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江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2013届高三下学期5月调研测试(理科数学)


江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学 2013 届高三下学期 5 月调研测试 (理科数学)

数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上. .. 1.命题“ ?x ? 1 ,x2≥3”的否定是 ▲ . ▲ . 1 2 3 4 8 8 028 0

2.设复数 z ? a ? i ( i 是虚数单位, a ?R ) .若 z 的虚部为 3,则 a 的值为 1?i

3.右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图(满分 40 分) ,则其平均 得分为 ▲ . 4.设集合 A ? x y ? x ? 4 x ? 3 , B ? y y ? x ? m (m ? 0),x ? ?R A , x
2

?

?

?

?

(第 3 题)

若 2 m ? B ,则 m 取值范围是



. ▲ .

5.右图是一个算法的伪代码,输出结果是

6.在区间[0,1]间随机取出 2 个数(可以相同) ,它们的差的绝对值 大于 1 的概率为 ▲ . 2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 M(1,0)的直线 x ? y ? c ? 0 与 圆 x2 ? y 2 ? 5 交于 A,B 两点,则 AM = ▲ . MB

S←0 a←1 For I From 1 to 3 a←2×a S←S+a End For Print S
(第 5 题)

8.常用的复印纸的型号有 A1 , A2 , A3 等,它们的长 ? 宽(单位:mm)理想设计尺寸分 别为 840 ? 594 , 594 ? 420 , 420 ? 297 ,据此可推得, A4 型号的复印纸的理想设计尺寸应为 ▲ . 9.已知 0 ? y ? x ? π ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 1 ,则 x ? y ? ▲ . 3 10.设函数 f ? x ? ? x 2 ? c , g ? x ? ? ae x 的图象的一个公共点为 P ? 2, t ? ,且曲线 y ? f ? x ? ,
y ? g ? x ? 在点 P 处有相同的切线,函数 f ? x ? ? g ? x ? 的负零点在区间 ? k , k ? 1? ? k ? Z ? ,则 k

=





? ? 11.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 ,当 an ? 0 时,an ?1 ? ? 1 ? ;当 an ? 0 时,an ?1 ? 0 .则 a2013 ? ? an ? ▲ . (注:[x]为不超过实数 x 的最大整数,记{x} ? x ? [x]. )

12.已知直角三角形 ABC 的三个顶点都在抛物线 y ? 1 x 2 上,且斜边 AB // x 轴,则斜边上 2 的高等于 ▲ .

13.已知平面向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 b 的夹角余弦为 1 , b 与 c 的夹角余 5 1, 弦为 ? 3 ▲ . b ? 1 ,则 a ? c 的值为 14.设 t ? R ,对任意的 n ? N* ,不等式 nt ln n ? 20ln t≥nt ln t ? 20ln n ,则 t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中, ?A ? ? , BC ? ? ,点 D 在 BC 边上. ? (1)若 AD 为 ?A 的平分线,且 BD ? 1,求△ABC 的面积; (2)若 AD 为△ABC 的中线,且 AD ? 3 3 ,求证:△ABC 为等边三角形. 2

16.(本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 除棱 PC 外, 其余棱均等长,M 为棱 AB 的中点,O 为线段 MC 上靠近点 M 的三等分点. (1)若 PO ? MC ,求证: PO ? 平面 ABC ; (2)试在平面 PAB 上确定一点 Q ,使得 OQ // 平面 PAC ,且 OQ // 平面 PBC ,并给出证明.

P

A

C

M

O

(第 16 题)

B

17.(本小题满分 14 分) 如图所示,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD, AB ? 10 3 m, CD ? 3 3 m,现用钢丝 绳对这两根钢管进行加固,有两种方法: (1)如图(1)设两根钢管相距 1m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定 在地面的 F 处,形成一个直线型的加固(图中虚线所示) .则 BE 多长时钢丝绳最短? (2)如图(2)设两根钢管相距 3 3 m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固 定在地面的 F 处,再将钢丝绳依次固定在 D 处、B 处和 E 处,形成一个三角形型的加固(图 中虚线所示) .则 BE 多长时钢丝绳最短? A A E E

C

C

F 图1

D B

F

D 图2

B

18.(本小题满分 16 分) 定义: 如果两个椭圆, 它们的离心率相同, 那么称这两个椭圆相似, 它们的长轴之比 (大 于 1)叫做这两个椭圆的相似比. (1) m, n ? N? , 设 试判断椭圆 C1 : 时求出它们的相似比;
2 y (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C1 : x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和椭圆 C2 : a b 2 2 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 相似, 过椭圆 C1 的右焦点 F 且不垂直于 x 轴的直线 l 与这两个椭圆自 1 1 a12 b12 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和椭圆 C2 : ? ? 1 能否相似?相似 m ?1 m m ? n m ?1

上而下依次交于点 A , B , C , D ,射线 OB , OC 与椭圆 C2 分别交于点 M,N,连 MN. 求证:①MN∥ l ; ②△ABM 和△CDN 的面积相等.

y
A

l

M
B
O C
N F

x

D
(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个无穷数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2nan?1 (n ? N? ) . (1)当数列 ?an ? 是常数列(各项都相等的数列) ,且 b1 ? 1 时,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 (2)设 ?an ? 、?bn ? 都是公差不为 0 的等差数列,求证:数列 ?an ? 有无穷多个,而数列 ?bn ? ... 惟一确定; (3)设 an ?1 ?
2n S 2an 2 ? an n ? N ? , Sn ? ? bi ,求证: 2 ? n ? 6 . an ? 1 n2 i ?1

?

?

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ?| e x ? a | ? | 1 ? 1| ,其中 a,x∈R,e 是自然对数的底数,e ? 2.71828 ??? . ex (1)当 a=0 时,解不等式 f ? x ? ? 2 ; (2)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (3)设 a ? 4 ,讨论关于 x 的方程 f ? f ? x ? ? ? 1 的解的个数. 3 4

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页, 均为非选择题 (第 21~23 题) 本卷满分为 40 分, 。 考试时间为 30 分钟。 考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答. . 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.

A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,在△ABC 中, ?BAC ? 90? ,延长 BA 到 D,使得 AD ? 1 AB, 2 E,F 分别为 BC,AC 的中点,求证:DF ? BE. A

D

F

B B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)

E
(第 21—A 题)

C

?1 0 ? ?0 m ? 已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,对它先作矩阵 A ? ? ? 对应的变换,再作矩阵 B ? ?1 0 ? 对应 ?0 2 ? ? ?

的变换,得到曲线 C2 : x ? y 2 ? 1 ,求实数 m 的值. 4 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) ? ? x ? 1 ? t cos ?, ? x ? 1 ? 2 cos ?, 已知圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 直线 l 的参数方程为 ? , ? y ? 3 ? 2 sin ? ? y ? t sin ? ? 且 (t 为参数, 0 ? ? ? ?, ? ? ? ) ,若圆 C 被直线 l 截得的弦长为 13 ,求 ? 的值. ? D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 对任给的实数 a(a ? 0)和 b, 不等式 a ? b ? a ? b ≥ a ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 恒成立, 求实数 x 的取 值. 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1 ? AB ? AC ? 1,AB⊥AC,M,N 分别是棱 CC1,BC 的 中点,点 P 在直线 A1B1 上. (1)求直线 PN 与平面 ABC 所成的角最大时,线段 A1P 的长度; (2)试确定点 P 的位置,使平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 ? ,并说明理由. 6
A1

2

P
B1 C1

A

M

B

N (第 22 题)

C

23. (本小题满分 10 分) 设函数 f n ?? ? ? sin n ? ? cosn ? , n ? N* ,且 f1 ?? ? ? a ,其中常数 a 为区间(0,1)内的有理 数. (1)求 f n ?? ? 的表达式(用 a 和 n 表示) ;

(2)求证:对任意的正整数 n , f n ?? ? 为有理数.

数学Ⅰ参考答案及评分标准
一、填空题: 1. ?x ? 1 , x2 ? 3 8.297×210 二、解答题:
AB AC ? BD ,在△ACD 中, ? CD , sin ?BDA sin π sin ?CDA sin π 6 6 相除得:AC=2AB. ???????????????3 分 在△ABC 中, BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos π ? 3AB2 ? 9 , 3

2.5

3.31 10. ?1

4.1<m<9 11. 3 ? 1

5.14

6. 1 4

7.2 或

1 2

9. π 3

12.2

13.- 51+26 3 2

14.[4,5]

15. (1)在△ABD 中,

∴AB= 3 ,AC=2 3 ???????????????6 分 1 π 3 3 ∴ S?ABC ? AB ? AC sin ? ???????????7 分 2 3 2 ? ???? ??? ? ???? AB AC ( 2 ) ∵ AD ? 2 2 1 AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 1 AB 2 ? AC 2 ? AB ? AC , AD ? 4 4 2 2 ∴ AB ? AC ? AB ? AC ? 27 ????????????9 分





?

? ?

?

又 AB2 ? AC 2 ? AB ? AC ? BC 2 ? 9 , 相减得 AB ? AC ? 9 ,???????????????11 分 ∴ AB2 ? AC 2 ? AB ? AC ? 9 ? AB ? AC ,∴ ? AB ? AC ? ? 0
2

即∶AB=AC,又∠C=60°,∴三角形 ABC 为等边三角形.??????14 分 16.由题意得: O 为△ABC 的中心,则 CM⊥AB, ∵ M 为棱 AB 的中点,PA=PB,∴PM⊥AB,????????????2 分 又 PM∩CM=M,∴AB⊥平面 PMC, ????????????4 分 又 PO ? 平面 PMC,∴AB⊥PO. 又 PO⊥MC,MC∩AB=M,∴ PO ? 平面 ABC ????????????7 分 (2)Q 为线段 MP 上靠近 M 点的三等分点.?????????????9 分 MQ MO ∵ ,∴OQ//PC,又 OQ ? 平面 PAC, PC ? 平面 PAC,∴OQ//平面 PAC??12 分 ? ? QP OC 同理可证:OQ//平面 PBC. ???????????????14 分 17. (1)设钢丝绳长为 ym, ?CFD ? ? ,则

3 3 ?1 tan ? y? ? 3 3 ? 1 (其中 0 ? ? ? ?0 , tan ?0 ? 7 )???????3 分 cos ? sin ? cos ?

cos y? ? ?3 32 ? ? sin2? sin ? cos ?

当 tan ? ? 3 时,即 BE ? 4 3 时, ymin ? 8 ?????????????6 分 (2)设钢丝绳长为 ym, ?CFD ? ? ,则 ? ? y ? ? 3 3 ? 3 3 ? ?1 ? cos ? ? sin ? ? (其中 0 ? ? ? ?0 , tan ?0 ? 12 3 ? 3 3 ? 3 )???9 分 sin ? cos ? ? 3 3 ?
? ? ? ? cos y? ? ? ?3 32 ? ? sin2? ? ?1 ? sin ? ? cos? ? ? ? 3 3 ? 3 3 ? ? cos? ? sin ? ? sin ? cos? ? cos ? ? ? sin ? ? π 时,即 BE ? 6 3 时 y 2 ? 2 ???12 分 令 y? ? 0 得 sin ? ? cos? ,当 ? ? min ? 6 3 4

?

?

答:按方法(1) BE ? 4 3 米时,钢丝绳最短; , 按方法(2) BE ? 6 3 米时,钢丝绳最短. , 18. (1)因为椭圆 C1 , C2 的离心率分别为 e1 ? 令 e1 ? e2 得 (n ? 2)m ? 1 , 因为 m, n ? N ,所以当且仅当 ?
*

?????????????14 分

1 n ?1 , e2 ? , m ?1 m?n
????????????2 分

? m ? 1, 时,椭圆 C1 , C2 相似,????????????3 ?n ? 3
2 2


2 x y 2?2 y2 ? ? 1 ,它们的相似比为 此时,椭圆 C1 : x ? ? ? 1 , C2 : 2 1 4 2 2 2 分

2 .?????4

x2 y2 ? 2 2 ? 1(t ? 1) . a 2t 2 b t y 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ), A( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,则射线 OB 的方程为 y ? 1 x ,代入 C2 的方 x1 y 2 2 b2 xM ? a ( 1 ) x2 ? a b t 程 得 , 即 M x1
(2)①因为椭圆 C1 , C2 相似,所以椭圆 C2 的方程为
2 2 (b2 x1 ? a y ) xM 2 ? a b1 t x ,?????????5 分 1 2 2

2

2

因为 分

OM x x12 y12 2 2 2 ? M ? t . ???????7 ? 2 ? 1 ,所以 xM ? t x1 , xM ? t x1 ,所以 2 a b OB x1

同理, 分

ON OM ON ,因此 MN ∥ BC ,即 MN ∥ l . ?????????9 ? t ,所以 ? OC OB OC
a 2 ? b2 , 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 并 化 简 得

② 设 直 线 l : y ? k ( x ? c) , 其 中 c ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2a 2k 2c (b ? a k ) x ? 2a k cx ? a c k ? a b ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 2 . b ? a 2k 2 2a 2k 2c 同理得 x3 ? x4 ? 2 , ???????????????11 分 b ? a 2k 2

因此 x1 ? x2 ? x3 ? x4 即 x1 ? x3 ? x4 ? x2 .
2 2 2 2

???????????????13 分
2

因为 AB ? ( x1 ? x3 ) ? ( y1 ? y3 ) ? (1 ? k )( x1 ? x3 ) , 同理 CD ? (1 ? k )( x2 ? x4 ) ,所以 AB ? CD
2 2 2

?????????????15 分

又由①知,△ABM 中 AB 边上的高 hAB 等于△CDN 中 CD 边上的高 hCD ,

1 1 AB ? hAB , S?CDN ? CD ? hCD ,故△ABM 和△CDN 的面积相等.????16 分 2 2 * 19 .( 1 ) 因 为 数 列 {a n } 是 常 数 列 , 且 an bn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) , 所 以
而 S?ABM ?

bn ?1 ? bn ? 2n(n ? N* ) ? ① , 因 此 bn ? bn ?1 ? 2(n ? 1)(n ? N* , n ? 2) ? ② , ① - ② 得
bn ?1 ? bn ?1 ? 2(n ? N* , n ? 2) ,?????2 分
这说明数列 {a n } 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为 2 的等差数列,

1 3 1 1 , b1 ? b2 ? 2 , 所 以 b2 ? , 因 此 b2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? (2n ? 1) ? , 2 2 2 2 3 1 b2 n ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? , 2 2 1 * 即 bn ? n ? (n ? N ) . ???????????????4 分 2
又 b1 ?

? ) ( 2 ) 设 {a n } , {bn } 的 公 差 分 别 为 d1 , d 2 ( d1 d 2 0 , 将 其 通 项 公 式 代 入
an b?1 ? a?1 b?2 n n n n ?a ( 1 n ?n ) N*


[d1n ? (a1 ? d1 )](nd 2 ? b1 ) ? (nd1 ? a1 )[d 2n ? (b1 ? d 2 )] ? 2n(nd1 ? a1 ) , 因为它是 n 的恒等

?2d1 d 2 ? 2d1 , ? d1 ? a1 , ?2b d ? 2a d ? 2d d ? 2a , ? an ? na1 , ? ? 1 1 1 2 1 2 1 式,所以 ? 解得 ?b1 ? 1, 因此 ? ????????7 ?bn ? n. ? d ? 1, ?2a1b1 ? b1 d1 ? a1 d 2 ? 0, ? 2 ?d1 d 2 ? 0, ?
分 由于 a1 可以取无穷多非零的实数,故数列 {a n } 有无穷多个,数列 {bn } 惟一确定.???8 分 (3)因为 an ?1 ? 所以 an ?1 ? an ?

2 an 2 ? 1 ( n ? N * ) ,且 an ? 0 , an ? 1

2 an 2 ? an a2 ? an ? n ? 0 ,即 an ? an ?1 ,???????????10 分 an ? 1 an ? 1 所以 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 ? an ?1bn ?1 ? an ?1bn ,得 bn ? bn ?1 ? 2n ,因此

Sn ? ? bi ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ??? ? (b2 n ?1 ? b2 n ) ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 2(2n ? 1) ? 2n 2 .
i ?1

2n

??12 分 又由 an bn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) 得 anbn ?1 ? (2n ? bn )an ?1 , an ? 0 , 而 所以 bn ? 2n . 因
*

此 Sn ? 分

? b ? 2(1 ? 2 ? ??? ? 2n) ? 2n(1 ? 2n) ? 4n
i ?1 i

2n

2

? 2n , ?????????????14

所以 Sn ? (2n , 4n ? 2n) .所以 2 ?
2 2

Sn n2

? 4 ? 2 ? 6 .???????????????16 n
x

分 20. (1)当 a ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 2 即 e ?

1 ?1 ? 2 , ex

?1 x ? e x ? 1 ? e ? 2, 1 ? x 即 x ? 1 ? 2 ? e ,因此 ? ???????????????2 分 e ? 1 ? 1 ? 2 ? ex , ? ex ?
3? 5 1? 5 3? 5 1? 5 ? ex ? ? x ? ln ,所以 ln , 2 2 2 2 3? 5 1? 5 所以原不等式的解集为 (ln ,ln ) .?????????????4 分 2 2 ? x 1 ?e ? e x ? a ? 1, x ? 0, 1 ? x (2)①当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? a ? x ? 1 ? ? 因为 x ? 0 时, 1 e x ?e ? ? a ? 1, x ? 0. ? ex ? 1 f ?( x ) ? e x ? x ? 0 , e 1 x ? 0 时, f ( x ) ? e x ? x ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 ( ??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单 e
得 调递增;?5 分

? x 1 ? e ? e x ? a ? 1, x ? 0, ? ? x 1 ②当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) ? ? e ? x ? a ? 1,ln a ? x ? 0, 仿①得 f ( x ) 在 ( ??,ln a ) 和 e ? ? x 1 ? ? e ? e x ? a ? 1, x ? ln a. ? (ln a,0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增.即 f ( x ) 在区间 ( ??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单调递增;??6 分 ? x 1 ?e ? e x , x ? 0, ? ③当 a ? 1 时, f ( x ) ? ? ? 1 ? e x , x ? 0, ? ex ? 易得 f ( x ) 在区间 ( ??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单调递增; ???????7


? x 1 ?e ? e x ? a ? 1, x ? ln a , ? ? x 1 ④当 a ? 1时, f ( x ) ? ? ? e ? x ? a ? 1,0 ? x ? ln a , e ? ? x 1 ? ?e ? e x ? a ? 1, x ? 0. ? 同理得 f ( x ) 在区间 ( ??,ln a ) 上单调递减,在区间 (ln a, ??) 上单调递增.???????8

分 综上所述, 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 ( ??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单调递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 ( ??,ln a ) 上单调递减, 在区间 (ln a, ??) 上单调递增. ????? 10 分 (3)由(2)知:当 a ? 又 x ? ?? 时, e x ?

4 1 1 时,因为 f (ln a ) ? eln a ? ln a ? a ? 1 ? 1 ? , 3 e a

1 ? a ? 1 ? ?? , ex 1 1 1 4 所以 f ( x ) 的值域为 [1 ? , ??) ,且 1 ? 1 ? ? (等号仅当 a ? 时取).??????? a a 4 3
12 分

1 , 4 4 1 1 当 a ? 时, f (u ) ? ,所以 f (u ) ? 不成立,原方程无解;???????????? 3 4 4
令 f ( x ) ? u, f ( u ) ? 13 分

4 1 4 4 4 256 4 1 时,由 f (u ) ? 得 u ? ln ,因为 ln( ) ? ln ? ln 3 ? 1 ,所以 ln ? ,所 3 4 3 3 81 3 4 4 以 f ( x ) ? ln 有两个不相等的实数根,故原方程有两个不同的实数 3
当a ? 解. ?????????????15 分 综上所述, a ? 当 16 分

4 4 时, 原方程无解; a ? 时, 当 原方程有两个不同的实数解. ????? 3 3

数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准
21.A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:取 AB 中点 G,连结 GF,? AD ?
1 AB ,? AD ? AG , 2

又? ?BAC ? 90? ,即 AC 为 DG 的垂直平分线,∴DF = FG ①?5 分 又? E 、F 分别为 BC、AC 中点,
? EF ? 1 AB ? BG, EF / / BG , 2

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴FG = BE 由①②得 BE =DF. B.选修 4—2:矩阵与变换

????② ?????????10 分

? 0 m ? ?1 0 ? ? 0 2m ? 解: BA ? ? ?? ??? ? ?????????????2 分 ?1 0 ? ? 0 2 ? ?1 0 ?

设 P ? x0 , y0 ? 是曲线 C1 上的任一点,它在矩阵 BA 变换作用下变成点 P? ? x?, y ? ? ,则

? x? ? ?0 2m ? ? x0 ? ? 2my0 ? ? y ?? ? ?1 0 ? ? y ? ? ? x ? ???????????????5 分 ? ? ? ?? 0? ? 0 ?

x ? y ?, ? x ? ? 2my0 , ? 0 ? 则? 即? ???????????????8 分 1 ? y ? ? x0 , ? y0 ? 2m x ?, ?
2 又点 P 在曲线 C1 上,则 y?2 ? x? 2 ? 1 , m2 ? 1 ,所以, m ? ?1 ????????10 分 4m C.选修 4—4:坐标系与参数方程

解:圆的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 3
2

?

?

2

? 4 ,??????????????2 分
???????????????4 分

直线的直角坐标方程为 y ? k ? x ? 1? ? k ? tan ? ?

因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 13 ,则圆心到直线的距离为 3 ,???????6 分 2 ∴
|k ? 3?k| 1? k
2

? 3 ,∴ k ? ? 3 ,即 tan ? ? ? 3 ,??????????????8 分 2

又 0 ? ? ? π ∴ ? ? π 或 2π . 3 3 D.选修 4—5:不等式选讲 解:由题知, x ? 1 ? x ? 2 ?

?????????????10 分

a?b ? a?b a

恒成立,

故 | x ? 1| ? | x ? 2 | 不大于 分

a?b ? a?b a

的最小值,

??????????????3

∵|a ? b | ? | a ? b | ≥|a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 ? a ? b ?? a ? b ?≥0 时取等号?????6 分 ∴ 分
1 5 ∴x 的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2 的解,解不等式得 ≤x≤ .???????? 2 2

a?b ? a?b a

的最小值等于 2.

??????????????8

10 分 【必做题】 22.解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则 A1(0,0,1) 1(1,0,1) ,B ,
???? ? ????? M(0,1, 1 ) ,N( 1 , 1 ,0) A1P ? ? A1B1 ? ? ?1,0,0 ? , , 2 2 2

??? ???? ???? ? ? ? ???? AP ? AA1 ? A1P ? ? ? ,0,1? ; PN ? 1 ? ? , 1 , ?1 .?????????2 分 2 2

?

?

z
B1

A1 C1

(1)∵ m ? ? 0,0,1? 是平面 ABC 的一个法向量.

P

???? ∴ sin ? ?| cos ? m, PN ?|?

| 0 ? 0 ? 1| 1 , ? 1 ? ? )2 ? 1 ? 1 1 )2 ? 5 ( (? ? 2 4 2 4

A B

M

∴当 ? ? 1 时, ? 取得最大值,此时 sin ? ? 2 5 , tan ? ? 2 2 5

x

y

答:当 ? ? 1 时, ? 取得最大值,此时 tan ? ? 2 .??????????5 分 2 ???? ? (2)设存在, NM ? ? 1 , 1 , 1 ,设 n ? ? x, y, z ? 是平面 PMN 的一个法向量. 2 2 2

?

?

? y ? 1 ? 2? x , ?? 1 x ? 1 y ? 1 z ? 0, ? ? 2 3 2 2 则? 得? 令 x=3,得 y=1+2 ? ,z=2-2 ? ; ?( 1 ? ? ) x ? 1 y ? z ? 0, ? z ? 2 ? 2? x, ? 2 2 3 ?

∴ n ? ? 3,1 ? 2? , 2 ? 2? ? , ∴ | cos ? m , n ?|?
2 ? 2? 9 ? ?1 ? 2? ? ? ? 2 ? 2? ?
2 2

????????????7 分
? 3 ,化简得 4 ? 2 ? 10? ? 13 ? 0 (*) 2

∵△=100-4 ? 4 ? 13=-108<0,∴方程(*)无解, ∴不存在点 P 使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30?.????????10 分
2 ?sin ? ? cos ? ? a, ? 23.解: (1)由 ? 2 得 sin ? cos? ? a ? 1 , 2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1 ?
2 2 所以 sin ? 、cos? 可以看成方程 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的两个根,则 x ? a ? 2 ? a ,????3 2 2


2 ? ∴ f n ?? ? ? ? a ? 2 ? a ? 2 ?

? ? a ? 2 ? a2 ? ?? ? ? 2 ? ?

n

? ? ? ? ?

n

?

a ? 2 ? a2

? ?
n

? a ? 2 ? a2
n

?

n

. ?????4

2

分 ( 2 )

?

2 ? 2 ? a2

? ?
n

? 2 ? 2 ? a2

?

n

? 2 ? 2 ? 2n ? Cn 2n ?2 ?

?

2 ? a2

?

2

4 ? Cn 2n ?4

?

2 ? a2

? ? ???? ? ? ?
4

8分
m ∵a 为有理数, Cn 为整数,∴ f n ?? ? 为有理数.

????????

10 分


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