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三角函数的图像及性质复习教案


《三角函数的图像及性质复习教案》
一、教学目标分析 1、知识与技能: ( 1) .能画出 y=sin x, y=cos x 的图像,了解三角函数的周期性; (2) .借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ],正切函数在(-π /2,π /2)上 的性质(如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点及奇偶性等) ;

(其中A ? 0,? ? 0) (3) . 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 图像性质及常见问题的处理方
法 2、过程与方法:培养学生应用所学知识解决问题的能力,独立思考能力,规范解题的标准。 3、情感态度与价值观:培养学生全面的分析问题和认真的学习态度,渗透辩证唯物主义思 想。

教 学 重 点:使学生掌握三角函数图像及性质,并能应用解决问题 教学难点、关键:正弦函数,余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法:启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段:结合学生复习情况,使用多媒体课件,提高教学的效率 教 学 课 时:一课时
三 导言:预测 2011 年高考对本讲内容的考察为: 1.题型为 1 道选择题(求值或图象变换) ,1 道解答题(求值或图像变换) ; 2.热点问题是三角函数的图象和性质,特别是 y=Asin(wx+φ )的图象及其变换; 一、复习提问: 1、什么叫做正弦函数,余弦函数?定义域,值域各是什么? http://baike.baidu.com/view/536305.htm http://baike.baidu.com/view/536314.htm 2、正弦函数,余弦函数都有那些性质?正弦函数,余弦函数图像如何? http://www.gsres.cn/upfiles/ztjj/jyrjdjs/11/gzkj/015.ppt#321,3,幻灯片 3 一、新课 要点精讲 1、图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

2、三角函数的单调区间: http://zhidao.baidu.com/question/179613255.html

(其中A ? 0,? ? 0) 3、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其图象的对称轴是 直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这 两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种 变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是 “角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点
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的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 向右( ? <0=平移

1

|? |

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心:

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

? , ?

y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) k ? Z ; 2 y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? ; 2 ,0) 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最
值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公 式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图:
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五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、

π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2

再描点作图。 四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是(



解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x

∈(0,

? )时,y=-xcosx<0。答案为 D。 2


例 2. (2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(

解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数。选 项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数。 点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能 熟练地运用数形结合的思想方法。 题型 2:三角函数图象的变换

1 π 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3 1 π 解析:y= sin(2x+ ) 3 3

1 π 2倍 ?横坐标扩大为原来的 ???????? ?? y ? sin (x ? ) 纵坐标不变 3 3
图象向右平移 个单位 1 ??????3 ???? y ? sin x 纵坐标不变 3 π

3倍 ?纵坐标扩大到原来的 ???????? ?? y ? sin x 横坐标不变

另法答案:

1 π π 1 (1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; 3 3 6 3 1 1 (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 的 3 3 图象; 1 (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 3 y=sinx 的图象。
例 4. (2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 B. (y-1)sinx+2y-3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0 解析:将原方程整理为:y=

? 2

个单位,再沿 y

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单 2 2 ? cos x

位和 1 个单位,因此可得 y=

1

2 ? cos( x ? ) 2
点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。 如果对平移有深刻理 解,可直接化为: (y+1)cos(x-

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

? 2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项。

例 5.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) 。 (1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |? 在一个周期内的图象,根据图中数据求

?
2


I
300

I ? A sin(?t ? ? )
的解析式;

1 (2)如果 t 在任意一段 秒的时间内,电流 150

-

1 900

o

1 180

t

I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω 的最

-300

小正

整数值是多少? 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识, 考查运算能力和逻辑推理能 力. (1)由图可知 A=300。 设 t1=-

1 1 ,t2= , 900 180
1 1 1 + )= 。 180 900 75

则周期 T=2(t2-t1)=2( ∴ ω=

2? =150π 。 T 1 1 又当 t= 时,I=0,即 sin(150π · + ? )=0, 180 180
而 | ? |?

?

2

, ∴ ?=

? 。 6

故所求的解析式为 I ? 300sin(150? t ? (2)依题意,周期 T≤

?
6

)。

1 2? 1 ,即 ≤ , (ω >0) 150 ? 150
*

∴ ω ≥300π >942,又ω ∈N , 故最小正整数ω =943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形 数结合的有效途径。

例 6. (1) (2003 上海春,18)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,x∈R) 在一个周期内的图象如图所示,求直线 y= 所有交点的坐标。 解析:根据图象得 A=2,T=

3 与函数

f(x)图象的

7 ? π -(- )=4π , 2 2


1 x ? ∴ω = ,∴y=2sin( + ? ) ,又由图象可得相位移为- , 2 2 2
∴-

? 1 2

=-

? 2

,∴ ? =

? 4

. 即 y=2sin (

1 ? 1 ? x+ )根据条件 3 =2sin ( x ? ) ,∴ 2 4 2 4

1 ? 1 ? ? 2 x ? =2kπ + (k∈Z)或 x ? =2kπ + π (k∈Z) , 3 3 2 4 2 4
∴x=4kπ +

? 6

(k∈Z)或 x=4kπ +

5 π (k∈Z) 。 6
5? , 3) (k∈Z) 。 6

∴所有交点坐标为(4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

点评: 本题主要考查三角函数的基本知识, 考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。 例 7.求下列函数 y=

1 π 2x sin( - )的单调区间; 2 4 3 1 2 π sin( x- )再求之。 2 3 4

分析:要将原函数化为 y=- 解: (1)y= 故由 2kπ -

1 π 2x 1 2x π sin( - )=- sin( - ) 。 2 2 4 3 3 4

π 2x π π ≤ - ≤2kπ + 。 2 3 4 2

? 3kπ -
由 2kπ +

3π 9π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调减区间; 8 8

π 2x π 3π ≤ - ≤2kπ + 。 2 3 4 2 9π 21 π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调增区间。 8 8

? 3kπ +

3π 9π ,3kπ + ] , 8 8 递增区间为[3kπ + ,3kπ + ] (k∈Z) 。 五 小结: 1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象, 很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。
∴递减区间为[3kπ -

2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域 。 3.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可 根据周期性作出整个函数的图象。 作业:把自己的作业题签认真加以做好,补充所缺欠的知识点。 板书设计:
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六、

§课题 一.正弦函数,余弦函数形式及图像; 二.典型例题及解题方法; 三.小结:解题方法归纳。

七、 总结与反思:反思学习过程,对研究正弦函数,余弦函数的图像,性质,进行概括, 深化认识。三角函数是一类特殊的周期函数,在研究三角函数时,既可以联系物理、生物、 自然界中的周期现象,也可以从已学过的指数函数,对数函数、幂函数等得到启发,还要注 意与锐角三角函数建立联系。


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