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高中数学第1章习题课正弦定理与余弦定理配套训练苏教版必修


习题课
一、基础过关

正弦定理与余弦定理

1.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=44°,则此三角形解的情况为________. π 2.在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 3时,sin C=________. 3 3.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a =________. 4.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=________. 5. 在△ABC 中, AB=2, AC= 6, BC=1+ 3, AD 为边 BC 上的高, 则 AD 的长是________. 6.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60°,则△ABC 的周长是________. a2-b2 sin?A-B? 7.在△ABC 中,求证: 2 = . c sin C 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c +b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 二、能力提升 9.在△ABC 中,若 a2=bc,则角 A 是________.(从“锐角”、“直角”、“钝角”中 选择) 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B = 2,则角 A 的大小为________. 11.在△ABC 中,已知 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C=________. 12.已知△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sin C,sin Bcos A),

n=(b,2c),且 m·n=0.
(1)求 A 的大小; (2)若 a=2 3,c=2,求△ABC 的面积 S 的大小. 三、探究与拓展

b a tan C tan C 13. 在锐角△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 + =6cos C, 求 + a b tan A tan B
的值. 答案 2 39 11 1.两解 2. 3. 2 4. 5. 3 6.12 13 16 sin Acos B-cos Asin B 7.证明 右边= sin C sin A sin B = ·cos B- ·cos A sin C sin C a a2+c2-b2 b b2+c2-a2 = · - · c 2ac c 2bc

1



a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2-b2 - = 2 2 2 2c 2c c

=左边. a2-b2 sin?A-B? 所以 2 = . c sin C 8.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc.① 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 所以 cos A=- ,故 A=120°. 2 (2)由①得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 又 sin B+sin C=1, 1 故 sin B=sin C= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰钝角三角形. π 9.锐角 10. 11.45°或 135° 6 12.解 (1)∵m·n=0, ∴(sin C,sin Bcos A)·(b,2c)=0. ∴bsin C+2csin Bcos A=0. ∵ = ,∴bc+2bccos A=0. sin B sin C

b

c

∵b≠0,c≠0,∴1+2cos A=0. 1 2π ∴cos A=- .∵0<A<π ,∴A= . 2 3 (2)在△ABC 中, ∵a2=b2+c2-2bccos A, 2π ∴12=b2+4-4bcos . 3 ∴b2+2b-8=0. ∴b=-4(舍)或 b=2. 1 1 3 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= ×2×2× = 3. 2 2 2 13.解 由 + =6cos C 得

b a a b

b2+a2=6abcos C.
tan C tan C 化简整理得 2(a2+b2)=3c2,将 + 切化弦, tan A tan B sin C cos A cos B 得 ·( + ) cos C sin A sin B sin C sin ?A+B? = · cos C sin Asin B
2

sin C sin C · cos C sin Asin B 2 sin C = . cos Csin Asin B = 根据正、余弦定理得 2 sin C = cos Csin Asin B

c2

a2+b2-c2 ab· 2ab

2c2 2c2 = 2 = =4. a +b2-c2 3 2 2 c -c 2 tan C tan C 故 + =4. tan A tan B

3


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