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文档高中数理化公式、知识点总结


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高中数学知识点总结
一、集合与简易逻辑 1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性. 2. 对集合 , 时, 必须注意到“极端”情况: 或 ; 求集合的子集时是否注意到 是 任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集. 3.对于含有 个元素的有限集合 ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的

个数依次为 4.“交的补等于补的并,即 ”;“并的补等于补的交,即 ”. 5. 判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”; 注意: “不?或?即?且?, 不?且?即?或?”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假 即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“一真一假”. 7.四种命题中“?逆?者?交换?也”、“?否?者?否定?也”. 原命题等价于逆否命题,但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三 步:假设、推矛、得果. 注意:命题的否定是“命题的非命题,也就是?条件不变,仅否定结论?所得命题”, 但否命题是“既否定原命题的条件作为条件,又否定原命题的结论作为结论的所 得命题” ?. 8.充要条件 二、函 数 1.指数式、对数式, , , , , , , , , , . 2.(1)映射是??全部射出?加?一箭一雕??;映射中第一个集合 中的元 素必有像,但第二个集合 中的元素不一定有原像( 中元素的像有且仅有下一 个,但 中元素的原像可能没有,也可任意个);函数是?非空数集上的映射?, 其中?值域是映射中像集 的子集?. (2)函数图像与 轴垂线至多一个公共点,但与 轴垂线的公共点可能没有,也 可任意个. (3)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图 像. 3.单调性和奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. 注意:(1)确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确 定函数奇偶性的常用方法有:定义法、图像法等等.对于偶函数而言有: . (2)若奇函数定义域中有0,则必有 .即 的定义域时, 是 为奇函数的必要 非充分条件. (3)确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、 鉴定)、导数法;在选择、填空题中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法 等等. (4)既奇又偶函数有无穷多个( ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). (7)复合函数的单调性特点是:?同性得增,增必同性;异性得减,减必异性 ?. 复合函数的奇偶性特点是:?内偶则偶,内奇同外?.复合函数要考虑定义域

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的变化。(即复合有意义) 4.对称性与周期性(以下结论要消化吸收,不可强记) (1)函数 与函数 的图像关于直线 ( 轴)对称. 推广一:如果函数 对于一切 ,都有 成立,那么 的图像关于直线 (由? 和 的一半 确定?)对称. 推广二:函数 , 的图像关于直线 (由 确定)对称. (2)函数 与函数 的图像关于直线 ( 轴)对称. (3)函数 与函数 的图像关于坐标原点中心对称. 推广:曲线 关于直线 的对称曲线是 ; 曲线 关于直线 的对称曲线是 . (5)类比?三角函数图像?得:若 图像有两条对称轴 ,则 必是周期函数, 且一周期为 . 如果 是R上的周期函数,且一个周期为 ,那么 . 特别:若 恒成立,则 .若 恒成立,则 .若 恒成立,则 . 三、数 列 1.数列的通项、数列项的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前 项和公式的关系: (必要时请分类讨论). 注意: ; . 2.等差数列 中: (1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性. (2) ; . (3) 、 也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5) 仍成等差数列. (6) , , , , . (7) ; ; . (8)?首正?的递减等差数列中,前 项和的最大值是所有非负项之和; ?首负?的递增等差数列中,前 项和的最小值是所有非正项之和; (9)有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,由数列的总项数 是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数,则?偶数项和?-?奇数项和?=总项 数的一半与其公差的积;若总项数为奇数,则?奇数项和?-?偶数项和?=此 数列的中项. (10)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时,常考虑选 用?中项关系?转化求解. (11)判定数列是否是等差数列的主要方法有:定义法、中项法、通项法、和 式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式). 3.等比数列 中: (1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比 与等比数列的单调性. (2) ; . (3) 、 、 成等比数列; 成等比数列 成等比数列. (4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. (5) 成等比数列. (6) . 特别: .

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(7) . (8)?首大于1?的正值递减等比数列中,前 项积的最大值是所有大于或等于 1的项的积;?首小于1?的正值递增等比数列中,前 项积的最小值是所有小于 或等于1的项的积; (9)有限等比数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,由数列的总项数 是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数,则?偶数项和?=?奇数项和?与?公 比?的积;若总项数为奇数,则?奇数项和?=?首项?加上?公比?与?偶数 项和?积的和. (10) 并非任何两数总有等比中项. 仅当实数 同号时,实数 存在等比中项. 对 同号两实数 的等比中项不仅存在,而且有一对 .也就是说,两实数要么没有 等比中项(非同号时),如果有,必有一对(同号时).在遇到三数或四数成 等差数列时,常优先考虑选用?中项关系?转化求解. (11)判定数列是否是等比数列的方法主要有:定义法、中项法、通项法、和 式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式). 4.等差数列与等比数列的联系 (1)如果数列 成等差数列,那么数列 ( 总有意义)必成等比数列. (2)如果数列 成等比数列,那么数列 必成等差数列. (3)如果数列 既成等差数列又成等比数列,那么数列 是非零常数数列;但数 列 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. (4)如果两等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等 差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列,那么常选用?由 特殊到一般的方法?进行研讨,且以其等比数列的项为主,探求等比数列中那 些项是他们的公共项,并构成新的数列. 注意:(1)公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 .但也有少数 问题中研究 ,这时既要求项相同,也要求项数相同.(2)三(四)个数成等 差(比)的中项转化和通项转化法. 5.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式(三种形式), ②等比数列求和公式(三种形式), ③ , , , . (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将?和式?中?同类项 ?先合并在一起,再运用公式法求和. (3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性 或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作 用求和(这也是等差数列前 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的 通项相乘构成,那么常选用错位相减法,将其和转化为?一个新的的等比数列 的和?求解(注意:一般错位相减后,其中?新等比数列的项数是原数列的项 数减一的差?!)(这也是等比数列前 和公式的推导方法之一). (5)裂项相消法:如果数列的通项可?分裂成两项差?的形式,且相邻项分裂 后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ① , ② , 特别声明:?运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时分类

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讨论. (6)通项转换法。 四、三角函数 1. 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) . 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) . 终边与 终边关于 轴对称 . 终边与 终边关于 轴对称 . 终边与 终边关于原点对称 . 一般地: 终边与 终边关于角 的终边对称 . 与 的终边关系由?两等分各象限、一二三四?确定. 2.弧长公式: ,扇形面积公式: ,1弧度(1rad) . 3.三角函数符号特征是:一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 注意: , , . 4.三角函数线的特征是:正弦线?站在 轴上(起点在 轴上)?、余弦线?躺 在 轴上(起点是原点)?、正切线?站在点 处(起点是 )?.务必重视?三 角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系,?正弦? ?纵坐标?、 ?余弦? ?横坐标?、?正切? ?纵坐标除以横坐标之商??;务必记住:单 位圆中角终边的变化与 值的大小变化的关系. 为锐角 . 5.三角函数同角关系中,平方关系的运用中,务必重视?根据已知角的范围和 三角函数的取值,精确确定角的范围,并进行定号?; 6.三角函数诱导公式的本质是:奇变偶不变,符号看象限. 7.三角函数变换主要是:角、函数名、次数、系数(常值)的变换,其核心是 ?角的变换?! 角的变换主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍 角的变换、两角与其和差角的变换. 如 , , , , 等. 常值变换主要指?1?的变换: 等. 三角式变换主要有:三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降 次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化).解题时本着?三看?的 基本原则来进行:?看角、看函数、看特征?,基本的技巧有:巧变角,公式变形 使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次. 注意:和(差)角的函数结构与符号特征;余弦倍角公式的三种形式选用;降 次(升次)公式中的符号特征.?正余弦?三兄妹? ?的联系?(常和三角换 元法联系在一起 ). 辅助角公式中辅助角的确定: (其中 角所在的象限由a, b的符号确定, 角的 值由 确定) 在求最值、 化简时起着重要作用. 尤其是两者系数绝对值之比为 的 情形. 有实数解 . 8.三角函数性质、图像及其变换: (1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 注意:正切函数、余切函数的定义域;绝对值对三角函数周期性的影响:一般 说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既 为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值, 其周期性不变; 其他不定. 的 如 周期都是 , 但 的周期为 , y=|tanx|的周期不变,问函数y=cos|x|, ,

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y=cos|x|是周期函数吗? (2)三角函数图像及其几何性质: (3)三角函数图像的变换:两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换. (4)三角函数图像的作法:三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列) 和变换法. 9.三角形中的三角函数: (1)内角和定理:三角形三角和为 ,任意两角和与第三个角总互补,任意两 半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦 值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理: (R为三角形外接圆的半径). 注意:已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意 可能有两解. (3)余弦定理: 等,常选用余弦定理鉴定三角形的类型. (4)面积公式: . 五、向 量 1.向量运算的几何形式和坐标形式,请注意:向量运算中向量起点、终点及其 坐标的特征. 2.几个概念:零向量、单位向量(与 共线的单位向量是 ,特别: )、平行 (共线)向量(无传递性,是因为有 )、相等向量(有传递性)、相反向量、 向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影( 在 上的投影是 ). 3.两非零向量平行(共线)的充要条件 . 两个非零向量垂直的充要条件 . 特别:零向量和任何向量共线. 是向量平行的充分不必要条件! 4.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对 该平面内的任一向量a,有且只有一对实数 、 ,使a= e1+ e2. 5.三点 共线 共线; 向量 中三终点 共线 存在实数 使得: 且 . 6.向量的数量积: , , , . 注意: 为锐角 且 不同向; 为直角 且 ; 为钝角 且 不反向; 是 为钝角的必要非充分条件. 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:一个封闭图形首尾连接而成的向 量和为零向量,这是题目中的天然条件,要注意运用;对于一个向量等式,可 以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向 量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量;向量的?乘法? 不满足结合律,即 ,切记两向量不能相除(相约). 7. 注意: 同向或有 ; 反向或有 ; 不共线 .(这些和实数集中类似)

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8.中点坐标公式 , 为 的中点. 中, 过 边中点; ; . 为 的重心; 特别 为 的重心. 为 的垂心; 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线); 的内心. . 六、不等式 1.(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;不等式解 集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值. (2)解分式不等式 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解因式, x的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回); (3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论、平 方转化或换元转化); (4)解含参不等式常分类等价转化,必要时需分类讨论.注意:按参数讨论, 最后按参数取值分别说明其解集,但若按未知数讨论,最后应求并集. 2.利用重要不等式 以及变式 等求函数的最值时,务必注意a,b (或a ,b 非负),且?等号成立?时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值(一正二 定三等四同时). 3.常用不等式有: (根据目标不等式左右的运算结构选用) a、b、c R, (当且仅当 时,取等号) 4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有:差比较法、商比较法、函数性 质法、综合法、分析法 5.含绝对值不等式的性质: 同号或有 ; 异号或有 . 注意:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用方程函数思想和?分离变 量法?转化为最值问题). 6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题 (1).恒成立问题 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 (2).能成立问题 若在区间 上存在实数 使不等式 成立,即 在区间 上能成立, ,则等价于在区 间 上 若在区间 上存在实数 使不等式 成立,即 在区间 上能成立, ,则等价于在区 间 上的 . (3).恰成立问题 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 . 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 , 七、直线和圆 1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义( 或 )及 其直线方程的向量式( ( 为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、 斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,但你是否注意到直线垂直于x

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轴时,即斜率k不存在的情况? 2.知直线纵截距 ,常设其方程为 或 ;知直线横截距 ,常设其方程为 (直 线斜率k存在时, 为k的倒数)或 .知直线过点 ,常设其方程为 或 . 注意:(1)直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、 向量式.以及各种形式的局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还 有截矩式呢?) 与直线 平行的直线可表示为 ; 与直线 垂直的直线可表示为 ; 过点 与直线 平行的直线可表示为: ; 过点 与直线 垂直的直线可表示为: . (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜 率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点; 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点. (3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而 在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念:夹角特指相交两直 线所成的较小角,范围是 ,而其到角是带有方向的角,范围是 . 注:点到直线的距离公式 . 特别: ; ; . 4.线性规划中几个概念:约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解. 5.圆的方程:最简方程 ;标准方程 ; 一般式方程 ; 参数方程 为参数); 直径式方程 . 注意: (1)在圆的一般式方程中,圆心坐标和半径分别是 . (2)圆的参数方程为?三角换元?提供了样板,常用三角换元有: , , , . 6. 解决直线与圆的关系问题有?函数方程思想?和?数形结合思想?两种思路, 等价转化求解,重要的是发挥?圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距 构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!? (1)过圆 上一点 圆的切线方程是: , 过圆 上一点 圆的切线方程是: , 过圆 上一点 圆的切线方程是: . 如果点 在圆外,那么上述直线方程表示过点 两切线上两切点的?切点弦?方 程. 如果点 在圆内,那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于 ( 为圆心)的直线 方程, ( 为圆心 到直线的距离).

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7.曲线 与 的交点坐标 方程组 的解; 过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ,当且仅当无平方项时, 为两圆公共弦 所在直线方程. 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义,及其?括号?内的限制条件,在圆锥曲线问题中,如 果涉及到其两焦点(两相异定点),那么将优先选用圆锥曲线第一定义;如果 涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率,那么将优先 选用圆锥曲线第二定义;涉及到焦点三角形的问题,也要重视焦半径和三角形 中正余弦定理等几何性质的应用. (1)注意:①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用; ②圆锥曲线第二定义是:?点点距为分子、点线距为分母?,椭圆 点点距除以 点线距商是小于1的正数,双曲线 点点距除以点线距商是大于1的正数,抛物线 点点距除以点线距商是等于1.③圆锥曲线的焦半径公式如下图: 2.圆锥曲线的几何性质:圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特 殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中 ,椭圆中 、双曲线中 . 重视?特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其?顶点、焦点、准 线等相互之间与坐标系无关的几何性质??,尤其是双曲线中焦半径最值、焦 点弦最值的特点. 注意:等轴双曲线的意义和性质. 3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,有?函数方程思想?和?数形结合思 想?两种思路,等价转化求解.特别是: ①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解,当出现一元 二次方程时,务必?判别式≥0?,尤其是在应用韦达定理解决问题时,必须先 有?判别式≥0?. ②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况) 的特殊性,应谨慎处理. ③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与?弦?相关,?平行弦?问题的关 键是?斜率?、?中点弦?问题关键是?韦达定理?或?小小直角三角形?或? 点差法?、?长度(弦长)?问题关键是长度(弦长)公式 ( , , )或?小小直角三角形?. ④如果在一条直线上出现?三个或三个以上的点?, 那么可选择应用?斜率?为 桥梁转化. 4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、 参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质 (定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和 等价转化思想等),这是解析几何的两类基本问题,也是解析几何的基本出发 点. 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考 虑选择向量的几何形式进行?摘帽子或脱靴子?转化,还是选择向量的代数形 式进行?摘帽子或脱靴子?转化. ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程 时应注意轨迹上特殊点对轨迹的?完备性与纯粹性?的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于?平面几何性质?数形结合(如角 平分线的双重身份)、?方程与函数性质?化解析几何问题为代数问题、?分类

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讨论思想?化整为零分化处理、?求值构造等式、求变量范围构造不等关系? 等等. 九、直线、平面、简单多面体 1.计算异面直线所成角的关键是平移(补形)转化为两直线的夹角计算 2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影,或向量法(直线上向量 与平面法向量夹角的余角),三余弦公式(最小角定理, ),或先运用等积法 求点到直线的距离,后虚拟直角三角形求解.注:一斜线与平面上以斜足为顶 点的角的两边所成角相等 斜线在平面上射影为角的平分线. 3. 空间平行垂直关系的证明, 主要依据相关定义、公理、 定理和空间向量进行, 请重视线面平行关系、 线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理) 的桥梁作用. 注 意:书写证明过程需规范. 特别声明: ①证明计算过程中,若有?中点?等特殊点线,则常借助于?中位线、重心?等 知识转化. ②在证明计算过程中常将运用转化思想,将具体问题转化 (构造) 为特殊几 何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题,并获得去解 决. ③如果根据已知条件,在几何体中有?三条直线两两垂直?,那么往往以此为 基础,建立空间直角坐标系,并运用空间向量解决问题. 4.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥 关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质. 如长方体中:对角线长 ,棱长总和为 ,全(表)面积为 ,(结合 可得关于 他们的等量关系,结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式), ; 如三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外 心,侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心,斜高长相等 (侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心. 如正四面体和正方体中: 5.求几何体体积的常规方法是:公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性 质转换)法等.注意:补形:三棱锥 三棱柱 平行六面体 分割:三棱柱 中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 . 6.多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体. 正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都有相同数 目的棱,这样的多面体只有五种, 即正四面体、正六面体、正八面体、正十 二面体、正二十面体. 9.球体积公式 ,球表面积公式 ,是两个关于球的几何度量公式.它们都是球 半径及的函数. 十、导 数 1.导数的意义:曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际成 本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数). , (C为常数), , . 2.多项式函数的导数与函数的单调性: 在一个区间上 (个别点取等号) 在此区间上为增函数. 在一个区间上 (个别点取等号) 在此区间上为减函数. 3.导数与极值、导数与最值:

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(1)函数 在 处有 且?左正右负? 在 处取极大值; 函数 在 处有 且?左负右正? 在 处取极小值. 注意:①在 处有 是函数 在 处取极值的必要非充分条件. ②求函数极值的方法:先找定义域,再求导,找出定义域的分界点,列表求出 极值.特别是给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 ,又要考虑验?左 正右负?(?左负右正?)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记. ③单调性与最值(极值)的研究要注意列表! (2)函数 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中 的?最大值?; 函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的? 最小值?; 注意:利用导数求最值的步骤:先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的 点,然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小,其中最大的就 是最大值,最小就为最小值. 4.应用导数求曲线的切线方程,要以?切点坐标?为桥梁,注意题目中是?处 ??还是?过??, 对?二次抛物线?过抛物线上一点的切线 抛物线上该点处的 切线,但对?三次曲线?过其上一点的切线包含两条,其中一条是该点处的切 线,另一条是与曲线相交于该点. 5.注意应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态, 数形结合解决方程不等式等相关问题.

高中数学常用公式及结论
1 系: x ? A ? 元 素 与
n


n







x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . ? ? A ? A ? ?
个; 真子集有 2
n ? 1 个; 非空子集有 2 ? 1 n

2 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 个;非空的真子集有 2 ? 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;(2) 顶 点 式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式)(3) 零 点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; (当已 知抛物 线与 x 轴 的交点坐 标为 ( x1,0),( x2 ,0) 时 , 设 为 此 式 ) ( 4 ) 切 线 式 :
(1) 一 般 式 (当已知抛物线与直线 y ? kx ? d f ( x) ? a( x ? x0 )2 ? (kx ? d ), (a ? 0) 。 且切点的横坐标为 x0 时,设为此式) 4 真值表: 同真且真,同假或假 5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 相切

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

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对所有 x ,成立 对任何 x , 不成立 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同 假.) 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 充要条件: (1)、 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; (2) p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; 、 (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件;

4、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性: 增函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (2) 数学符号表述是:设 f(x)在 x ? D 上有定义,若对任意的 、

x1 , x2 ? D, 且x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则就叫 f(x)在 x ? D 上是增函数。D 则就是 f(x)
的递增区间。 减函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (2) 数学符号表述是:设 f(x)在 x ? D 上有定义,若对任意的 、

x1 , x 2 ? D, 且x 1 ? x 2,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则就叫 f(x)在 x ? D 上是减函数。D 则就是 f(x)
的递减区间。 单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数; (2) 、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交 集。 复合函数的单调性: 函数 单调 单调性 内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓ 外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑ 复合函数 ↑ ↑ ↓ ↓ 等价关系: (1)设 x1 , x2 ?

?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?
是增函数;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上 x1 ? x2

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( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?
是减函数. 果 (2)设函数

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上 x1 ? x2

y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数.

8 函数的奇偶性: (注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 定义:在前提条件下,若有

f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0 ,

则 f(x)就是奇函数。 性质: 、奇函数的图象关于原点对称; (1) (2) 、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3) 、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数: 定义:在前提条件下,若有

f (? x) ? f ( x) ,则 f(x)就是偶函数。

性质: 、偶函数的图象关于 y 轴对称; (1) (2) 、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2) 、奇函数·奇函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函 数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这 个函数是偶函数. 9 函数的周期性: 定义:对函数 f(x) ,若存在 T ? 0,使得 f(x+T)=f(x) ,则就叫 f(x)是周期函数, 其中,T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、f(x+T)= - f(x) ,此时周期为 2T ; (2) f(x+m)=f(x+n) 、 ,此时周期为 2 (3)、

m?n




f ( x ? m) ? ?

1 ,此时周期为 2m f ( x)
y

10 常见函数的图像:
y
y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

a>1

a>0

y=kx+b

y=ax2+bx+c

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y

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

11 对于函数

y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对 a?b 称轴是 x ? ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 2 b?a x? 对称. 2
(1) a
m n

12 分数指数幂与根式的性质:

? n am
?
n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n

?

? 1 ).
?

(2) a

m ? n

1
m n

?

1
n

a (3) ( a ) ? a .
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n

? 1 ).

(4)当 n 为奇数时, 13

?a, a ? 0 . an ? a ;当 n 为偶数时, n an ?| a |? ? ??a, a ? 0 b 指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? a ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
n
.

指数性质: (1)1、 a (4)、 a 指数函数: (1)、 (2) 、
r
?p

?
s

1 ap
r ?s



(2) a 、

0

? 1( a ? 0 )

; (3)、 a
m n

mn

? (a m ) n


?a ? a

(a ? 0, r, s ? Q)

; (5)、 a

? n am

y ? a x (a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; y ? a x (0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数。注:


指数函数图象都

恒过点(0,1) 对数性质:

loga M ? loga N ? loga (MN ) M log a M ? log a N ? log a ; N
(1) (3)、

; (

2

) 、

loga bm ? m ? loga b
loga a ? 1

;(4)、

log am b n ?

n ? log a b m



(5)、

loga 1 ? 0
(6)、 对数函数: ; (7)、

a loga b ? b

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y ? loga x(a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2) y ? loga x(0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数;注: 、
(1)、 都恒过点(1,0) (3)、

对数函数图象

loga x ? 0 ? a, x ? (0,1)或a, x ? (1, ??) (4)、 loga x ? 0 ? a ? (0,1)则x ? (1, ??) 或 a ? (1, ??)则x ? (0,1) log m N 14 对数的换底公式 : log a N ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 , 且 m ? 1 , log m a N ? 0 ). log N 对数恒等式: a a ? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). n n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). 推论 log a m b ? m
15 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1)

loga (MN ) ? loga M ? loga N

;

(2)

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) n log am N n ? log a N (n, m ? R) 。 m 16 平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 ) : log a
如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为

;

(4)

p

,则对于时间 x 的总产值

y

,有

y ? N (1 ? p)
17 等差数列:

x

.

通项公式: (1)

an ? a1 ? (n ?1)d
为末项。

, 其中 a1 为首项, 为公差, 为项数,an d n

an ? ak ? (n ? k )d (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用) n(a1 ? an ) 前 n 项和: (1) S n ? ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 n(n ? 1) d (2) S n ? na1 ? 2 (3) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用) (4) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (注:该公式对任意数列都适用) 常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ; (1)
(2)推广: 注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am 成等差。 (2) 、若

? an ? a p ? n、m、p

?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。

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(3) an 为等差数列, n 为其前 n 项和, Sm , S2m 、 则 S 也成等差数列。 (4) ap 、 (5) 等比数列: 通项公式: (1) q 为公比。

? ?

? Sm , S3m ? S2m

?qa, q ? ,a则 ?? 0 p pq n( n ? 1) 1+2+3+?+n= 2
an ? a1q n ?1 ?



a1 n ? q (n ? N * ) q

,其中 a1 为首项,n 为项数,

? ak ? qn?k (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 前 n 项和: (1) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (2) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
(2)推广: an

(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

? na1 ? (3) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?
常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 (1)

(q ? 1) (q ? 1)

am ? an ? a p ? aq



注: am是an , a p 的等比中项, 若 则有 p 成等比。 (2) 、若

am2 ? an ? ap ? n、m、

?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。
? ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利 (1 ? b)n ? 1

18 分期付款(按揭贷款) :每次还款 x 率为 b ). 19 三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0, (3)

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 | sin x | ? | cos x |? 1 .
2

?

20 同角三角函数的基本关系式 : sin

? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? cos ?



21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

;

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tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

.

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? 23 二倍角公式及降幂公式

?

b a

).

sin 2? ? sin ? cos ? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

.

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 2 tan ? sin 2? 1 ? cos 2? tan 2? ? tan ? ? ? . 2 1 ? tan ? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 2 2
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?
24 三角函数的周期公式 函数 且

.

y ? sin(? x ? ? ) , 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x?R x?R(A,ω, ? 为常数, ? 2? A≠0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A, 2 |? |

ω, ? 为常数,且 A≠0)的周期 T 三角函数的图像:

?

? . |? |

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2 2π

x

y=cosx
-2π -3π/2 -π -π/2

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2



x

25 正弦定理

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
: ;

26 余弦定理:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
27 面积定理: (1) S

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B

;

?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2

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(2) S

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2 a ? b-c斜边 2S? r?内切圆 ? , r直角?内切圆 ? a?b?c 2 ?

28 三角形内角和定理 : 在△ABC 中,有 A ? B ? C

? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2
?

29 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么: (1) 结合律:λ(μ a )=(λμ)

? a; ? ? ? (2)第一分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a ; ? ? ? ? (3)第二分配律:λ( a + b )=λ a +λ b . ? ? ? ? ? ? 30 a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos ?
31 平面向量的坐标运算:



? ? y2 ) . ? ? ? ? (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ?

?

?

(3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . ? ? (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) . ? ? ? ? (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) .
? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?|b | x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

32 两向量的夹角公式:

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

?

?

33 平面两点间的距离公式:

d A, B
B ( x2 , y2 ) ).

=

??? ? ??? ??? ? ? | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
?

(A

( x1 , y1 )



34 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b

?

?

? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零) ? ? ? ? ? ? a ? b ( a ? 0 ) ? a · =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 对应相乘和为零) b (

? ? 0 ,则:

35 线段的定比分公式 : P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 PP 的分点, ? 设 1 2 1 2

? x1 ? ? x2 ???? ???? ?x ? 1? ? ??? ? ???? ??? OP ? ? OP ? ? 2 是实数,且 PP ? ? PP ,则 ? ? OP ? 1 1 2 y1 ? ? y2 1? ? ?y ? ? 1? ? ?

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1? ? 36 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 x ? x ? x y ? y ? y3 ). C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是 G ( 1 2 3 , 1 2 3 3
37 三角形五“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角

??? ??? ? ? ???? 1 ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? 1 2

).

A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
38 常用不等式: (1) a, b ? R (2) a, b ? R

? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).

?

(4) (5)

a ? b ? a?b ? a ? b .
(当且仅当 a=b 时取“=”号)。

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a?b 2 2 39 极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(1)若积 xy 是定值

p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4 ? (3)已知 a, b, x, y ? R ,若 ax ? by ? 1 则有 1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 x y x y x y
。 (4)已知 a, b, x, y ? R ,若

a b ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y
? 2

40 一元二次不等式 ax

? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 2 2 与 ax ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其
解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即:

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x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
41 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
42 斜率公式 :

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ). 1 2

43 直线的五种方程:

y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 (3)两点式 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ? 1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条
(1)点斜式 件! )

x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). ? ? 直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量: l ? ? ( A, B) ,方向向量: l ? ( B, ? A)
(4)截距式 44 夹角公式: (1) tan ?

(2)

k2 ? k1 | . ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 tan ? ?| 1 2 | .( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B2 ?|
直线 l1

A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). ? l2 时,直线 l 与 l 的夹角是
1 2

? 2

.

45

l1 到 l2 的角公式: k2 ? k1 (1) tan ? ? .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) .( tan ? ? 1 2 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 A1 A2 ? B1B2 l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l 到 l 的角是 . 2
1 2

,

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46 点 到 直 线 的 距 离 :

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点

P( x0 , y0 )

,直线

l



Ax ? By ? C ? 0 ).
47 圆的四种方程: (1)圆的标准方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0). ? x ? a ? r cos? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
48 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 种: 若d
2

? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三

? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 2 2 2 49 直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的

A2 ? B 2 ; d ? r ? 相离 ? ? ? 0 d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
则:

位置关系有三种( d

?

Aa ? Bb ? C

):

d ? r ? 相切 ? ? ? 0

;

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1, 2, O 半径分别为 r1, 2,O1O2 r

?d,

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
51 椭 圆

内含

内切 r2-r1
离心率

相交

外切 相离 r1+r2

o
? x ? a cos? ? ? y ? b sin ?

d
.

d

d

d

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的参数方程是

e?

c b2 ? 1? 2 a a



准线到中心的距离为

a2 c

,焦点到对应准线的距离(焦准距)

p?

b2 c



b2 2? 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: a

.

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52 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex PF2 ? e( ? x) ? a ? ex , ; c c ?F PF S?F1PF2 ? c | yP |? b 2 tan 1 。 2

53 椭圆的的内外部:

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a2 b a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 54 椭圆的切线方程: (1) 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

上一点

P( x0 , y0 )

处的切线方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
(2)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 2 2 2 A a ? B b ? c2 .
55 双曲线

与直线

Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是

x2 y 2 c b2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ? 1 ? 2 ,准线到中心的距 a2 b a a 2 2 a b 离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。过焦点且垂直于实轴的弦叫 c c b2 通经,其长度为: 2? . a a2 a2 ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , 焦半径公式 PF ?| e( x ? 1 c c ?F1 PF 2 两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F PF ? b cot 。 1 2 2

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

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(1 ) 若 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 ? ?1 ? a2 b2

渐 近 线 方 程 :

x2 y 2 ? ?0? y??b x. a 2 b2 a
(2) 若 渐 近 线 方 程 为 y ? ?

x y b ? ?0 ? 双曲线可设为 x ? a b a

x2 y2 ? ??. a2 b2

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a2 b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。
(3)若双曲线与 57 双曲线的切线方程: (1) 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

上一点

P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
(2) 过 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ?1 与 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . 2 58 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式:
抛物线

直 线

Ax ? By ? C ? 0

相 切 的 条 件 是

y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ?
CD ? x1 ?

p . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 b 2 4ac ? b2 2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 59 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ( x ? 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ) ; 焦点的坐标为 (? , ); (1) 顶点坐标为 (? (2) 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a
过焦点弦长 60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

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AB ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 )2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A

( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
线
2

,由方程

?y ? kx ? b ? ?F( x, y) ? 0
k

消去 y 得到

ax2 ? bx ? c ? 0 ??0 , ? 为 直

AB

的 倾 斜 角 , .

为 直 线 的 斜 率 ,

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

61 证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 62 证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63 证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则: (1)

?

?

? ? a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? ? (2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? (3)λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ?R); ? ? (4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;
65 夹角公式: 设

? a ? ? cos ? a, b ??



, (a1 , a2 , a3 ) a1b1 ? a2b2 ? a3b3

? b
.



(b1, b2 , b3 )





2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

66 异面直线间的距离 :

67 点 B 到平面 ? 的距离:

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 是 l1 , l2 上任一点, d? |n| d 为 l1 , l2 间的距离). ??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, A ? ? , AB 是 ? 的一条斜线段). d? |n|

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68 球的半径是 R,则其体积 V

4 ? ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

69 球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球 的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

70

6 a (正四面体高 4 分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . :
(正四面体高 ),外接球的半径为 分步计数原理(乘法原理) N :
*

1 6 a的 4 3

6 a 12 3 6 a的 4 3

).

71 排列数公式 定 0! ? 1 .

? m1 ? m2 ??? mn . n! m :An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) = .( n , ?N , m ? n ). 且 规 m (n ? m)!
m

72 组合数公式:C n = 且m ?

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = = ( n ?N , m ? N , m 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ? Am
*

n ).
m n?m

组合数的两个性质:(1) C n = C n 73 二项式定理

;(2)

m 0 m m C n + Cn ?1 = Cn?1 .规定 Cn ? 1 .

0 1 2 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n

;

二项展开式的通项公式 Tr ?1

r 1, ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n) .

f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 的展开式的系数关系:
a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? f (1) a0 ? f (0) 。


a0 ? a1 ? a2 ? ?? (?1)n an ? f (?1)



74 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+ P(An). 75 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率: 1· A2· P(A ?· An)=P(A1)· P(A2)· ?· P(An). 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P (k ) ? Cn P n
k k

(1 ? P)n?k .

77 数学期望: E? (1) E (a? (3)

? x1P ? x2 P2 ? ? ? xn Pn ? ? 1
(2)若 ? ~ B(n,

数学期望的性质

p) ,则 E? ? np . 1 k ?1 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q p ,则 E? ? . p
? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

? b) ? aE(? ) ? b .

78 方差: D?

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标准差: ?? = 方差的性质: (1) D

D? .

? a? ? b? ? a2 D? ;
p) ,则 D? ? np(1 ? p) .

(2)若 ? ~ B(n,

(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? 方差与期望的关系: D? 79 正态分布密度函数:

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?
2

q p2

.

? E? 2 ? ? E? ?
? 1 e 2? 6

.

f ? x? ?

? x?? ?
262

2

, x ? ? ??, ?? ? ,

式中的实数μ, ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 对于 N (? , ?
2

80

81

? x?? ? ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? f (x) 在 x0 处的导数(或变化率) : f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的 斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
(1) (4) (6)
n?1 C ? ? 0(C 为常数) .(2) ( x n )? ? nx (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x . 1 1 (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ? ; (log a x)? ? log a e . x x x x x x (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .

82 几种常见函数的导数:

83 导数的运算法则: ( 1 )

(u ? v)' ? u ' ? v'

. ( 2 )

(uv)' ? u 'v ? uv'

. ( 3 )

u u 'v ? uv ' ( )' ? (v ? 0) . v v2 84 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法: 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值;

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85

f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
(2)如果在 x0 附近的左侧

86 复数 z

? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a2 ? b2
( z1

.

87 复平面上的两点间的距离公式:

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
88 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ①若 ?
2

? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).

? bx ? c ? 0 ,

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有
? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 两个共轭复数根 x ? (b ? 4ac ? 0) . 2a

高中数学公式提升 一、集合、简易逻辑、函数 1. 研 究 集 合 必 须 注 意 集 合 元 素 的 特 征 即 三 性 ( 确 定 , 互 异 , 无 序 ); 已 知 集 合 A={x,xy,lgxy},集合 B={0,|x|,y},且 A=B,则 x+y= 2. 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合 M={y|y=x2 ,x
2 ?R},N={y|y=x +1,x?R},求 M∩N;与集合 M={(x,y)|y=x2 ,x?R},N={(x,y)| 2 y=x +1,x?R}求 M∩N 的区别。

3. 集合 A、B, A ? B

? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ; 求 集 合 的 子 集 A? B 时 是 否 忘 记 ? . 例 如 : ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 2?x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的取植范围,你讨
n

论了 a=2 的情况了吗? 4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为 2

, n ? 1, 2 n ? 1, 2 n ? 2. 如满足条件 {1} ? M ? {1,2,3,4} 的集 2

合 M 共有多少个 5. 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和 跳舞中的一项,其中 7 人会唱歌跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人, 表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法? 6. 两集合之间的关系。 M

? {x x ? 2k ? 1, k ? Z}, N ? {x x ? 4k ? 1, k ? Z}
B ? B ? B ? A;

7. (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B); A ? 8、可以判断真假的语句叫做命题.

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逻辑连接词有“或”“且”和“非”. 、 p、q 形式的复合命题的真值表: (真且真,同假或假) p 真 真 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系: q 真 假 真 假 互 互 为 逆 否 否 逆 否 否 逆 互 互 否 P且q 真 假 假 假 逆 P或q 真 真 真 假

原命题 若p则q
互 否

逆命题 若q则p

否命题 若﹃p则﹃q





逆否命题 若﹃q则﹃p

原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗?映射 f:A→B 中,A 中元素的任意性和 B 中与它对应元 素的唯一性,哪几种对应能够成映射? 11、函数的几个重要性质: ①如果函数

y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? 或 f(2a-x) =f(x) ,那么函数 y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? a 对称. ②函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称; 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图象关于直线 y ? 0 对称; 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?? x ? 的图象关于坐标原点对称. ③ 若 奇 函 数 y ? f ?x ? 在 区 间 ?0,??? 上 是 递 增 函 数 , 则 y ? f ?x ? 在 区 间 ?? ?,0?上也是递增函数. ④ 若 偶 函 数 y ? f ?x ? 在 区 间 ?0,??? 上 是 递 增 函 数 , 则 y ? f ?x ? 在 区 间 ?? ?,0?上是递减函数. ⑤函数 y ? f ?x ? a ? ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的;函数 y ? f ?x ? a ? ( ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图
象沿 x 轴向右平移 函数

a 个单位得到的;
a y

y ? f ?x ? +a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 个单位得到的;函数 y ? f ?x ? +a ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿
轴向下平移

a 个单位得到的.
x(4 ? x) lg(x ? 3) 2
的定义域是 ;

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗? 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?函数 y=

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复合函数的定义域弄清了吗?函数 f (x ) 的定义域是[0,1],求 f (log 0.5 x ) 的定义域. 函数 f (x ) 的定义域是[ a, b ], b ? ? a ? 0, 求函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) 的定义域 14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条 件了吗? 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函 数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 15、据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值, 作差, 判正负.)可别忘了 导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 16、 函数

y ? x?

单调递增;在

? ? 和 ?0, a ?上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!
b?

a ?a ? 0? 的单调区间吗? (该函数在 ? ?,? a x ? a ,0

?

?和 ? a ,???上

17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且 不等于 1)字母底数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?( loga 19、 你还记得对数恒等式吗?( a
loga b

logc b , loga n b n ? loga b ) logc a

? b) 2 20、“ 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 有 实 数 解 ” 转 化 为 2 “ ? ? b ? 4ac ? 0 ” ,你是否注意到必须 a ? 0 ;当 a=0 时, “方程有解”不 2 能转化为 ? ? b ? 4ac ? 0 .若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等
式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形? 二、三角、不等式 21、 三 角 公 式 记 住 了 吗 ? 两 角 和 与 差 的 公 式 ________________ ; 二 倍 角 公 式:________________;解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数, 看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降 次, 22、 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?正切函数在整个定 义域内是否为单调函数?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗? 23、 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 1 ? sin
2

? tan x ? cot x ? tan

?

4

? sin

?

x ? cos2 x ? sec 2 x ? tan2 x
常数

2

? cos 0 ? ?? 这些统称为 1 的代换)

“1”的种种代换有着广泛的应用. (还有同角关系公式:商的关系,倒数关系,平 方关系; 诱导公试:奇变偶不变,符号看象限) 24、 在 三 角 的 恒 等 变 形 中 , 要 特 别 注 意 角 的 各 种 变 换 .( 如

? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? ,

???
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?2 ? ?

等) 25、 你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、函数种类最少、分母不含三角函 数、且能求出值的式子,一定要算出值来) 26、 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特 殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 你还记得降幂公式吗? ; 2 2 cos x=(1+cos2x)/2;sin x=(1-cos2x)/2 27、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

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sin 15? ? cos75? ?

6? 2 6? 2 5 ?1 , sin 75? ? cos15? ? , sin 18? ? 4 4 4


28、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( l 29、 辅助角公式: a sin x ? b cos x 限由 a, b

? ? r , S 扇形 ?

1 lr ) 2

? a 2 ? b 2 sin?x ? ? ? (其中 ? 角所在的象 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ? 确定)在求最值、化简时起着重要 a

作用. 30、 三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区、 对称轴,取最值时的 x 值的集合吗?(别忘了 k ? Z) 三角函数性质要记牢。函数 y= 振幅|A|,周期 T=

A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质:

2?

?

, 若 x=x0 为此函数的对称轴,则 x0 是使 y 取到最值的点,反 , 当?

之亦然,使 y 取到最值的 x 的集合为 间为 ,减区间为 于零后再用上面的结论。 五点作图法:令 ?x ;当 ?

? 0 时要利用诱导公式将 ? 变为大
求出 x 与 y,依点

? 0, A ? 0 时函数的增区

? ? 依次为 0

?
2

,? ,
?

3? ,2? 2

?x, y ? 作图

31、三角函数图像变换还记得吗? 平移公(1)如果点 P(x,y)按向量 a

? ?h, k ?

平移至 P′(x′,y′) ,则

? ' ? x ? x ? h, ? ' ? y ? y ? k. ?
?

(2) 曲线 f(x,y)=0 沿向量 a

? ?h, k ? 平移后的方程为 f(x-h,y-k)

=0 32、 有关斜三角形的几个结论:(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式 33、 在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们 各自的取值范围及意义? ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是

? ? ?? ? 0, ?, [0, ],[0, ? ] . 2 ? 2? ② 直 线 的 倾 斜 角 、 l1 到 l 2 ? [ 0, ? ), [ 0, ? ), ( 0, ] . 2
35、 分式不等式

的角、

l1



l2

的夹角的取值范围依次是

34、 不等式的解集的规范书写格式是什么?(一般要写成集合的表达式)

f ?x ? ? a?a ? 0? 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分 g ?x ?

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解因式,x 的系数变为正值,奇穿偶回) 36、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论) 37、 利用重要不等式 a ? b ?
?

2 ab

以及变式 ab ? ?

?a?b? ? ? 2 ?

2

等求函数的最值时,

你是否注意到 a,b ? R (或 a ,b 非负) ,且“等号成立”时的条件,积 ab 或和 a+b 其中之一应是定值?(一正二定三相等) 38、

a2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? , (a , b ? R ? ) 2 2 a?b
时, 取等号) ; 时,取等号) ;

( 当 且 仅 当 a ?b?c

2 2 2 a、 c ? R,a ? b ? c ? ab ? bc ? ca(当且仅当 a ? b ? c b、

39、 在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底 0

a ? 1 )讨论完之后,要写出:综上所述,原不等式的解集是??. 40、 解含参数的不等式的通法是 “定义域为前提, 函数增减性为基础, 分类讨论是关键. ” 41、 对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?(转化为最值问题) 三、数列
42、 等差数列中的重要性质: (1)若 m ? n

? a ? 1或

? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (2)
3 1 d 、a- d 、 2 2

数列{a2n?1}, {a 2n }, {ka n ? b}仍成等差数列; S n , S2n ? S n , S3n ? S2n 仍成等差数列
(3)若三数成等差数列,则可设为a-d、a、a+d;若为四数则可设为aa+

1 3 d 、a+ d ; 2 2 (4)在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项

皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为 最大(小).即:当a1 >0,d<0,解不等式组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n 的值;当a1 <0,d>0,解不等式组 可得Sn 达最小值时的n的值; a S (5) .若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则 m ? 2 m?1 。. b m T2 m?1 (6).若{ a n }是等差数列,则{ a 则{ loga
an
an

an ≤0 an+1 ≥0

}是等比数列,若{ a n }是等比数列且 a n ? 0 ,

}是等差数列.

43、 等比数列中的重要性质: (1)若 m ? n

? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (2)

S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等比数列
44、 你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时,需要分类讨论. q (

? 1 时,

a1 (1 ? q ) ) 1? q 45、 等比数列的一个求和公式:设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公比为 q ,

S n ? na1 ; q ? 1 时, S n ?

n



S m?n ? S m ? q S n .
m

46、 等差数列的一个性质:设 S n 是数列 件是

?an ?的前 n 项和, ?an ?为等差数列的充要条

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S n ? an ? bn
2

(a, b 为常数)其公差是 2a.

47、 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?(若 cn 等差数列, 48、 用 an

?bn ?是等比数列,求 ?cn ?的前 n 项的和)

? an bn ,其中 ?an ? 是

? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到 a1 ? S1 了吗? 1 1 1 49、 你还记得裂项求和吗?(如 .) ? ? n(n ? 1) n n ? 1
四、排列组合、二项式定理 50、 解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合. 51、 解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法; 定位问题优先法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多 至少问题间接法,还记得什么时候用隔板法? 52、 排列数公式是:
m

组合数公式是: 排列数与组合数的关系是: P n
n?m m m m C n + Cn ?1 = Cn?1 r n r ?1 n?1

m

? m!Cn ? m

组合数性质: C n = C n

?C
r ?0

n

r n

=2

n

C ?C
r r

r r ?1 0 n

?C
n

r r ?2

? ?? C ? C

1 n n?1 2 n


n




n ?2


r n n ?r


n n n

(a ? b) ? C a ? C a b ? C a
二项展开式的通项公式: Tr ?1

b ? ?? C a
2

b ? ?? C b
r

r 1, ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n)

五、立体几何 53、 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线//线 ? 线//面 ? 面//面,线 ⊥线 ? 线⊥面 ? 面⊥面,垂直常用向量来证。 54、 作出二面角的平面角主要方法是什么? (定义法、 三垂线法) 三垂线法: 一定平面, 二作垂线,三作斜线,射影可见. 55、 二面角的求法主要有:解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量 56、 求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积变换法、法向量法) 57、 你记住三垂线定理及其逆定理了吗? 58、 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角,常常与经度及纬度联系在一 起,你还记得经度及纬度的含义吗?(经度是面面角;纬度是线面角) 59、 你还记得简单多面体的欧拉公式吗?(V+F-E=2,其中 V 为顶点数,E 是棱数,F 为 面数),棱的两种算法,你还记得吗?(①多面体每面为 n 边形,则 E= 面体每个顶点出发有 m 条棱,则 E=

nF 2

;②多

mV 2

)

六、解析几何 60、 设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,你是否注意到直线垂直于 x 轴时,斜率 k 不存在的情况? (例如: 一条直线经过点 ? ? 3,?

? ?

3? 2 2 ? ,且被圆 x ? y ? 25 截 2?

61、 定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及 ? 值可要搞清) 线段的定比分点坐标公式

得的弦长为 8,求此弦所在直线的方程。该题就要注意,不要漏掉 x+3=0 这一解.)

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?

设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 P P 1

? ? PP2

?

,则

62、 若

x1 ? ?x 2 x1 ? x 2 ? ? ?x ? 1 ? ? ?x ? 2 ? ? 中点坐标公式 ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? y ? y1 ? y 2 ? ? 1? ? 2 ? ? A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心

G 的坐标是

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ? ? 在利用定比分点解题时,你注意到 ? ? ?1 了 3 3 ? ?
吗? 63、 在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几 何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 64、 直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以及各种形式 的局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线) 65、 对不重合的两条直线 l1 有:

: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

? A1 B2 ? A2 B1 ; l1?l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . l1 // l 2 ? ? ? A1C 2 ? A2 C1
66、 直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为 0. 67、 直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为

x y ? ? 1 ,但不要忘记当 a b
的 距 离 公 式

a=0 时,直线 y=kx 在两条坐标轴上的截距都是 0,也是截距相等. 68、 两 直 线

Ax ? By ? C1 ? 0



Ax ? By ? C2 ? 0

d=—————————— 69、 直线的方向向量还记得吗?直线的方向向量与直线的斜率有何关系?当直线 L 的 方向向量为 m =(x0,y0)时,直线斜率 k=———————;当直线斜率为 k 时, 直线的方向向量 m =————— 70、 到角公式及夹角公式———————,何时用? 71、 处理直线与圆的位置关系有两种方法: (1)点到直线的距离; (2)直线方程与圆的 方程联立,判别式. 一般来说,前者更简捷. 72、 处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 73、 在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆 的几何性质. 74、 在利用圆锥曲线统一定义解题时, 你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序? 两个定义常常结伴而用,有时对我们解题有很大的帮助,有关过焦点弦问题用第二 定义可能更为方便。 (焦半径公式:椭圆:|PF1|=———— ;|PF2|=———— ;双曲线: |PF1|=————


|PF2|=————(其中 F1 为左焦点 F2 为右焦点 ) 抛物线: ; |PF|=|x0|+

p 2



75、 在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否 为零?判别式 ? 在?

? 0 的限制. (求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都 ? 0 下进行).

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76、 椭圆中,a,b,c 的关系为————;离心率 e=————;准线方程为————;焦点到相应准 线距离为———— 双曲线中, b, 的关系为————; a, c 离心率 e=————; 准线方程为————; 焦点到相应准线距离为———— 77、 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 78、 你知道吗?解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化, 特别是一些很不 起眼的条件,有时起着关键的作用:如:点在曲线上、相交、共线、以某线段为直 径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆 参数方程不要忘,有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想 方法,要记得画图分析哟! 79、 你注意到了吗?求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀! 80、 在解决有关线性规划应用问题时,有以下几个步骤:先找约束条件,作出可行域, 明确目标函数,其中关键就是要搞清目标函数的几何意义,找可行域时要注意把直 线方程中的 y 的系数变为正值。如:求 2<5a-2b<4,-3<3a+b<3 求 a+b 的取值范围, 但也可以不用线性规划。 七、向量 81、 两向量平行或共线的条件,它们两种形式表示,你还记得吗?注意 a 平行的充分不必要条件。(定义及坐标表示)

? ? b 是向量
2

82、 向量可以解决有关夹角、 距离、 平行和垂直等问题, 要记住以下公式: a | = a ·a , | cosθ=

a?b | a || b |

?

x1x2 ? y1 y 2 x12 ? y12 x2 2 ? y 2 2

83、 利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存 在的情况, 要注意 a ? b ? 0 是向量 a和向量 夹角为钝角的必要而非充分条件。 b 84、 向量的运算要和实数运算有区别:如两边不能约去一个向量,向量的乘法不满足结 合律,即 a(b ? c)

? (a ? b)c ,切记两向量不能相除。

85、 你还记得向量基本定理的几何意义吗?它的实质就是平面内的任何向量都可以用 平面内任意不共线的两个向量线性表示,它的系数的含义与求法你清楚吗? 86、 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,这是题目中的天然条件,要注意运 用,对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取 模,两边同乘以 一个向量,但不能两边同除以一个向量。 87、 向量的直角坐标运算
?


? ?

a ? ?a1 , a2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ?
?

?

,



a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?
?

a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?
?

?

? a ? ??a1 , ?a2 , ?a3 ??? ? R ?
2 2 a ? a? a ? a12 ? a2 ? a3 ? ?

? ?

a? b ? a1b1 ? a2 b2 ?a 3 b3
? ?

cos ? a, b ??
? ?

a1 b1 ? a2 b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

a// b ? a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , ?? ? R ?

,

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?

a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b 3 ? 0
设 A=
?

?

?x1 , y1 , z1 ? , B= ?x2 , y 2 , z 2 ?, ? ? 则 AB ? OB ? OA ? ?x 2 , y 2 , z 2 ?- ?x1 , y1 , z1 ? = ?x2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 ?
AB ? AB? AB ?
? ? ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2
'

八、导数 88、 导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率,学会定义的多种变形。 89、 几个重要函数的导数:① C 导数的四运算法则

?? ? ? ?' ? ? ' ? ? '
0

? 0 ,(C 为常数)② x n ? nxn?1 ?n ? Q ?
'

? ?

90、 利用导数可以证明或判断函数的单调性,注意当 f ’(x)≥0 或 f ’(x)≤0,带上 等号。 91、
0 0

f ? (x )=0 是函数 f(x)在 x 处取得极值的非充分非必要条件,f(x)在 x 处取得极

值的充分要条件是什么? 92、 利 用 导 数 求 最 值 的 步 骤 : 1 ) 求 导 数 (

f ' ?x ? ( 2 ) 求 方 程 f ' ?x ? =0

的根

x1 , x2 ,?, xn
(3)计算极值及端点函数值的大小 (4)根据上述值的大小,确定最大值与最小值. 93、 求函数极值的方法:先找定义域,再求导,找出定义域的分界点,根据单调性求出 极值。告诉函数的极值这一条件,相当于给出了两个条件:①函数在此点导数值为 零,②函数在此点的值为定值。 九、概率统计 94、 有关某一事件概率的求法:把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列 组合的知识),转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率,利用对立事件的概率, 转化为相互独立事件同时发生的概率, 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的 概率,但要注意公式的使用条件。 (1)若事件 A、B 为互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)若事件 A、B 为相互独立事件,则 P(A·B)=P(A) ·P(B) (3)若事件 A、B 为对立事件,则 P(A)+P(B)=1 一般地, 恰好发生 K 次的概率:
k Pn ?K ? ? Cn p k ?1 ? p? n ?k

p A ? 1 ? P? A?

??

(4)如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事

95、 抽样方法主要有: 简单随机抽样(抽签法、 随机样数表法)常常用于总体个数较少时, 它的主要特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主 要特征就是均衡成若干部分,每一部分只取一个;分层抽样,主要特征分层按比例 抽样,主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相 等。 96、 用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。 十、解题方法和技巧 97、 总体应试策略:先易后难,一般先作选择题,再作填空题,最后作大题,选择题力 保速度和准确度为后面大题节约出时间,但准确度是前提,对于填空题,看上去没 有思路或计算太复杂可以放弃,对于大题,尽可能不留空白,把题目中的条件转化 代数都有可能得分,在考试中学会放弃,摆脱一个题目无休止的纠缠,给自己营造 一个良好的心理环境,这是考试成功的重要保证。

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98、 解答选择题的特殊方法是什么? (顺推法,估算法,特例法,特征分析法,直观选择法,逆推验证法、数形结合法 等等) 99、 答填空题时应注意什么?(特殊化,图解,等价变形) 100、 解答应用型问题时,最基本要求是什么? 101、 审题、找准题目中的关键词,设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注 明单位、作答学会跳步得分技巧,第一问不会,第二问也可以作,用到第一问就直 接用第一问的结论即可,要学会用“由已知得” “由题意得” “由平面几何知识得” 等语言来连接,一旦你想来了,可在后面写上“补证”即可。

数学高考应试技巧 数学考试时,有许多地方都要考生特别注意.在考试中掌握好各种做题技巧,可以 帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。 考试注意: 1.考前5分钟很重要 在考试中,要充分利用考前5分钟的时间。考卷发下后,可浏览题目。当准备工作(填 写姓名、考号等)完成后,可以翻到后面的解答题,通读一遍,做到心中有数。 2.区别对待各档题目 考试题目分为易、中、难三种,它们的分值比约为3:5:2。考试中大家要根据自身 状况分别对待。 ⑴做容易题时,要争取一次做完,不要中间拉空。这类题要100%的拿分。 ⑵做中等题时,要静下心来,尽量保证拿分,起码有80%的完成度。 ⑶做难题时,大家通常会感觉无从下手。这时要做到: ①多读题目,仔细审题。 ②在草稿上简单感觉一下。 ③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题,不多做考虑,就彻底投降。解答题多为 小步设问,许多小问题同学们都是可以解决的,因此,每一个题、每一个问,考生都要 认真对待。 3.时间分配要合理 ⑴考试时主要是在选择题上抢时间。 ⑵做题时要边做边检查,充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检查”

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的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。 ⑶在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。


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