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浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 理


专题三





经典模拟·演练卷 一、选择题 1.(2015·济南模拟)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则

a11+a12+a13=(
A.75 B.90

) C.105 D.120

1 * 2.(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且满足 a4a6= ,a7 4 1 = ,则 S4 的值为( 8 A.15 B.14 ) C.12 D.8

3. (2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{an}中, a3=2, a4a6=16, 则 A.2 B.4 C .8 D.16

a10-a12 的值为( a6-a8

)

4.(2015·效实中学二模)已知数列{an}是等差数列,a3=5,a9=17,数列{bn}的前 n 项和

Sn=3n.若 am=b1+b4,则正整数 m 的值为(
A.26 B.27 C.28 D.29

)

5.(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1= 3Sn(n∈N ),则 S6=( A.4
4 *

) B.4
5

1 6 C. ·(4 -1) 3

1 5 D. ·(4 -1) 3
n

6.(2015·西安质检)各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3Sn=anan+1,则∑ a2k= k=1 ( A. C. )

n(n+5)
2 2

B. D.

3n(n+1) 2 (n+3)(n+5) 2

n(5n+1)

二、填空题 3 7.(2015·郑州质检)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2= ,a4+a5=6,则 S6= 4 ________. 8.(2015·潍坊调研)在等差数列{an}中,a1=-2 015,其前 n 项和为 Sn,若

S12 S10
12 - 10

=2,

1

则 S2 015 的值为________. 9. (2015·台州联考)各项均为正数的等比数列{an}中, a2-a1=1.当 a3 取最小值时, 数列{an} 的通项公式 an=________. 三、解答题 10.(2015·长沙调研)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1) an,求数列{bn}的前 2n 项和.
n

n2+n
2

,n∈N .

*

11 . (2015· 桐 乡 高 级 中 学 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 与 {bn} 满 足 : a1 + a2 + a3 + … + an = log2bn(n∈N ),且数列{an}为等差数列,a1=2,b3=64b2. (1)求 an 与 bn; (2)设 cn=(an+n+1)·2an-2,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
*

12.(2015·杭州七校大联考)若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项 和,且满足 an=S2n-1,n∈N .数列{bn}满足 bn= (1)求 an 和 Tn; (2)是否存在正整数 m、n(1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m,n 的 值;若不存在,请说明理由.
2 *

1 ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和. an·an+1

2

经典模拟·演练卷 1.C [设数列{an}的公差为 d,依题设知 d>0,则 a3>a1, ∵a1+a2+a3=15,则 3a2=15,a2=5, 从而?
? ?a1+a3=10, ?a1a3=16. ?

解之得 a1=2,a3=8.

所以公差 d=

a3-a1
2

=3.

故 a11+a12+a13=(a1+a2+a3)+30d=15+90=105.] 2.A [设等比数列{an}的公比为 q,且 q>0,an>0. 1 1 由于 a4a6= ,a7= , 4 8 则 a3=

a4a6 a7 1 1 4 =2,q = = ,所以 q= . a7 a3 16 2 a3 q

于是 a1= 2=8.

a1(1-q4) ? 故 S4= = 1-q

1? ? 8?1- ? 16? =15.] 1 1- 2
2

3.B [设等比数列{an}的公比为 q.由于 a3=a1q =2. ∴a4a6=a1q =(a1q ) ·q =4q =16.则 q =4,
2 8 2 2 4 4 4

a10-a12 q4(a6-a8) 4 故 = =q =4.] a6-a8 a6-a8
4.D [由等差数列的性质,a9=a3+6d.∴17=5+6d,得 d=2, 因此 am=a3+2(m-3)=2m-1. 又数列{bn}的前 n 项和 Sn=3 , ∴b1=S1=3,b4=S4-S3=3 -3 =54. 由 am=b1+b4,得 2m-1=3+54,则 m=29.] 5.B [由 a1=1,a2=3a1,得 a2=3, 又 an+1=3Sn,知 an=3Sn-1(n≥2), ∴an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an,即 an+1=4an(n≥2).
4 3

n

3

?1 (n=1), ? 因此 an=? n-2 ? (n≥2), ?3·4

3(1-4 ) 5 故 S6=1+ =4 .] 1-4 6.B [当 n=1 时,3S1=a1a2,即 3a1=a1a2,∴a2=3, 当 n≥2 时,由 3Sn=anan+1,可得 3Sn-1=an-1an,两式相减得: 3an=an(an+1-an-1).∵an≠0,∴an+1-an-1=3,∴{a2n}为一个以 3 为首项,3 为公差的等差
n

5

数列,∴∑ a2k=a2+a4+a6+…+a2n=3n+ k=1 63 3 7. [∵a1+a2= ,a4+a5=6, 4 4

n(n-1)
2

3n(n+1) ×3= ,选 B.] 2

a4+a5 1 q3= =8,从而 q=2,可求 a1= . a1+a2 4
1 6 (1-2 ) 4 63 故 S6= = .] 1-2 4 8.-2 015 [设数列{an}的公差为 d,则 =a1+ 由

Sn n

n-1 d.
2

S12 S10
12 -

11d? ? 9d? ? =2,得?a1+ ?-?a1+ ?=2. 2 ? ? 2? 10 ?

所以 d=2, 2 015×2 014 因此 S2 015=2 015a1+ d=-2 015.] 2 9.2
n-1

[根据题意,由于各项均为正数的等比数列{an}中,

由 a2-a1=1,得 a1(q-1)=1, 所以 q>1 且 a1= ∴a3=a1q = =q-1+
2

1

q-1


2

(q-1) +2(q-1)+1 = q-1 q-1 (q-1)· 1 +2=4, q-1

q2

1 +2≥2 q-1

当且仅当 q=2 时取得等号, 因此 an=a1q
n-1



qn-1 n-1 =2 .] q-1

10.解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

n2+n (n-1)2+(n-1)
2 - 2

=n.

由于 n=1 时,a1=1 适合上式, 故数列{an}的通项公式为 an=n.
4

(2)由(1)知,bn=2 +(-1) n.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n, 则 T2n=(2 +2 +…+2 )+(-1+2-3+4-…+2n). 记 A=2 +2 +…+2 ,B=-1+2-3+4-…+2n,则
1 2 2n 1 2 2n

n

n

A=2+22+23+…+22n=

2(1-2 ) 2n+1 =2 -2. 1-2

2n

B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n,
故数列{bn}的前 2n 项和 Tn=2
2n+1

+n-2.

11.解 (1)由题设,得 a1+a2+a3=log2b3,①

a1+a2=log2b2,②
①-②得,a3=log2 =log264=6. 又 a1=2,所以公差 d=2,因此 an=2+2(n-1)=2n. 又 a1+a2+a3+…+an=log2bn. 所以

b3 b2

n(2+2n)
2

=log2bn,故 bn=2
n-1

n(n+1).

(2)由题意,得 cn=(3n+1)4
2


n-1

则 Tn=4+7·4+10·4 +…+(3n+1)·4 4Tn=4·4+7·4 +…+(3n-2)·4
2 2

,③
n

n-1

+(3n+1)·4 ,④
n-1

由③-④,得-3Tn=4+3(4+4 +…+4
n-1

)-(3n+1)4

n

4(1-4 ) n n =4+3· -(3n+1)4 =-3n·4 , 1-4 所以 Tn=n·4 (n∈N ). 12.解 (1)∵an=S2n-1(n∈N ),an≠0. 令 n=1,得 a1=1;令 n=2,得 a2=3, ∴等差数列{an}的公差 d=2. 1 ? 1? 1 - 从而 an=2n-1,bn= ? ?, 2?2n-1 2n+1? 1?? 1? ?1 1? ? 1 - 1 ?? 于是 Tn= ??1- ?+? - ?+…+? ?? 3 3 5 2?? ? ? ? ?2n-1 2n+1?? = . 2n+1
2 *

n

*

n

(2)假设存在正整数 m,n(1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成等比数列. 则?

? m ? =1· n ,可得3=-2m +4m+1>0, ? n m2 ?2m+1? 3 2n+1

2

2

5

∴-2m +4m+1>0,解得 1-
*

2

6 6 <m<1+ , 2 2

由于 m∈N ,m>1,得 m=2,此时 n=12. 故存在正整数 m,n,当且仅当 m=2,n=12 时,满足 T1,Tm,Tn 成等比数列.

6


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