kl800.com省心范文网

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积


1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【教学目标】 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转 换关系。 【教学重难点】 教学重点:运用公式解决问题 教学难点:理解计算公式的由来. 【教学过程】 (一)情景导入 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式? 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式? 那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节 主要学习的内容。 (二)展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容:
1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换 关系。 (三)检查预习 1.棱柱的侧面展开图是由 梭台的侧面展开图是由 面展开图是 求 、 、 3.几何体的体积是指 2.几何体的表面积是指 、 ,圆台的侧面展开图是 ,棱锥的侧面展开图是由 , 圆柱的侧面展开图是 。 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 。 ,一个几何体的体积等于 、 , , 圆锥的侧

。 (四)合作探究 面积探究: 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和) 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)

体积探究:
讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 五)交流展示 略

(六)精讲精练 1. 教学表面积计算公式的推导: ① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积 和) ② 练习:1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积.(教材 P24 页例 1) 2. 一个三棱柱的底面是正三角形, 边长为 4, 侧棱与底面垂直, 侧棱长 10,求其表面积. ③ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表) 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母 线) S 圆柱侧 =2 ? rl ,S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母 , 线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展 r 开图扇形中心角为 ? ? ? 3600 ,S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) ,其 l 中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆 R?r 台下底周长,侧面展开图扇环中心角为 ?? ? 3600 , l S 圆台侧 = ? (r ? R)l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R 2 ) . 例 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半 径为 r ,圆柱侧面积为 S,求圆锥的侧面积。 解: 设圆锥的母线长为 l , 因为圆柱的侧面积为 S, 圆柱的底面半径为 r , S圆 侧 ? S , 即 柱 根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为

S S ,由题意得圆锥的高为 ,又 2?r 2?r
S 2 ) ,根据圆锥的侧面积 2?r

圆柱的底面半径为 r ,根据勾股定理,圆锥的母线长 l ? r 2 ? ( 公式得

S圆锥侧 ? ?rl ? ? ? r ? r 2 ? (

S 2 ) ? 2?r

4? 2 r 4 ? S 2 . 2

变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )

A. 18 3

B. 15 3

C. 24 ? 8 3

D. 24 ? 16 3

分析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为 2 3 ,正三棱柱的高 为 2,则底面等边三角形的边长为 4,所以该正三棱柱的表面积为

2. 教学柱锥台的体积计算公式: ① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿子)原理, 教材 P30) ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? →给出柱体体积计算公式:V柱 ? Sh (S 为底面面积, 为柱体的高) V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h h →

③ 讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高的圆锥、棱锥之间的体 积关系? ④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? 1 →给出锥体的体积计算公式: V锥 ? Sh S 为底面面积,h 为高) 3 ⑤ 讨论:台体的上底面积 S’,下底面积 S,高 h,由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积?

1 ⑥ 给出台体的体积公式: V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3
高)

(S, S 分别上、下底面积,h 为

'

1 1 → V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径) 3 3
⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大 为与下底相同时, 台成为柱。 因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、 锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论: 侧面积公式是否也正确? 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?

1 公式记忆: V锥 ? Sh 3 1 ' V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3
例 2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形, 俯视图为一个半径 为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A.

3? 3

B.

2 3? 3

C. 3?

D.

? 3

分析:由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径 2, 则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为 3 ,所以这个几何体的体积为

1 3? V ? ? ? ? 12 ? 3 ? . 3 3
答案:A

变式训练: 如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、
俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边 长为 1,那么这个几何体的体积为( )

A.1

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

活动:让学生将三视图还原为实物图,讨论和交流该几 何体的结构特征。 分析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,图中所示 为 该 三 棱 锥 的 直 观 图 , 并 且 侧 棱 PA ? AB, PAVAC , AB ? AC. 则该三棱锥的高是 PA,底面三角 形 是 直 角 三 角 形 , 所 以 这 个 几 何 体 的 体 积 为

1 1 1 1 V ? S ?ABC PA ? ? ? 1 ? . 3 3 2 6
答案:D (七)反馈测评 1.三棱锥 V ? ABC 的中截面是 ?A1 B1C1 ,则三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A ? A1 BC 的体 积之比是( ) A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8

分析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为 1:4,

将三棱锥 A ? A1 BC 转化为三棱锥 A1 ? ABC ,这样三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A1 ? ABC 的 高相等,底面积之比为 1:4,于是其体积之比为 1:4。 答案:B 【板书设计】 一、柱体、锥体、台体的表面积与体积 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
课前预习学案
一、预习目标 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 二、预习内容 1.棱柱的侧面展开图是由 梭台的侧面展开图是由 面展开图是 求 、 、 3.几何体的体积是指 。 三、提出疑惑 1.利用斜二测画法叙述正确的是( ) 1.一个长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 ,则这个长方体的体积为( ) A.6 A.2 B. 6 B. 2 2 C.3 C. 4 D. 2 3 D.8 。 。 2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是 32? ,则母线长为( ) 3.长、宽、高分别为 a, b, c 的长方体的表面积 S= 2.几何体的表面积是指 、 ,圆台的侧面展开图是 ,棱锥的侧面展开图是由 , 圆柱的侧面展开图是 。 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 。 ,一个几何体的体积等于 、 , , 圆锥的侧

4.圆台的上、下底面半径分别为 2,4,母线长为 13 ,则这个圆台的体积 V=

课内探究学案
一、学习目标 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换 关系。 学习重点:运用公式解决问题 学习难点:理解计算公式的由来. 二、学习过程 (一)台体、柱体面积问题探究: 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)

讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)

(二)台体、柱体体积探究:
讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 方法:组内讨论,自我展示. (二)精讲点拨、有效训练 1. 教学表面积计算公式的推导: 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表) 圆柱: 侧面展开图是矩形, 长是圆柱底面圆周长, 宽是圆柱的高 (母线) S 圆柱侧 =2 ? rl , , S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展 r 开图扇形中心角为 ? ? ? 3600 ,S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) ,其 l 中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆 R?r 台下底周长,侧面展开图扇环中心角为 ?? ? 3600 , l S 圆台侧 = ? (r ? R)l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R 2 ) . 例 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半 径为 r ,圆柱侧面积为 S,求圆锥的侧面积。

变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )

A. 18 3

B. 15 3

C. 24 ? 8 3

D. 24 ? 16 3

2. 教学柱锥台的体积计算公式: 1 ' 给出台体的体积公式: V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h (S, S 分别上、下底面积,h 为高) 3 1 1 → V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径) 3 3

探究:比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大 为与下底相同时, 台成为柱。 因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、 锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论: 侧面积公式是否也正确? 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?

1 公式记忆: V锥 ? Sh 3 1 ' V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3
例 2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形, 俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A.

3? 3

B.

2 3? 3

C. 3?

D.

? 3

变式训练: 如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图

为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边长为 1, 那么这个几何体的体积为 ( )

A.1 三、反思总结

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

S 圆柱侧 =2 ? rl ,S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 S 圆台侧 = ? (r ? R)l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R 2 ) .

1 V锥 ? Sh 3 1 ' V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3
四、当堂检测 1.三棱锥 V ? ABC 的中截面是 ?A1 B1C1 ,则三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A ? A1 BC 的体 积之比是( ) A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8

课后练习与提高
1.如图所示,圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的 表面积为( ) A. ? B. 2? C. 3? D. 4?

2.正三棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 2 3 ,则这个正三棱锥的体积是( ) A. C.

27 4
27 3 4

B. D.

9 4
9 3 4

3. 已知某个几何体的三视图如图, 根据图中标出的 尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )

4000 3 cm 3 C. 2000cm 3
A.

8000 3 cm 3 D. 4000cm 3
B.

4.若圆柱的高扩大为原来的 4 倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的 倍;若圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的 4 倍,则圆柱的体积扩大为原来的 倍。


赞助商链接

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积_英语_小学教育_教育专区。语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学...

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积

1.3.1柱体锥体台体的表面积和体积_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积【学习目标】 1.了解柱体、锥体、台体的表...

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积_数学_高中教育_教育专区。1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 课标导航 1、能运用公式求解柱体、锥体和台体的表...

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

www.xkb1.com 新课标第一网不用注册,免费下载! 1. 3.1 柱体锥体台体的表面积与体积【教学目标】 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积...

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

怀仁十一中高中部数学学案导学(四十四——1) 1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积 主备人 牛生前 教学目标 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥...

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教学设计

§1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积教学设计一、教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)...

1.3.1 (2)柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)教案

备课人 课题 教学目标 重点 难点 授课时间 1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积(二)能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。 知识与技能 ...

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积 课标要求...

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积的教案

2、教学难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 3、知识点:柱体锥体台体的表面积和体积 4、能力点:通过对柱、锥、台体的研究 ,掌握柱、锥、台的表面积...

...1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教案 新人教A...

【金识源】高中数学 1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积教案 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 柱体锥体台体的表面积与体积 一、教材...