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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:3.3 三角函数的图象与性质


第三章

第3讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 π π 1. [2013· 广州一测]如果函数 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为 ,则 6 12 ω 的值为( A. 3 C. 12 答案:C π 2π 解析:T= ,ω= =12,选 C 项. 6 T x+φ 2. [2012·

大纲全国高考]若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π]) 是偶函数,则 φ=( 3 A. C. π 2 3π 2 B. D. 2π 3 5π 3 ) ) B. 6 D. 24

答案:C 解析:∵f(x)为偶函数,关于 y 轴对称,x=0 为其对称轴. ∴ x+φ π 3 3 = +kπ,令 x=0,φ=3kπ+ π,当 k=0 时,φ= π,选 C 项. 3 2 2 2 )

π π → → → 3. 函数 y=tan( x- )的部分图象如图所示,则(O B -O A )· B =( O 4 2

A. -4 C. -2 答案:B

B. 4 D. 2

解析:容易求得点 A(2,0),B(3,1),则(O B -O A )· B =(1,1)· O (3,1)=4. 1 4. [2013· 惠州模拟]已知函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的值 2 不可能是( )







A.

π 3

B. D.

2π 3 4π 3

C. π 答案:A

2π 4π 解析:画出函数 y=sinx 的草图分析知 b-a 的取值范围为[ , ]. 3 3

2π 5. [2013· 金版原创]若函数 y=2cosωx 在区间[0, ]上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可 3 以是( A. 2 C. 3 答案:B 2 2 2 解析: y=2cosωx 在[0,π]上是递减的, 由 且有最小值为 1, 则有 f( π)=1, 2×cos(ω× 即 3 3 3 2π 1 π)=1?cos ω= .检验各数据,得出 B 项符合. 3 2 3π 6. [2013· 泰安质检]函数 f(x)=cos(2x+ )(x∈R),下面结论不正确的是( 2 A. 函数 f(x)的最小正周期为 π π B. 函数 f(x)的对称中心是( ,0) 2 π C. 函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称 4 D. 函数 f(x)是偶函数 答案:D 3π 2π 解析:∵f(x)=cos(2x+ )=sin2x(x∈R),∴最小正周期 T= =π,选项 A 正确; 2 2 kπ kπ 由 2x=kπ 得 x= ,k∈Z,∴函数 f(x)的对称中心为( ,0), 2 2 ∴取 k=1 得选项 B 正确; π kπ π π 由 2x=kπ+ 得 x= + ,k∈Z,∴取 k=0 得函数 f(x)的对称轴为 x= ,∴选项 C 正 2 2 4 4 确; ∵f(x)=sin2x(x∈R),∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数, ) ) B. D. 1 2 1 3

∴选项 D 不正确. 二、填空题 π 7. [2013· 太原模考]若函数 f(x)=2tan(kx+ )的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然数 k 的 3 值为________. 答案:2 或 3 π π π 解析:因为 T= ,所以 1< <2,即 <k<π,而 k 为自然数,所以 k=2 或 3. k k 2 π π π 8. 函数 f(x)=cos(2x- )+3 在[- , ]上的单调递减区间为________. 4 2 2 π 3π π π 答案:[- ,- ]∪[ , ] 2 8 8 2 π π 5π π π 解析:由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.∵x∈[- , ],∴取 k=0 4 8 8 2 2 π π π π π π 得 f(x)在[- , ]上的单调递减区间为[ , ];取 k=-1 得 f(x)在[- , ]上的单调递减区间 2 2 8 2 2 2 π 3π π π π 3π π π 为[- ,- ].∴f(x)在[- , ]上的单调递减区间为[- ,- ]和[ , ]. 2 8 2 2 2 8 8 2 4π 9. [2013· 安庆模拟]如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ|的最 3 小值为________. π 答案: 6 4π 解析:由已知得 3cos(2× +φ)=0, 3 2π 即 cos( +φ)=0, 3 2π π ∴φ+ =kπ+ ,k∈Z, 3 2 π π 即 φ=kπ- ,∴|φ|min= . 6 6 三、解答题 π π 10. [2013· 金华模拟]已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,A>0,0<φ< )的周期为 π,f( ) 2 4 = 3+1,且 f(x)的最大值为 3. (1)写出 f(x)的表达式; (2)写出函数 f(x)的对称中心,对称轴方程. 解:(1)因 T=π,∴ω=2,最大值为 3, ∴A=2. ∴f(x)=2sin(2x+φ)+1, π ∵f( )= 3+1, 4

π ∴2sin( +φ)+1= 3+1, 2 ∴cosφ= 3 . 2

π π ∵0<φ< ,∴φ= . 2 6 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+1. 6 π (2)由 f(x)=2sin(2x+ )+1, 6 π kπ π 令 2x+ =kπ,得 x= - (k∈Z), 6 2 12 kπ π ∴对称中心为( - ,1)(k∈Z), 2 12 π π kπ π 由 2x+ =kx+ ,得 x= + (k∈Z), 6 2 2 6 kπ π ∴对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 6 π π 11. [2013· 南通质检]已知 a>0,函数 f(x)=-2asin(2x+ )+2a+b,当 x∈[0, ]时,- 6 2 5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. π π π 7 解:(1)∵x∈[0, ],∴ ≤2x+ ≤ π, 2 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 又∵a>0,-5≤f(x)≤1,
? ? ?-2a+2a+b=-5 ?a=2, ∴? ,即? ? ? ?a+2a+b=1 ?b=-5.

π (2)f(x)=-4sin(2x+ )-1, 6 π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 2 6 2 π π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 3 6 π π 3 由 +2kπ≤2x+ ≤ π+2kπ 得 2 6 2 π 2 +kπ≤x≤ π+kπ,k∈Z, 6 3 ∴f(x)的单调递增区间为 π 2 [ +kπ, π+kπ](k∈Z), 6 3

单调递减区间为 π π [- +kπ, +kπ](k∈Z). 3 6 π 12. [2013· 深圳调研]设函数 f(x)=sinωx+sin(ωx- ),x∈R. 2 1 (1)若 ω= ,求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合; 2 π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 8 π 解:(1)f(x)=sinωx+sin(ωx- ) 2 π =sinωx-cosωx= 2sin(ωx- ). 4 1 x π 当 ω= 时,f(x)= 2sin( - ), 2 2 4 x π 而-1≤sin( - )≤1, 2 4 所以 f(x)的最大值为 2, x π π 此时, - = +2kπ,k∈Z, 2 4 2 3π 即 x= +4kπ,k∈Z, 2 3π 相应的 x 的集合为{x|x= +4kπ,k∈Z}. 2 π (2)因为 f(x)= 2sin(ωx- ), 4 π π 所以,x= 是 f(x)的一个零点?f( ) 8 8 ωπ π = 2sin( - )=0, 8 4 即 ωπ π - =kπ,k∈Z, 8 4

整理,得 ω=8k+2,又 0<ω<10, 1 所以 0<8k+2<10,- <k<1, 4 而 k∈Z,所以 k=0,ω=2, π f(x)= 2sin(2x- ),f(x)的最小正周期为 π. 4


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