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玉溪一中高2014届高三第二次月考数学试卷(文科)


玉溪一中高 2014 届高三第二次月考数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A= [?1,3) , CU B ? (??,1) ? (4,??) ,则 A ? B ? (A) (-1,1) 2.若复数

z 满足 (A) 2 ? 2i (B) (-1,3) (C) [1,3) (D) [1,4]

3?i ? 1 ? i , i 是虚数单位,则 z ? z
(B) 1 ? 2i (C) 2 ? i (D) 1 ? 2i

3.下列函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 (A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? 2 ? lg x (C) y ? x3 (D) y ?| x | ?3

4.已知 sin10 ? ? k ,则 sin 70? ? (A) 1 ? k 2 (C) 2k 2 ? 1 (B) 1 ? 2k 2 (D) 1 ? 2k 2 2 2 2

5.某几何体的三视图如右图所示,它的体积为 (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 4

6.若 a, b ? R ,且 a ? b ,则下列不等式成立的是 (A)

a ?1 b

(B) a ? b
2

2

(C) lg( a ? b) ? 0

(D) ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

7.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是 (A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)

4 5
C上

8.已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上, P(1 , ? 2) 是 的点,且 y ? 2x 是 C 的一条渐近线,则 C 的方程为 (A)
y ? x2 ? 1 2
2 2 2

(B) 2 x 2 ?
2

y ?1 2
2

2

y y ?1 ? x2 ? 1 或 2 x2 ? (C) 2 2

y y ? x2 ? 1 或 x2 ? ?1 (D) 2 2

2 9.已知函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 1) ,若 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

·1 ·

f ( x1 ) f ( x2 ) > x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (C) < x1 x2
(A) 离均不小于 1 的概率是 (A)

f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (D)无法判断 与 的大小 x1 x2
(B)

10.在菱形 ABCD 中, ?ABC ? 30?, BC ? 4 ,若在菱形 ABCD 内任取一点,则该点到四个顶点的距

? 6

(B) 1 ?

?
6

(C)

? 8

(D) 1 ?

?
8

11.若函数 y ? (A)

? 6

1 3 x ? x 2 ? 1 (0 ? x ? 2) 的图象上任意点处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的最小值是 3 3? ? 5? (B) (C) (D) 4 6 4

12.已知函数 f ? x ? ? ? 3 sin x ? 3cos x ,若 x1 ? x2 ? 0 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 | x1 ? x2 | 的最小 值为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上. 13. " a ? 1 或 b ? 1" 是 " a ? b ? 2" 的 条件.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14 .设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 的最大值为 10 ,则 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
a ? ______.
15.已知向量 a , b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 1, b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a 方向上的投影是 ________. 16. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 ? x ? 2, x ? 0 )? ,则 f (2013 ? f ( x ? 2) ? 1, x ? 0

.

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 已知各项为正数的等差数列 ?an ? 满足 a3 ? a7 ? 32 , a2 ? a8 ? 12 ,且 bn ? 2 n ( n ? N * ) .
a

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .
·2 ·

18. (本小题满分 12 分)气象部门提供了某地今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: t ? 22℃ 22℃ < t ? 28℃ 28℃ < t ? 32℃ t ? 32 ℃ 日最高气温 t (单位:℃ ) 天数 6 12

X

Y

由于工作疏忽,统计表被墨水污染, X 和 Y 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的 日最高气温不高于 32℃ 的频率为 0.9. (Ⅰ) 若把频率看作概率,求 X , Y 的值; (Ⅱ) 把日最高气温高于 32℃ 称为本地区的“高温天气” ,根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并 据此你是否有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关?说明理由. 高温天气 非高温天气 合计 旺销 不旺销 合计 附: k ?
2

1 6

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )

k

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为平行四边形,且 BC ? 平面PAB ,

PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 , AB ? 1 .
(Ⅰ)求证: PD ?? 平面AMC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MBC 的

P
高.

M D
·3 ·

A

C

B

20. (本小题满分 12 分)已知 P( x0 , 8) 是抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上的点, F 是 C 的焦点, 以 PF 为直径的圆 M 与 x 轴的另一个交点为 Q(8, 0) . (Ⅰ)求 C 与 M 的方程; (Ⅱ)过点 Q 且斜率大于零的直线 l 与抛物线 C 交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, △ AOB 的面积为

64 13 ,证明:直线 l 与圆 M 相切. 3
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ?1)e x ?2 x ? 1 在 x ? 0 处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时,

f ( x) ? 1 x2 ? 1 ? ? . ex x ?1

请从所给的 22、23 两题中选定一题作答,多答按所答第一题评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? x ? 6 cos? 直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 2 sin?
? 3 x? t ? ? 2 ( t 为参数) , T 为直线 l 与曲线 C 的公共点. 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? ?y ? 2 ? 1 t ? ? 2

极坐标系. (Ⅰ)求点 T 的极坐标; (Ⅱ)将曲线 C 上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)后得到曲线 W ,过点 T 作直线
·4 ·

m ,若直线 m 被曲线 W 截得的线段长为 2 3 ,求直线 m 的极坐标方程.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?ax .(Ⅰ)当 a ? ?2 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 2a ? 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

第二次月考数学试卷(文科)答案
一、选择题 题号 1 答案 C 2 B 3 C 14 .2 4 B 5 A 15 .0 6 D 7 C 8 A 16 .1007 9 C 10 D 11 B 12 D

二、填空题 13.必要不充分

17.解: ? ?an ?是等差数列,? a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? 12 ,

?a3 ? 8 ?a3 ? a7 ? 32 ?a3 ? 4 ,或 ? ,??????4 分 ?? ? ?a7 ? 4 ?a3 ? a7 ? 12 ?a7 ? 8
又? an ? 0 ,? ?

?a3 ? 4 ? d ? 1 ? a n ? a3 ? ?n ? 3?d ? n ? 1 .?????6 分 a ? 8 ? 7

(II) bn ? 2 n?1 ,? cn ? an ? bn ? ?n ? 1? ? 2 n?1 ,

?Sn ?? a ? ? ? a2 ? b ?2 1 ?b 1
? (a1 ? a2 ? ? [2 ? 3 ?

?

? ?n a ? ?b n
? bn ) ???????9 分 +2n?1 )

? an ) ? (b1 ? b2 ? ? (n ? 1)] ? (22 +23 +

2 n n ? 2 ? n ? 1? 2 ?1 ? 2 ? ? ? 2 1? 2

?

n ? n ? 3? n ? 2 ? 2 ? 4 .?????????12 分 2
·5 ·

18.解: (Ⅰ)由已知的: P(t ? 32 oC ) ? 0.9 ∴ P(t ? 32 oC) ? 1 ? P(t ? 32 oC) ? 0.1 ∴ Y ? 30 ? 0.1 ? 3

X ? 30 ? (6 ? 12 ? 3) ? 9 .
(Ⅱ) 高温天气 旺销 不旺销 合计 1 2 3 非高温天气 21 6 27

?? 6 分

合 22 8 30



30 ? (1? 6 ? 2 ? 21)2 n(ad ? bc)2 ? ?2.727 , 3 ? 27 ? 22 ? 8 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 因为 2.727 ? 3.841 ,

k2 ?

所以没有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关. 19. (Ⅰ)证明:连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ 点 O 为 BD 的中点. ∵M 为 PB 的中点, ∴OM 为 ?PBD 的中位线, ∴OM / / PD . ?? 2 分

?? 12 分

P

∵OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴PD ?? 平面AMC . ?? 4 分 (Ⅱ)解:∵BC ? 平面 PAB , AD / / BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , 又 PA ? AB , 且 AD AB ? A , ∴PA ? 平面ABCD . ?? 8 分 F 取 AB 的中点 ,连接 MF ,则 MF / / PA , ∴MF ? 平面ABCD ,且 MF ?

M D A

C

B

1 PA ? 1 .?? 9 分 2

设三棱锥 A ? MBC 的高为 h ,由 VA? MBC

? VM ? ABC ,

·6 ·

? BC ? AB ? MF 1 1 S?ABC ? MF 2 2 5 ? ? 有 S?MBC ? h ? S?ABC ? MF ,得 h ? . 12 分 1 S?MBC 5 3 3 ? BC ? BM 2

1

20、解:(Ⅰ) PF 为圆 M 的直径,则 PQ ? FQ ,即 x0 ? 8 , 把 P(8,8) 代入抛物线 C 的方程求得 p ? 4 , 即 C : y 2 ? 8x , F (2, 0) ; ??????3 分 又圆 M 的圆心是 PF 的中点 M (5, 4) ,半径 r ? 5 , 则 M : ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 . ??????5 分 (Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 8) (k ? 0) , A( xA , yA ) , B( xB , yB ) , 由?

? y2 ? 8x ? y ? k ( x ? 8)

得y ?
2

8 8 y ? 64 ? 0 ,则 y A ? yB ? , y A ? yB ? ?64 k k

?7 分

1 OQ ? y A ? yB ? 4 ( y A ? yB ) 2 ? 4 y A ? yB 2 设 ?AOB 的面积为 S ,则 64 1 ? 4 2 ? 256 ? 32 2 ? 4 k k S?
64 13 ?????9 分 3 9 3 2 解得: k ? ,又 k ? 0 ,则 k ? 16 4 3 ∴直线 l 的方程为 y ? ( x ? 8) ,即 3x ? 4 y ? 24 ? 0 4 ?
又圆心 M (5, 4) 到 l 的距离 d ?

15 ? 16 ? 24 ? 5 ,故直线 l 与圆 M 相切. ??12 分 5

21.解: (Ⅰ)

f ?( x) ? (ax ? a ? 1)e x ? 2 ,由已知得 f ?(0) ? 0 ,? a ? 1 ? 2 ? 0

? a ? ?1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?1 ,则 f ( x) ? ?( x ? 1)e ? 2 x ? 1
x

·7 ·

又因为 x ? 0 ,因此欲证

?( x ? 1)e x ? 2 x x2 ? 1 ? ? ,只需证 e x ? x ? 1 . ex x ?1

令 g ( x) ? e x ? x ? 1,则 g ?( x) ? e x ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 . 当 x ? (0, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 单调递增. 因此 g ( x)min ? g (0) ? 0 ,即 g ( x) ? 0 .从而 e x ? x ? 1 . 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ( x ? 1) 成立.

? 3 x? t ? x y ? 2 2 ? ? 1 ,将 ? 22、解: (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 代人上式整理得 t ? 4t ? 4 ? 0 , 6 2 ?y ? 2 ? 1 t ? 2 ? ? ?? 解得 t ? 2 .故点 T 的坐标为 3, 1 ,其极坐标为 ? 2, ? .???5 分 ? 6? ?x? ? x (Ⅱ)依题知,坐标变换式为 ? , ? y ? 3 y ?
2 2

?

?

? y ? ? ? ? ? 2 x 3? ? 故 W 的方程为: ? ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 6 . 6 2 当直线 m 的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,显然成立. 当直线 m 的斜率存在时,设其方程为 y ? 1 ? k x ? 3 ,即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,

2

?

?

则由已知,圆心 ?0, 0 ? 到直线 m 的距离为 3 ,故 解得 k ? ?

? 3k ? 1 k 2 ?1

? 3,

3 3 x?2. .此时,直线 m 的方程为 y ? ? 3 3
3 ? cos? ? 2 .????????10 分 3

故直线 m 的极坐标方程为:

? cos? ? 3 或 ? sin ? ?

23、 (Ⅰ)当 a ? ?2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ?2 x ,

?x ? 2 ?x ? 2 f ( x) ? 0 ? ? 或? ? x ? 2或? 2 ? x ? 2 , ?3x ? 2 ? 0 ? x ? 2 ? 0
∴不等式 f ( x) ? 0 的解集是 [?2,??) .????????5 分
·8 ·

(Ⅱ)不等式 f ( x) ? 2a ? 0 可化为 | x ? 2 | ?ax ? 2a ? 0 , ∴ | x ? 2 |? a( x ? 2) , 由题意, x ? 2 时 | x ? 2 | ?ax ? 2a ? 0 恒成立, 当 x ? 2 时, | x ? 2 |? a( x ? 2) 可化为 x ? 2 ? a( x ? 2) ,

( x ? 2)(1 ? a) ? 0 , 1 ? a ? 0 , a ? 1 ,
综上,实数 a 的取值范围是 (0,1] .????????10 分

·9 ·


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