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2.4.1.1数量积


《平面向量的数量积》教学设计

北师大万宁附属中学

《平面向量的数量积》教学设计
向量作为一种运算工具, 其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的, 它在解决几何问题中的 三点共线、垂直、求夹角和线段长度以及平移等问题中显示出了它易理解和易操作的特点。 一、总体设想 本节课的设计有两条暗线:一是围绕物理中物体做功,引入数量积的概念和几何意义;二是围绕 数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、 求夹角和线段长度的公式。 教学方案可 从三方面加以设计:一是数量积的概念;二是几何意义;三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标 1.知识和技能 (1)了解向量的数量积的抽象根源。 (2)理解向是的数量积的概念:两个非零向量的夹角;定义;本质;几何意义。 a?b . (3)掌握向量数量积的主要变化式: a ? a 2 ; cos ? ? a?b 2.过程与方法 (1)从物理中的物体受力做功,提出向量的夹角和数量积的概念,然后给出两个非零向量的夹角 和数量积的一般概念,并强调它的本质;接着给出两个向量的数量积的几何意义,提出一个 向量在另一个向量方向上的投影的概念。 (2)给出向量的数量积的运算律,并通过例题具体地显示出来。 (3)由数量积的定义式,变化出一些特例。 3.情感、态度和价值观 (1)学会有效学习:抓住知识之间的逻辑关系。 (2)体会类比迁移、转化化归的数学思想。 三、教学重、难点 【重点】数量积的定义,向量模和夹角的计算方法 【难点】向量的数量积的几何意义 四、教学时间:40 分钟 五、教学方法 教法:讲授法、课堂讨论法 学法:讨论、探究 六、教学方案及其设计意图 复习引入: 1、复习向量的夹角 2、和物理中的做功拉拉亲戚 问题:如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S

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《平面向量的数量积》教学设计

北师大万宁附属中学

(1)力 F 所做的功 W=



(2)请同学们分析这个公式的特点: W(功)是 F(力)是 S(位移)是 θ (角度)是 量, 量, 量 。

F θ s

平面向量的数量积,是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识,其源自对受力物体在其 运动方向上做功等物理问题的抽象。 于是在引导学生学习平面向量数量积的概念时, 要围绕物理方面 已有的知识展开,这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。 (如图)首先说明放置 在水平面上的物体受力 F 的作用在水平方向上的位移是 s,此问题中出现了两个矢量,即数学中所谓 的向量,这时物体力 F 的所做的功为 W ? F ? s ? cos? ,这里的?是矢量 F 和 s 的夹角,也即是两个 向量夹角的定义基础,在定义两个向量的夹角时,要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一 重要条 件,并 理解 向量夹 角的 范围。 以此 为基础 引出了 两非 零向量 a, b 的 数量积 的概 念: 按照推理, 当0 ?? ? a ? b ? a ? b cos? ,a ? b 是记法, a ? b cos? 是定义的实质――它是一个实数。 时,数量积为正数;当 ? ? 时,数量积为零;当 ? ? ? ? 时,数量积为负。 2 2 初探:向量数量积的定义 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积; 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 θ,则数量| a || b |cosθ 叫 a 与 b 的数量积,记作

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? ? ? ? ? ? a· b ,即有 a · b =| a || b |cos θ
说明: (1)向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由夹角决定 (2)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 (3) ? 是 a 与 b 的夹角;范围是 0≤θ≤π, (注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是 同起点的. )

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的夹角等于120 ,求a ? b 操刀一练:已知 a ? 5, b ? 4, a与b
再探:向量数量积的正负 当 θ=0 时, a 与 b 同向; a · b =| a || b |cos0=| a || b |

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? ? ? ? ? ? ? ? ? π 当 θ= 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; a · b =| a || b |cos =0 2 2
当 θ=π 时, a 与 b 反向; a · b =| a || b |cos ? =-| a || b |

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a =0; a 2 = a · a =| a |2 或| a |= a ? a = a (4)规定 0 ·
三探:向量在向量上的投影

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《平面向量的数量积》教学设计

北师大万宁附属中学

a与b 的数量积,其几何意义实质上是将乘积拆成两部分: a 和 b ? cos? 。此概念也以物体做功
为基础给出。 b ? cos? 是向量 b 在 a 的方向上的投影。 例题: 已知|a |? 6, e为单位向量,a与e的夹角为45?, 四探:数量积的主要性质 (1) a ? b ? a ? b ? 0 (2) a和b 同向时 ? a ? b ? a b (3) a和b反向时 ? a ? b ? - a b 特别地: a ? a ? a ? a ? a ? (4) cos ? ?
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求a在e方向上的投影。

设 a 和 b 是两个非零向量,

a ?b a b

a?a

(5) a ? b ? a b 闯关练习 1 闯关练习 2 闯关练习 3 围绕向量的数量积的定义,可开发出解决几何问题中有用的知识:垂直的判断,夹角的计算和线 段长度的计算。根据教学实际,有的数学知识可提出问题让学生解决,并总结、概括出一般的结论或 规律,但有些知识学生听讲时,理解起来都比较困难,就需要老师的讲解,此时恰当的处理方式是: 先让学生学会,再说明道理。这里,两个向量垂直的判断和夹角的计算,可通过让学生自己做题后总 结出来;而计算模则需要老师讲解并加以强化 课堂小结: 1、平面向量的数量积的概念及其性质 2、会用数量积运算解决问题 作业:教材 P106 练习

板书设计:整个板面分成三列,把重点知识数量积的定义放在中间显著位置。由其衍生出来的几何意 义、运算律放在其下面,再把后面的三大问题放在中间一列的中间位置;左边一列,是两个向量夹角 的相关概念;右列集中放例题。 本节课的设计注重教学目标的明确; 注重根据学生的认知规律而科学地进行知识序列的呈现; 注 重调动学生参与教学活动;注重课堂效果的实效性。

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2.4.1平面向量数量积1

编号:12 高一数学 必修 4 导学案 制作人:高一数学组 审核人:高一数学组 2014-4 课题 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案(1)学习目标: 1、理解...

§2.4.1平面向量的数量积

§2.4.1 平面向量的数量积 一.学习目标 1.理解向量数量积的定义及其几何意义? 2. 掌握向量的数量积的性质? 3. 掌握向量数量积的运算 二.学习过程 1 预习新...

2.4.1平面向量的数量积

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2.4.1《平面向量的数量积》导学案(第一课时)1

向量数量积的运算律 (2)状元学习方案:通过具体实例让学生自己归纳、总结数量积的概念和特点,感受向 量思想; II、1.学习目标: 1)知识与技能: (1)正确理解数量...

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2.4数量积(1)

建邺高级中学讲学稿 2.4 数量积(1) 2.4 数量积(1)【教学目标】 1、熟练掌握平面向量数量积非坐标形式的运算规律 2、能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规...

高中数学必修四教学设计:2.4.1数量积教案

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