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2013年高三数学(理科)二轮复习教案专题七第二讲椭圆、双曲线、抛物线


第二讲

椭圆、双曲线、抛物线

研热点(聚焦突破)
类型一 椭圆 1.定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). x2 y2 2.标准方程:焦点在 x 轴上:a2+b2=1(a>b>0); y2 x2 焦点在 y 轴上:a2+b2=1(a>b>0); 焦点不确定:mx2+ny2=1

(m>0,n>0). c 3.离心率:e=a= b 1-(a)2<1.

2b2 4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 a . [例 1] x2 y2 (2012 年高考安徽卷)如图, F1(-c, F2(c, 点 0), 0)分别是椭圆 C: 2+b2=1(a>b>0) a

的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂 a2 线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

[解析]

解法一

b2 a -0 b2 b2 由条件知,P(-c, a ),故直线 PF2 的斜率为 kPF2= =-2ac. -c-c

因为 PF2⊥ 2Q,所以直线 F2Q 的方程为 F 2ac 2ac2 y= b2 x- b2 , a2 故 Q( c ,2a).

a2 由题设知, c =4,2a=4,解得 a=2,c=1. x2 y2 故椭圆方程为 4 + 3 =1. a2 b2 解法二 设直线 x= c 与 x 轴交于点 M.由条件知,P(-c, a ). |PF1| |F1F2| 因为△PF1F2∽ F2MQ,所以|F M|= |MQ| , △ 2 b2 a 2c =|MQ|,解得|MQ|=2a. -c

即a2 c

2 ?a ? =4, ?a=2, 所以? c 解得? ?c=1. ?2a=4, ?

x2 y2 故椭圆方程为 4 + 3 =1. y-2a (2)证明:直线 PQ 的方程为b2 = a2, -2a -c- c a c 即 y=ax+a. x2 y2 将上式代入a2+b2=1 得 x2+2cx+c2=0, b2 解得 x=-c,y= a . 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. a2 x- c

跟踪训练 x2 y2 1.已知圆 M:x +y +2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C:a2+ 3 =1 的左焦点为 F(-
2 2

c,0),若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为( 3 A. 4 B.1 C.2 D.4

)

解析:圆 M 的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得 m2+3=4,即 m2=1(m<0),∴m =-1, 则圆心 M 的坐标为(1, 由题意知直线 l 的方程为 x=-c, 0). 又∵直线 l 与圆 M 相切, 2 ∴c=1,∴a -3=1,∴a=2. 答案:C x2 y2 2.(2012 年山东师大附中一测)点 P 是椭圆25+16=1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、 右焦点,且△PF1F2 的内切圆半径为 1,当 P 点在第一象限时,P 点的纵坐标为( 8 A.3 5 B.8 3 C.8 8 D.5 )

解析:由题意知,|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,设点 P 的纵坐标为 yp,由题意易知 S△ |PF1|+|PF2| 1 1 8 PF1F2=2(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)× 2|F1F2|·p,所以 yp= |F F | +1=3. 1= y 1 2 答案:A 类型二 双曲线 1.定义式:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). 2.标准方程 x2 y2 焦点在 x 轴上:a2-b2=1(a>0,b>0), y2 x2 焦点在 y 轴上:a2-b2=1(a>0,b>0),

焦点不明确:mx2+ny2=1(mn<0). 3.离心率与渐近线问题 (1)焦点到渐近线的距离为 b; c (2)e=a= b 1+(a)2>1,

注意:若 a>b>0,则 1<e< 2, 若 a=b>0,则 e= 2, 若 b>a>0,则 e> 2.; b (3)焦点在 x 轴上,渐近线的斜率 k=± , a a 焦点在 y 轴上,渐近线的斜率 k=± ; b x2 y2 (4)与a2-b2=1 共渐近线的双曲线方程可设为 x2 y2 a2-b2=λ(λ≠0). [例 2] x2 y2 (1)(2012 年高考湖南卷)已知双曲线 C:a2-b2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C ) x2 y2 C.80-20=1 x2 y2 D.20-80=1

的渐近线上,则 C 的方程为( x2 y2 A.20- 5 =1

x2 y2 B. 5 -20=1

x2 y2 (2)(2012 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 m- 2 =1 的离心率为 5, m +4 则 m 的值为________. [解析] (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.

x2 y2 ∵双曲线a2-b2=1 的焦距为 10, ∴c=5= a2+b2.①

b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, a 2b ∴ a =1,即 a=2b.② 由①②解得 a=2 5,b= 5,故应选 A. (2)建立关于 m 的方程.

c2 m+m +4 ∵c =m+m +4,∴e =a2= =5, m
2 2 2

2

∴m2-4m+4=0,∴m=2. [答案] (1)A (2)2

跟踪训练 x2 y2 1.(2012 年合肥模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线 a b FM 交 y 轴于点 P,切圆于点 M, A. 2 C.2 B. 3 D. 5 ,则双曲线的离心率是( )

解析:由已知条件知,点 M 为直角三角形 OFP 斜边 PF 的中点,故 OF= 2OM,即 c = 2a,所以双曲线的离心率为 2. 答案:A x2 y2 2.已知双曲线a2-b2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 π 曲线一个交点为 P,且∠PF1F2=6,则双曲线的渐近线方程为__________________. b2 b2 π 2b2 解析:根据已知得点 P 的坐标为(c,±a ),则|PF2|= a ,又∠PF1F2=6,则|PF1|= a , 2b2 b2 b2 b 故 a - a =2a,所以a2=2,a= 2,所以该双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 答案:y=± 2x 类型三 抛物线 1.定义式:|PF|=d. 2.根据焦点及开口确定标准方程.注意 p>0 时才有几何意义,即焦点到准线的距离. 3.直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则有: (1)通径的长为 2p; 2p (2)焦点弦公式:|AB|=x1+x2+p=sin 2θ;

p2 (3)x1x2= 4 ,y1y2=-p2; (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切; 1 1 2 (5)|AF|+|BF|=p. [例 3] (2012 年高考福建卷)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在

抛物线 E:x2=2py(p>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q,证明以 PQ 为直径的圆恒 过 y 轴上某定点. [解析] (1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30° . 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30° =4 3, y=|OB|cos 30° =12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p× 12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. (2)证明:证法一 1 1 由(1)知 y=4x2,y′=2x.

1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0=4x2,且 l 的方程为 0 1 1 1 2 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0x-4x0.
2 1 ? x -4 ? 1 ?y= x0x- x2, ?x= 0 , 4 0 得? 2x0 由? 2 ?y=-1 ?y=-1. ? ?

x2-4 0 所以 Q 为( 2x ,-1). 0

???? ???? ? 1 2 设 M(0,y1),令 MP ? MQ =0 对满足 y0=4x0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立.

???? ???? x2-4 ? 0 由于 MP =(x0,y0-y1), MQ =( 2x ,-1-y1), 0

???? ???? ? x2-4 0 由 MP ? MQ =0,得 2 -y0-y0y1+y1+y2=0, 1
即(y2+y1-2)+(1-y1)y0=0. 1 1 由于(*)式对满足 y0=4x2(x0≠0)的 y0 恒成立, 0 ?1-y1=0, 所以? 2 ?y1+y1-2=0, 解得 y1=1. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 1 1 1 2 1 证法二 由(1)知 y=4x2, 2x.设 P(x0, 0), x0≠0, 0=4x0, l 的方程为 y-y0=2x0(x y′= y 则 y 且 1 1 -x0),即 y=2x0x-4x2. 0
2 1 ? x0-4 ? 1 ?x= ?y= x0x- x2 4 0,得? 2x0 , 由? 2 ?y=-1 ?y=-1. ? ?

(*)

x2-4 0 所以 Q 为( 2x ,-1). 0 取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交 y 轴于点 1 3 1 M1(0,1)、M2(0,-1);取 x0=1,此时 P(1,4),Q(-2,-1),以 PQ 为直径的圆为(x+4)2 3 125 7 +(y+8)2= 64 ,交 y 轴于点 M3(0,1)、M4(0,-4). 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点.
???? ???? x2-4 ? 0 因为 MP =(x0,y0-1), MQ =( 2x ,-2), 0

???? ???? x2-4 ? 0 所以 MP ? MQ = 2 -2y0+2
=2y0-2-2y0+2=0. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

跟踪训练 (2012 年郑州模拟)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其 准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )

A.y2=9x

B.y2=6x

C.y2=3x

D.y2= 3x |BB1| = |FF1|

解析:过点 B 作准线的垂线,垂足为 B1,记准线与 x 轴的交点为 F1,则依题意得

|BC| 2 2 2p 2p =3,所以|BB1|=3|FF1|= 3 ,由抛物线的定义得|BF|=|BB1|= 3 .令 A(x1,y1)、B(x2,y2), |CF| p p 依题意知 F(2,0),可设直线 l 的方程为 y=k(x-2).

2 ?y =2px ? p(k2+2) k2p2 联立方程? , 消去 y 得 k2x2-p(k2+2)x+ 4 =0, x1+x2= 则 ,1·2 x x p k2 ?y=k(x-2) ?

p2 p p 1 1 2 1 3 2 = 4 .又由抛物线的定义知|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,则可得|AF|+|BF|=p,于是有3+2p=p, 解得 2p=3,所以此抛物线的方程是 y2=3x,选 C.

答案:C

析典题(预测高考)
高考真题 x2 2 【真题】 (2012 年高考陕西卷)已知椭圆 C1: 4 +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程;

??? ? ??? ? (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.
【解析】 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 y2 x2 a2+ 4 =1(a>2), a2-4 3 3 其离心率为 2 ,故 a = 2 ,解得 a=4. y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1. (2)解法一 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), ??? ? ??? ? 由 OB ? 2OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 4 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4,
2 所以 xA=

4 . 1+4k2

y2 x2 将 y=kx 代入16+ 4 =1 中,得(4+k2)x2=16,
2 所以 xB=

16 . 4+k2

??? ? ??? ? 16 16 又由 OB ? 2OA ,得 x2 =4x2 ,即 , 2= B A 4+k 1+4k2
解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 解法二 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), ??? ? ??? ? 由 OB ? 2OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 4 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,

2 所以 xA=

4 . 1+4k2

??? ? ??? ? 16 16k2 2 2 由 OB ? 2OA ,得 xB= ,y = . 1+4k2 B 1+4k2
将 y2 x2 2 2 xB,yB代入 + =1 16 4 4+k2 中,得 =1, 1+4k2

即 4+k2=1+4k2, 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 【名师点睛】 本题主要考查椭圆的简单性质及直线与椭圆的位置关系的应用.考查化归思 想及运算求解能力.难度中上.本题(2)中=2 的作用是:一是说明直线 AB 过原点可设出直线 AB 的方程.二是利用向量知识可得 A、B 点之间横坐标的关系以便建立方程求斜率 k. 考情展望 高考对椭圆、双曲线、抛物线的考查,各种题型都有.选择、填空中主要考查这三种圆锥曲 线的定义及几何性质与应用.解答题中着重考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系,涉 及方程求法、范围、最值、定点、定值的探索与证明问题等内容.难度中上. 名师押题 【押题】已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上, π 圆 M 与 y 轴相切, 过原点 O 作倾斜角为3的直线 n, 交直线 l 于点 A, 交圆 M 于不同的两点 O、 B,且|AO|=|BO|=2.

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程;
???? ??? ? ? (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值;

(3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S、T,求证:直线 ST 恒过一个定点,并 求该定点的坐标. 【解析】 (1)易得 B(1, 3),A(-1,- 3),设圆 M 的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0), 将点 B(1, 3)代入圆 M 的方程得 a=2,所以圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4,因为点 A(- p 1,- 3)在准线 l 上,所以2=1,p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.
???? ? (2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点 P(x,y),则 PM =(2-x,-y),=(1-x,-y),又点

??? ? P 在抛物线 y2=4x 上, 所以 PF =(2-x)(-x)+y2=x2-3x+2+4x=x2+x+2, 因为 x≥0, ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 所以 PM ? PF ≥2,即 PM ? PF 的最小值为 2.

(3)设点 Q(-1,m),则|QS|=|QT|= m2+5,以 Q 为圆心, 为(x+1)2+(y-m)2=m2+5,即 x2+y2+2x-2my-4=0① 又圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4, 即 x2+y2-4x=0② 由①②两式相减即得直线 ST 的方程:3x-my-2=0, 2 显然直线 ST 恒过定点(3,0).

m2+5为半径的圆的方程


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