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一元三次方程的实根个数问题


?  5  ? 8   数 学教 育 研 究  21 0 0年第 2期  一 元 三次方程 的实 根个 数 问题  陈照军  朱 宗贵  ( 省费 山东 县第一中学 2 40 7 0) 3   元 二 次 方 程 的实 根 个 数 问题 可 以 利 用 其 判 别 式  △进行 判 断 , 而对 于 一 元 三 方 程 , 如何 判 断 其 根 的个 数  呢 ?下 面 我们 以 口 +b   X   x +C + 一On O 为 例 作 以 (> )   一 一 3 一1 厂( ) x 一3 由 ( =0解 得 l z , z 一3 。 ,    ) =一1  , 推证. , z =a 。 x +C 令 ( ) x +b  X+d n ) 则 / ( )   ( >0 , z一 3 x +2x+c 方 程 / ( ) a  b . z 一0的判别 式 △一(6。   2)一 12 c  a. z 一 1 由() - z 的单 调性 可知 ,( ) z z . 1中 厂 ) ( , z 在 一一 1 取  处 得极 大值 _ -1 一1在 z 1 厂 ( ) , 一 处取 得 极 小 值 , 1 一一3 () .   因 为直 线  —m 与 函 数 Y=,( 的 图 象 有 三 个 不 同 的   ) 交点, 结合 , z 的单 调 性 可 知 , 的 取 值 范 围 是 ( , () m 一3  1. )  ( )当 △≤ 0即 b≤ 3c时, ( ≥ 0恒 成立 , 1   a /  )   厂 z 在 R上 为 增 函数 , 合 函 数 厂( ) 图 象 知 , 程  () 结 z的 方 有 唯 一一 个 实 根 .   ()当 △ 0即 b> 3 c , 程 f ( ) 0有 两个  2 >   。时 方  z 一 实 根 , 为 z , : z < z ) 令 函数 在 z 处 取得 极 大 值  设 。z (     ,   M, 在  。 得 取得 极 小 值  ( 处 M> m) .   ① 当 m>O时 , 方程 _ z 一0有 唯 一一 个 实 根 ; 厂 ) (   [ 评 ]以上 两 例 中极 值 点 很 容 易 求 解 , 可 求 出  点 故 极 值 后 利 用 上 面结 论 即可 .   1   例 3 (o 9广州模 拟) 已知函数 ,( ) 2o   z 一÷  o  —z + 口 —a a   z ( ∈R) ()当 n 一 3 , 函数 , z 的  .1 一 时 求 () 极 值 ;2 ()若 函数 _ z 的 图像 与 z轴 有 且 只 有 一 个 交  厂 ) ( 点 , a的 取值 范 围. 求   1   ② 当 m=O时 , 方程 , z =0有 两 个 实 根 ; ()   ③ 当 m<O M> O时 , 程 , z 一 O 三 个 实 根 ; , 方 () 有   ④ 当 M 一0时 , 程 _ z 一0有 两 个实 根  方 厂 ) ( ⑤ 当 M< o时 , 程 _ z 一0有 一 个实 根 . 方 厂 ) (   例 1 ( 0 9江 西 高 考 文 ) 函 数 f(   20 设 z)一 z  一  0  解:1 ( )当 n =一3时 , ( ) 厂z 一÷  一  一3 q 3 x-.   0  ÷ z +6 -a ()对于任意实数 z, z ≥m恒成立 ,   x .1 /( )   求 m 的最 大 值 ;()若方 程 ,( ) 2 z =o

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