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§3.3.1-2几何概型(二)


§3.3.1-2几何概型(二)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§3.3.1-2几何概型(二)

复习回顾: 1.几何概型的特点: ⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图 形A中. 2.古典概型与几何概型的区别.

相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.
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§3.3.1-2几何概型(二)

3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)? . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

4.几何概型问题的概率的求解.

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§3.3.1-2几何概型(二)

巩固练习:
1、某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过, 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等 车不超过3分钟的概率. 3

p?

5

2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概率.

? 3 P2 ? 8
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P? 1

1

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3、某商场为了吸引顾客,设立 了一个可以自由转动的转盘, 黄 并规定:顾客每购买100元的商 绿 品,就能获得一次转动转盘的 绿 黄 机会. 如果转盘停止时,指针正 好对准红、黄或绿的区域,顾 绿 客就可以获得100元、50元、20 绿 红 元 的 购 物 券 ( 转 盘 等 分 成 20 份). 甲顾客购物120元,他获得购物券的概率是多少?
他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少?

7 p1 ? 20
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1 p2 ? 20

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1 p3 ? 10

1 p4 ? 5
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例题讲解:

例1.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一 C 点M,求AM小于AC的概率.

解: 在AB上截取AC’=AC, 故AM<AC的概率等于 AM<AC’的概率.

A 记事件A为“AM小于AC ”,
AC AC ? AC 2 P ( A) ? ? ? ? AB AB 2 2 AC

M

C’

B

答:AM<AC的概率等于
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2 2
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例2. “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参 与者只须将手上的“金币”(设“金币”的直径为 r)抛向离身边若干距离的阶砖平面上 ,抛出的 “金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为a的正 方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠),便可 获奖. 问:参加者获奖的概率有多大?

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设阶砖每边长度为a , “金币”直径为r . 若“金币”成功地落 在阶砖上,其圆心必 位于右图的绿色区域 A内. a A
S

a 问题化为:向平面区域S (面积为a2)随机投 点( “金币” 中心),求该点落在区域A内 的概率.
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于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 p? S的面积 (a ? r ) ? 2 a
2

a
0<r<a

A

a

由此可见,当r接近a, p接近于0; 而当r接近0, p接近于1. 若r>a, 你还愿意玩这个游戏吗?
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例 3. (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 17点之 间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在 这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影 响.求二人能会面的概率. 解: 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是 y 即 点 M 落在图中的阴影部 5 分.所有的点构成一个正方 4 形,即有无穷多个结果.由 3 .M(X,Y) 于每人在任一时刻到达都是 2 等可能的,所以落在正方形 1 内各点是等可能的. 0 1 2 3 4 5 x
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二人会面的条件是:| X ?Y |? 1,
阴影部分的面积 P ( A) ? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

y 5 4 3 2 1 0

y-x =1
y-x =-1

答:两人会面的概率等于

9 25

1

2 3 4

5 x

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【变式题】假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6:30—7:30 之间把报纸送到你家

你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间

问你父亲在离开家前能得到报纸 (称为事件A)的概率是多少?
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6:30—7:30之间 报纸送到你家 7:00—8:00之间 父亲离开家 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率 是多少? 提示: 如果用X表示报纸送到时间 用Y表示父亲离家时间 那么X与Y之间要满足哪些关系呢?

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解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在 离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以

302 602 ? 2 ? 0.875 P( A) ? 2 60

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例4.在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐角三 角形的概率. 解:在一个圆上任取三点A、B、C,构成的三角形内 角分别为∠A、 ∠B、 ∠C. ?0 ? x ? ? , 设∠A=x, ∠B=y,则 ? ?0 ? y ? ? ? x . A
? ? ?0 ? x ? 2 , B ? C ? ? ?0 ? y ? , 2 构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是:? ? ? ?x ? y ? 2 ?
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它们构成本试验的样本空间 S.

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?0 ? x ? ? , ? ?0 ? y ? ? ? x .

? ? ?0 ? x ? 2 , ? ? ? ?0 ? y ? , 2 ? ? ? ?x ? y ? 2 ?
1 4

y

?
? 2
O

S
? 2

?

x

由几何概率计算得所求概率为

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练一练
1.在线段 AD 上任意取两个点 B、C,在 B、C 处折断 此线段 而得三折线,求此三折线能构成三角形的概率. 2. 在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币,问方 格多小才能使硬币与线相交的概率大于 0.99 ? 3.Bertrand 问题:已知半径为 1 的圆的内接等边 三角形边长是 3 ,在圆内随机取一条弦,求弦长 超过 3 的概率. 4.一个服务窗口每次只能接待一名顾客,两名顾客 将在 8 小时内随机到达.顾客甲需要 1 小时服务时 间,顾客乙需要 2 小时.计算有人需要等待的概率.
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回顾小结:
1.几何概型的特点:
⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

2.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

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回顾小结:
3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)? . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
4.几何概型问题的概率的求解.

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书面作业
<<教材>> P.142 习题3.3 A组2.3

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