ 知识拓展 利用导数法求最值,实质是在比较某些函数值来得到最值,因些我们可以在导数法求极值的思 路的基础上进行变通.令 f ?( x) ? 0 得到方程的根 x1 , x 2 , ,直接求得函数值,然后去与端点的 函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.

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§1.4 生活中的优化问题举例(2 课时)
教学目标: 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用 2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 1. 新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几 个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系, 并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数 关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是 一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路: 优化问题
建立数学模型

例 2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料 最省? 解:

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用函数表示的数学问题
解决数学模型

例 2.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲 线上,求这种矩形中面积最大者的边长.

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

例 1.在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如 图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? 解:

x _
60
x x

_

x _
60

_

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1.5.1 曲边梯形的面积
【学习目标】1、知识与技能目标:通过问题情景,经历求曲面梯形的形成过程,了解定积分概 念的实际背景。理解求曲面梯形的一般步骤。 2、过程与方法目标:通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过 类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观目标:体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点,接受用运 动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。 【学习重点】求一般曲面梯形面积的方法。 【学习难点】对以直代曲、无限逼近思想的理解。 1.求曲边梯形面积的四个步骤: 第一步: 第二步: 第三步: 第四步: 说明:(1).归纳以上步骤,其流程图表示为: 分割 ? 以直代曲 ? 求和 ? 逼近 (2).最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值 2. 练习:求直线 x=0,x=1,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积。 2、把区间[1,3] n 等分,所得 n 个小区间,每个小区间的长度为( A. )

1 n

B.

2 n

C.

3 n

D.

1 2n
)

3、把区间 [ a, b] ( a ? b) n 等分后,第 i 个小区间是(

i ?1 i , ] n n i ?1 i ,a ? ] C. [a ? n n
A. [

i ?1 i (b ? a ), (b ? a )] n n i ?1 i (b ? a ), a ? (b ? a )] D. [a ? n n
B. [ )

4、在“近似替代”中,函数 f ( x) 在区间 [ xi , xi?1 ] 上的近似值( A.只能是左端点的函数值 f ( xi )

B.只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 )

C.可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [ xi , xi?1 ] ) D.以上答案均正确 5:求直线 x=1,x=4,y=0 与曲线 y=x 所围成的曲边梯形的面积。
2

当堂检测

1:求由 y=2x2+1,和 x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。
5.小结 求曲边梯形的思想和步骤:分割 ? 以直代曲 ? 求和 ? 逼近
第 10 页 共 10 页

( “以直代曲”的思想)

1.5.2

汽车行驶的路程

(1)__________________________________; (2)__________________________________; (3)__________________________________; (4)__________________________________.

学习目标: 1.用“四步曲”的方法求变速运动物体在某段时间内的路程; 2.了解“以直代曲” 、 “逼近”的思想方法. 自主学习 1.用“四步曲”方法求变速运动在某段时间内的路程 问题 1:如果汽车在行进过程中作变速直线运动,在时刻 t 的速度 v ? ?t ? 2 (单位:km/h) ,那
2

课外作业 1.做直线运动的物体的运动速度 v ? t ,该物体在 t ? 1到 t ? 2 这段时间内所走的路程为( A.
1 3



B.

1 2

C.

3 2

D.2 )

2.一辆汽车以速度 v ? 3t 2 行驶,这辆汽车从 t ? 0 到 t ? 3 这段时间内所行驶的路程为( A.
1 3

B.1

C.3

D.27

么它在 0≤t≤1 这段时间内行驶的路程 S 是多少? ( 1)分割: 把时间区间 [0,1] 等间隔地插入 n ?1 个分点,将它 n 等分,记第 i 个小区间为

t a ? 0 )沿 直 线 运 动 的 物 体 在 t ? 1 到 t ? 4 这 段 时 间 内 所 走 过 的 路 程 为 3 . 以 速 度 v ? a(

____________,此时区间长度 ?t ? ___________. (2)近似代替: 在每个小区间内,变速直线运动可以近似地看作_______________,此时第 i 个小区间内的速度可近似地用__________代替, ?Si ? ?Si ' ? (3)求和: 计算 S n ? (4)求极限:计算 S= = = . . .

____________. 4. .一个物体从距离地面 150m 的高空自由下落,加速度为 9.81(单位: m/s 2 ) . (1)写出速度作为时间的函数的表达式; (2)将时间段 [0, 4] 平均分成 8 等份,计算该物体下落的前 4s 经过的距离的过剩近似值(每个
? i 均取为小区间的右端点)与不足近似值(每个 ? i 均取为小区间的左端点) .

1 i 问题 2:在上面的第二步“近似代替”中,如果我们认为在每个小时间间隔 [ i ? ,2,...,n) n , n ](i ? 1 i i i 2 上,汽车近似地以时刻 n 处的速度 v( n ) ? ?( n ) ? 2 作匀速行驶,从而得到汽车行驶的总路程

5 S 的近似值,用这种方法能求出 S 的值吗?若能求出,这个值也是 3 吗?
2.曲边梯形与汽车行驶路程的关系 问题 3:结合求曲边梯形面积过程,你认为汽车行驶的路程 S 与直线 t ? 0, t ? 1, v ? 0 和 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系? 典型例题 例 1:一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 v(t ) ? ?t 2 ? 5 (单位:km/h) , 试计算这辆汽车在 0≤ t≤2 (单位:h)这段时间内汽车行驶的路程 S (单位:km) . 5.某汽车在公路上变速行驶,行驶速度与时间 t 满足 v(t ) ? t ? 2 (km/h) ,计算这辆汽车在时
2

间段 1≤t≤2 内行驶的路程.

课堂小结

求变速直线运动的物体在某段时间运动的路程的步骤是:
第 11 页 共 11 页

1.5.3
【知识体系】

定积分的概念

x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负
号. ?

?

b

a

f ( x)dx ? x 轴上方面积减 x 轴下方的面积

1. 定积分的概念 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

3. 定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1

a ? x0 ? x1 ? x2 ?

? xi ?1 ? xi ?

? xn ? b
b?a ) ,在每个小区间 ? xi ?1 , xi ? n

? 1dx ? b ? a
a

b

将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?
n n

性质 2 性质 3 性质 4

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质)
b 1 a

b?a 上取一点 ?i ?i ? 1,2, , n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ? f (?i ) n i ?1 i ?1
如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为 函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为: S ?

? [f
a

b

1

(x ) ? f2 ( x ) ] d? x?
c

f ( x) ? d? x

b 2

a

f( x ) d x (定积分的线性性质)

? ? ? f ( x) d x
a a

b

f ( x ) d ? x?
c

b

(f ) x 其中 d( x

? a ? c(定积分对积分区间的可加性) ) b

?

b

a

f ( x)dx ,其中 f ( x) 成为被积函数, x 叫

性质 5 若 f ( x) ? 0, x ? ?a, b?,则

?

b

a

f ( x)dx ? 0

做积分变量, [ a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。 说明: (1)定积分 而不是 Sn . (2)用定义求定积分的一般方法是: ①分割: n 等分区间 ?a , b? ;②近似代替:取点 ?i ?? xi ?1 , xi ? ;
b b?a b?a ③求和: ? f (?i ) ;④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? a n ?? n n i ?1 i ?1 n n

性质 6 如果在区间 [ a, b] 上有 f ( x) ? g ( x) ,则 利用定积分的几何意义求下列定积分

?

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a

b

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为 ? f ( x)dx ,
a

b

1.

?

2

1

( x ? 1)dx

2.

?

5

0

(2 x ? 4)dx

3.

?

1

?1

x dx

4.

(3)曲边图形面积: S ?
t2

? f ? x ?dx ;变速运动路程
a
b a

b

S ? ? v(t )dt ;变力做功 W ? ? F (r )dr
t1

2.定积分的几何意义 如果在区间 [ a ,b ] 上函数连续且恒有 f ( x) ? 0 ,那么定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示由直线 x ? a , x ? b( a ? b ) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积。

说明:一般情况下,定积分

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线
第 12 页 共 12 页

1.6 微积分基本定理
一:教学目标 知识与技能目标
通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数

(1)若f ( x) ? c, 则F ( x) ? ___________ (2)若f ( x) ? x3 , 则F ( x) ? ___________ (3)若f ( x) ? x , 则F ( x) ? ___________ (4)若f ( x) ? x n , 则F ( x) ? ___________
(5)若f ( x) ? sin x, 则F ( x) ? ___________ (6)若f ( x) ? cos x, 则F ( x) ? ___________ (7)若f ( x) ? a x , 则F ( x) ? ___________ (8)若f ( x) ? e x , 则F ( x) ? ___________ (9)若f ( x) ?
1

过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯 物主义观点,提高理性思维能力。

二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系, 使学生直观了解微积分基本定理的含义,
并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 1:定理 如果函数 F ( x) 是 [ a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则

题型一:用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、

1 , 则F ( x) ? ___________ x
2、

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

(1)定义表达式:

?

b

?

0

x dx

2

?

?

4 0

cos 2 xdx

a

f (x)dx=

(2)定积分几何意义: ① ②

? ? ?
?

b

a b

f (x)dx (f (x) ? 0) 表示 f (x)dx (f (x) ? 0) 表示
3、

a

(3)定积分的性质 ① ② ③
b

?e
0

1

2x

dx

4、

?

1

0

(x2-2x)dx;

a
b

kf (x)dx=
1 2

? [f (x) ? f (x)]dx=
a b a

f (x)dx=

例 1:计算

?

1

0

x 2 dx =
2

例 2.汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?

5.

?

2

0

(4-2x)(4-x )dx;

2

6.

?

2

1

x2+2x-3 dx. x

第 13 页 共 13 页

题型二:用微积分基本定理求分段函数的定积分

? x 2 (0 ? x ? 1) 2 ? 7.设 f ( x) ? ? ,则 ? f ( x)dx 等于( 0 ? ?2 ? x ?1 ? x ? 2 ?
A. 8. 3 4 B. 4 5 5 C. 6 ) B. D.不存在

3 1 - 2 sin 2. ( 0

?

?
2

?
2

)d? 的值为
1 C. 2



) 3 2

) A.-

3 2

1 B.- 2

D.

?

1

-1

|x|dx 等于(

3.函数 F(x)=

?

x

0

costdt 的导数是( C.-cosx ) B.f(3b)-f(3a)

) D.-sinx

A. C.

?
?

1

-1
0

xdx
(-x)dx+

?
?

1

A.cosx dx 4.

B.sinx

-1
0

-1

?

1

0

xdx

D.

-1

xdx+

?

1

0

(-x)dx

?

b

a

f′(3x)dx=(

A.f(b)-f(a) 1 C. [f(3b)-f(3a)] 3
2

9、 利用定积分的几何意义计算定积分 ① ②

D.3[f(3b)-f(3a)]

5. ? x2 ? x dx =_________
?1

6.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为________. 7.已知 f(x)=3x +2x+1,若 ③ ④.
2

?

6

?

1

-1

f ( x)dx =2f(a)成立,则 a=________.

0

(2x-4)dx

8.已知 f ? x ? ? ?

3 ?2 x ? 1, x ? ? ?2, 2? 40 ? 当 k 为何值时, ? f ? x ?dx ? 成立 2 k 3 ? ? 1 ? x , x ? ? 2, 4?

当堂检测: 1. 计算

?

1

0

x 2 dx



?

2

x 1 ? x2

0

dx

第 14 页 共 14 页

1.7.1
学习目标:

定积分在几何中的应用

1、下列积分正确的一个是( )

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2.掌握利用定积分求曲边图形的面积 学习重点与难点: 1. 定积分的概念及几何意义 定积分的基本性质及运算的应用 2、下列命题中 不正确的是( )

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 例 1.求椭圆 a 的面积。

A、1

B、2

C、

D、0

4、曲线 y=x 与直线 y=x 所围图 形的面积等于( )

3

,k.Com]

例 2.求曲线 y=sinx ,x? [0,

2? 2? ,x 轴所围成图形的面积 ] 与直线 x=0 , x ? 3 3

5.求函数

f (a) ? ?0(6 x 2 ? 4ax ? a 2 )dx 的最小值

1

三、当堂检测
第 15 页 共 15 页

1.7.2 定积分在物理中的应用
【复习回顾】定积分的几何意义;曲线所围平面图形的面积求法. 【学习目标】 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 【例证题】 一、知识要点:作变速直线运动的物体在时间区间 ?a, b? 上所经过的路程 S ,等于其 速度函数 v ? v(t )(v(t ) ? 0) 在时间区间 ?a, b? 上的 ,即 .

【作业】 1、设物体以速度 v(t ) ? 3t 2 ? t (m / s) 作直线运动,则它在 0 ~ 4 s 内所走的路程(
A.70 m B.72 m C .75 m D.80 m



2、设列车从 A 点以速度 v(t ) ? 24 ? 1.2t (m / s) 开始拉闸减速,则拉闸后行驶 105 m 所需 时间为( ) A.5s B.10 s C.20 s
D.35 s

例 1:变速直线运动的物体速度为 v(t ) ? 1 ? t 2 , 初始位置为 x0 ? 1, 求它在前 2 s 内所走 的路程及 2 s 末所在的位置.

3、以初速 40 m / s 竖直向上抛一物体, ts 时刻的速度 v ? 40 ? 10t 2 , 则此物体达到最高 时的高度为( ) 160 80 40 A. m B. m C. m 3 3 3
20 m 3

D.

4 、质点由坐标原点出发时开始计时,沿 x 轴运动,其加速度 a(t ) ? 2t ,当初速度
v(0) ? 0 时,质点出发后 6 s 所走的路程为(

) )

A.12 B.54 C .72 D.96 5、如果 1N 能拉弹簧 1cm ,为了将弹簧拉长 6cm ,所耗费的功为( A.0.18 J B.0.26 J C.0.12 J D.0.28 J

6、一物体在力 F ( x) ? 3x 2 ? 2x ? 5 (力: N ;位移: m )作用下沿与力 F ( x) 相同的 二、要点:如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F ( x) 相同方 向从 x ? a 移动到 x ? b(a ? b), 则变力 F ( x) 所作的功 W = . 方向由 x ? 5m 直线运动到 x ? 10 m 处作的功是( ) A.925 J B.850 J C.825 J D.800 J 7、将一弹簧压缩 x 厘米,需要 4 x 牛顿的力,将它从自然长度压缩 5 厘米,外力作的 功是 55 8、一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度 v(t ) ? 5 ? t ? 1? t (单位: m / s )紧急刹车至停止.求 (1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹车后火车运行的路程.

例:一物体在变力 F ( x) ? 5 ? x 2 作用下,沿与 F ( x) 成 30 ? 方向作直线运动,则由 x ? 1 运动到 x ? 2 时 F ( x) 作的功为 .

第 16 页 共 16 页

9、把一个带 ? q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处,形成一个电场,已知在该电
q (其中 k 为常 r2 数) 确定.在该电场中, 一个单位正电荷在电场力的作用下, 沿着 r 轴的方向从 r ? a 处

拱的面积.

场中,距离坐标原点为 r 处的单位电荷受到的电场力的由公式 F ? k

移动到 r ? b(a ? b) 处,求电场力对它所做的功.

1、质点由坐标原点出发时开始计时,沿 x 轴运动,其加速度 a(t ) =2t,当
10、 A, B 两地相距 5m ,物体 a 从 A 以速度 v ? 3t 2 ? 1(单位: v, m / s ; t , s. )朝 B 做 直线运动,同时物体 b 以速度 v ? 10 t 朝 A 做直线运动,问两物体何时相遇?相遇地 与 A 地的距离是多少?

初速度 v(0) ? 0 时,质点出发后 6 s 所走的路程为(
A.12 B.54 C .72


D.96

2、如果1N 能拉弹簧1cm ,若将弹簧拉长 6cm ,所耗费的功为(
A.0.18 J B.0.26 J C.0.12 J D.0.28 J



3、设列车从 A 点以速度 v(t ) ? 24 ? 1.2t (m / s) 开始拉闸减速,则拉闸后行驶
105m 所需时间为(


C.20 s

A.5s

B.10 s

D.35 s

4、一物体沿直线以 v ? 2t ? 3 (t 单位:s,v 单位:m/s)的速度运动,则 该物体从 t=3 到 t=5 行进的路程为 5、做变速直线运动的物体的速度 v(t ) ? 4 ? t 2 ,则它在第 2 秒内的位移是
11、一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高为常数 h ,宽为常数 b , 求抛物线
第 17 页 共 17 页

6、将一弹簧压缩 x 厘米,需要 4x 牛顿的力,将它从自然长度压缩 5 厘 米,外力作的功是 7、一物体在变力 F ( x) ? 5 ? x2 作用下,沿与 F ( x) 成 30 ? 方向作直线运动,则 由 x ? 1 运动到 x ? 2 时 F ( x) 作的功为 _____

10.如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 lm 处, 求克服弹力所作的功.

8.一辆汽车的速度一时间曲线如图所示. 求汽车在这 1 min 行驶的路程.
v(m/s)
30 20 10

A

B

C
10 20 30 40 50 60

O

t/s

11.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 ( x 的单位:m, x 的单位:N)的作用下,沿 着与 F ( x) 相同的方向作直线运动,从 x ? 0 处运动到 x ? 4 ,求 F ( x) 所做的 功. 9.一物体沿直线以 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位: s) 的速度运动, 求该物体在 3 ~ 5 s 间行进的路程.

第 18 页 共 18 页


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