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【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件:3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第1课时


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
不等式

第三章

不等式

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必修5

第三章
3.3 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域

第三章

不等式

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1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

第三章

3.3

第1课时

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课前自主预习

第三章

3.3

第1课时

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景泰蓝是我国古老而又令很多人喜 欢的手工艺品, 它制作的关键一步是在制 好的铜胎上, 用扁铜丝依据图案要求把铜 胎表面划分为若干个小的区域.例如,一 片树叶就需要两条铜丝围成树叶形的封 闭区域, 一个三角形需要三条铜丝围成一 个封闭区域,…….铜丝有直有曲、有长有短,区域形状各异, 然后再经“点蓝”等工艺就制作成功.那么在制作过程中,这 些区域是如何确定的呢?
第三章 3.3 第1课时

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观察下列不等式: (1)x+y-1>0;

(2)x+2y-1>0且2x-3y+2<0.
以上不等式,各有________个未知数,并且未知数的最高 次数是________. [答案] 2 1

第三章

3.3

第1课时

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1.二元一次不等式(组)的概念 两个 未知数,并且未知数的次数是____ 1 的不等 (1)含有_______ 式称为二元一次不等式. (2)把由几个二元一次不等式组成的不等式组,称为二元一 次不等式组. (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式 (组) 的 x 和 y 的取值构成有序数对(x、y),所有这样的有序数对(x、 y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

第三章

3.3

第1课时

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下列不是二元一次不等式(组)的是( A.-x-y+2<0 B.2x+y-1>0 C.y2≥2x
? ?3x+2y-1≥0 D.? ? ?2x-y+1≤0

)

[答案] C [解析] 选项C中,y的最高次数是2,不符合二元一次不等

式的定义,故选C.
第三章 3.3 第1课时

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2.二元一次不等式(组)表示的平面区域.
(1) 在平面直角坐标系中,画出直线 l : x + y - 2 = 0 ,和点 A(0,1) 、 B(0,2) 、 C(1,2) 、 D(2,3) 、 E( - 1 ,- 2) 、 F( - 3 , 0) 、 G(0,-5)、H(3,5)、M(0,0)、N(4,0), 观察这些点,哪些在直线 l 的上方?哪些在直线l的下方?

并将点的坐标代入F(x,y)=x+y-2中,看在l上方的点,与在l
下方的点,使F(x,y)的值都取怎样的符号,你能由此得出什么 结论? 自己再取一些点试试看,为什么会有这种现象?

第三章

3.3

第1课时

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如图:

第三章

3.3

第1课时

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C、D、H、N都在直线l的上方,它们都使F(x,y)>0,A、 M、E、F、G都在直线下方,它们都使F(x,y)<0,这是因为由 x + y - 2 = 0 ,得 y =- x + 2 ,使 y =- x + 2 成立的点都在直线 l 上,使y>-x+2成立的点都在l的上方,使y<-x+2成立的点都

在l的下方.

第三章

3.3

第1课时

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(2) 由上面探索可知,二元一次不等式 Ax + By + C > 0 在平 面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的 平面区域,对于在直线 Ax + By + C = 0 的同一侧的所有点 (x 、 相同 ,所以只需在此直线的某 y),实数Ax+By+C的符号都_______

一侧任取一点(x0,y0)把它的坐标代入Ax+By+C,由其值的符
号可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧.特别地当C≠0时, 常把原点作为测试点.C=0时常取(1,0)作为测试点.

第三章

3.3

第1课时

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(3)直线Ax+By+C=0把平面内不在直线l上的点分成两部 分.我们把直线 l 叫做这两部分的边界.不等式 Ax + By + C > 0( 或 < 0) 表 示 的 平 面 区 域 不 包 括 边 界 , 我 们 把 直 线 画 成 虚线 ;不等式 Ax + By + C≥0( 或 ≤ 0) 表示的平面区域包括边 _______ 实线 . 界,把边界画成_______

第三章

3.3

第1课时

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画出下列不等式表示的平面区域: (1)3x-y>0;(2)y≤-2x+3.

[分析]

(1)中的直线3x-y=0过原点,判断区域时可代入

点(1,0).(2)中方程先变形为2x+y-3≤0后再求解.

第三章

3.3

第1课时

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[解析]

(1)画出直线3x-y=0(画成虚线),将点(1,0)代入3x

- y 得 3×1 - 0>0 , ∴ 不等式 3x - y>0 表示的平面区域与点 (1,0) 位于直线3x-y=0的同侧,如图所示.

第三章

3.3

第1课时

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(2) 将 y≤ - 2x + 3 变形得 2x + y - 3≤0 ,先画出直线 2x + y - 3
=0(画成实线). 将点(0,0)代入2x+y-3得-3<0, ∴2x+y-3≤0表示的区域与点(0,0)位于直线2x+y-3=0的 同侧,如图所示.

第三章

3.3

第1课时

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课堂典例探究

第三章

3.3

第1课时

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二元一次不等式表示的平面区域

画出不等式 2x+y-6≤0 表示的平面区域.
[解析] 先画直线2x+y-6=0(画成实线),把原点(0,0),

代入2x+y-6. 因为2×0+0-6=-6<0,

所以(0,0)在2x+y-6≤0表示的平面区
不等式2x+y-6≤0表示的区域如图所示.

域内,

第三章

3.3

第1课时

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[方法总结]

由于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点

(x,y),使实数Ax+By+C的符号相同,所以只须在此直线的某 侧任取一点(x0,y0),把它的坐标代入Ax+By+C,由其值的符 号即可判断 Ax + By + C > 0( 或< 0) 表示直线的哪一侧,当 C≠0

时,常把原点作为此特殊点.此题也可先把不等式-x+2y-4
<0化为x- 2y+4> 0,因为A>0 ,B< 0,所以x-2y +4>0表 示直线x-2y+4=0右下方的平面区域.

第三章

3.3

第1课时

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画出不等式-x+2y-4<0 表示的平面区域.
[解析] 先 画 直线- x + 2y - 4 = 0( 画 成虚 线 ) , 取原 点

(0,0),代入-x+2y-4,因为0+2×0-4<0,所以,原点在-
x+2y-4<0表示的平面区域内,所以,不等式-x+2y-4<0 表示的区域如图所示.

第三章

3.3

第1课时

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二元一次不等式组表示的平面区域

画出下列不等式组表示的平面区域. ?x-y+5≥0 ? ?x+y+1≥0 ?x≤3 ?
[分析]

.

不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平

面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部

分.

第三章

3.3

第1课时

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[解析]

不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方

的点的集合,x+y+1≥0表示直线x+y+1=0上及右上方的点的 集合, x≤3 表示直线 x = 3 上及左方的点的集合,所以不等式组 表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界).

第三章

3.3

第1课时

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?2x-y-1≥0 ? 画出不等式组?x>-y ?x≤3 ?

表示的平面区域.

[ 解析]

不等式2x - y- 1≥0 表示的平面区

域是直线2x-y-1=0下方区域(包括直线上的
点);不等式x>-y即x+y>0,表示的区域是直 线x +y =0 上方区域 ( 不包括直线 ) ; x≤3 表示的 区域为直线 x=3的左侧区域( 包括直线) ;不等 式组表示的区域为三个平面区域的公共部分,

如图中的阴影部分.
第三章 3.3 第1课时

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二元一次不等式组表示的平面区域
?y≤x ? 不等式组?x+2y≤4 ?y≥-2 ? ( ) 25 A. 3 100 C. 3 50 B. 3 10 D. 3

表示的平面区域的面积为

[答案] B
第三章 3.3 第1课时

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[ 解析]

?y≤x ? 不等式组?x+2y≤4 ?y≥-2 ?

表示的平面区域如图所示.

第三章

3.3

第1课时

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? ?y=-2 由? ? ?x-y=0

? ?x=-2 ,得? ? ?y=-2

. .

? ?y=-2 由? ? ?x+2y-4=0

? ?x=8 ,得? ? ?y=-2

? 4 x=3 ? ? x - y = 0 ? 由? ,得? . ? ?x+2y-4=0 ?y=4 ? 3 4 4 ∴A(3,3)、B(-2,-2)、C(8,-2). 4 10 ∴BC=10,点 A 到边 BC 的距离 d=3-(-2)= 3 . 1 10 50 ∴平面区域的面积为 S=2×10× 3 = 3 .
第三章 3.3 第1课时

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?x≤0 ? 不等式组?y≥0 ?y-x≤2 ?

表示的平面区域的面积为________.

[答案] 2

第三章

3.3

第1课时

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[ 解析]

画出不等式组表示的平面区域如图,

1 其面积 S=2×2×2=2.

第三章

3.3

第1课时

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由平面区域求二元一次不等式(组)

画出以 A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)为顶点的△ ABC 的区域(包括边界),写出该区域所表示的二元一次不等式 组.
[分析] 利用直线方程的点斜式,可求得边界所在的直线

方程,取△ABC内的特殊点检验,可得所求不等式组.

第三章

3.3

第1课时

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[ 解析 ]

如图所示,则直线 AB 、 BC 、 CA 所围成的区域就

是所求△ABC的区域,直线AB、BC、CA的方程分别为x+2y- 1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0.

第三章

3.3

第1课时

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在△ABC 内取一点 P(1,1),代入 x+2y-1,得 1+2×1-1 =2>0.所以直线 x+2y-1=0 对应的不等式为 x+2y-1>0. 把 P(1,1)代入 x-y+2,得 1-1+2>0; 代入 2x+y-5,得 2×1+1-5<0. 因此对应的不等式分别为 x-y+2>0,2x+y-5<0. 又因为所求区域包括边界, ?x+2y-1≥0 ? 所以所求区域的不等式组为?x-y+2≥0 ?2x+y-5≤0 ? .

第三章

3.3

第1课时

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[ 方法总结] 般是

已知平面区域,用不等式(组)表示,其步骤一

①求出边界的直线方程; ②确定不等号,在所有直线外任取一点,将其坐标代入直 线方程即可.

第三章

3.3

第1课时

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试用不等式组表示由 x+y+2=0,x+2y+1=0 和 2x+y +1=0 围成的三角形区域(包括边界).
[解析] 直线x+y+2=0,x+2y+1=0,2x+y+1=0表示

的三角形区域如图阴影部分所示.

第三章

3.3

第1课时

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3 取区域内的点(-2,0)验证: 3 1 -2+0+2=2>0 3 1 -2+0+1=-2<0 3 2×(-2)+0+1=-2<0. ?x+y+2≥0 ? ∴所求区域用不等式组表示为?x+2y+1≤0 ?2x+y+1≤0 ? .

第三章

3.3

第1课时

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画出二元一次不等式 2y -5x -10>0 表示的区 域.
[ 错解 ] 作出直线 2y - 5x - 10 =

0,即5x-2y+10=0.
将(0,0)代入5x-2y+10可得5×0- 2×0+10>0, ∴ 所示区域为含有 (0,0) 的一侧, 如图所示.

第三章

3.3

第1课时

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[辨析] [ 正解] 0.

取特殊点检验时,应代入原式(2y-5x-10),而不 设F(x,y)= 2y -5x- 10,作出直线 2y- 5x -10=

能代入变形后的(5x-2y+10)进行检验.

∵F(0,0)=2×0-2×0-10=-10<0, ∴所求区域为不含(0,0)的一侧,如图所示.

第三章

3.3

第1课时

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二元一次不等式?组?及其解集 ? ? 二元一次不 ?二元一次不等式?组?的几何意义 等式?组? ? ?二元一次不等式?组?表示的平面区域 与平面区域? ?二元一次不等式?组?表示平面区域的步骤

第三章

3.3

第1课时

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课时作业
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第三章

3.3

第1课时


不等式 3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第3课时 简单的线性规划的应用同步练习

【成才之路】2016 年春高中数学 第 3 章 不等式 3.5 二元一次不等 式(组)...课时 简单的线性规划的应用同步 练习 新人教 B 版必修 5 一、选择题 x≥1 ...

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